X. — Étude d'une surface de translation

Les surfaces de translation peuvent être engendrées par la translation d'une courbe gauche et c'est là l'origine du nom qu'on leur a donné. L'équalion générale d'une surface de translation est, comme nous l'avons vu,

FONCTIONS ABÉLIENNES. 43l

t et u étant deux variables iiidépendaales; les f et les f étant six fonctions quelconques.

La surface définie par l'équation (i) peut être, de deux manières dillérenles, engendrée par la translation d'une courbe gauche, à savoir par celle de la courbe

^=/.(0, y=Mt), ==/:■■(')

et par celle de la courbe

On peut tracer sur la surface deux systèmes de lignes remarquables que j'appellerai génératrices.

Ce sont pour le premier système

a étant une constante quelconque ut t une variable, et pour le second système

X = /■', (ii)—/,( a ), .)■=/'.(")-+-/.("),

- =.Af"l +/::(«),

a étant une constante quelconque et u une variable.

Les génératrices d'un même système sont toutes égales entre elles.

Parmi les surfaces de translation, je distinguerai une classe remarquable de surfaces que j'appellerai surfaces de translation distinguées.

On les obtient quand les trois fonctions /',,/"',, /'. sont identiques respectivement aux trois fonctions /f, /•<, /.,. Les deux systèmes de génératices se confondent alors en un seul.

D'autre part, la surface peut être considérée comme le lieu des milieux des cordes d'une courbe gauche tracée sur la surface et que j'appellerai courbe directrice. Elle a pour équations -

Il suffit d'ailleurs, pour qu'une surface soit distinguée, que les dillérences

/',tO-/.(n,

/',(i)-/At),

.n.{t)-.fÂt>

43a FONCTIONS ABÉLIENNES.

se 1-éduisent à des constanles; c'est-à-dire qu'une génératice du second système soil égale à une génératrice du premier système et semblablemenl orientée dans l'espace. Ce cas se ramène en ellel au précédent d'une manière imniédiale. La surface

où Ut, u-,, W;, sont regardés comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace, est une surface de translation distinguée. On a effet

& { !■, -h r'i . l'î-f- c'^, Cri -H (••'- ) = o,

de sorte ((ue l'équation de la surface peut se mettre sous la forme

où les c, ne dépendent que de x et les c,' de x'.

C'est donc bien une surface de translation distinguée dont les généiatrices ont pour équation

iCi, étant un point l'ixe de C et r" la valeur correspondante de c,-. La directrice a pour équation

tu = •'. c,-.

Mais ce n'est pas tout. On a également

e ( — fi — v'i ) = o,

de sorte que l'équation de la surface peut se uieltre encore sous la forme

"/ = — ''/— '■/• C'est donc encore le lieu des milieux des cordes de la courbe

C'est donc, de deux manières difleientes, une surface de translation distinguée qui a deux courbes directrices

et deux systèmes de génératrices

FONCTIONS ABÉLIENNES. 433

Avant d'aller plus loin, étudions les points à l'infini des surfaces de translation; ils correspondent évidemment aux points à l'infini des génératrices. Considérons la courbe

et l'une des asymptotes de cette courbe. Supposons que l'on ail pris l'a.xc des :; parallèle à cette asymptote, de telle façon que, pour une certaine valeur u„ de u,/'.{uo) devienne infinie,/', {u„) et /", (m„ ) restant finies. Alors

•^ =/i(0+/i("o), x=Mt)^/'.{u„),

où t est une variable et u„ une constante, sera l'équation d'un cylindre asymptotique à la surface.

La projection d'une génératrice quelconque sur le plan des xr sera égale à la section droite de ce cylindre.

Cela posé, voici où je voulais eu venir.

Examinons l'hypothèse :

p = 3; «I, u-!, M,i très voisins de »i, 22, a.-). Posons

Ui = 2,- -+- « I,, rt,- X = fi -c-.i {i^k)\

la série (6) du paragraphe VI se trouve alors développée suivant les puissances de t et le premier terme, qui est en t-, s'écrit

Si je suppose t très petit, je pourrai négliger les autres. Donc la surface algébrique du troisième ordre

doit être une surface de translation.

C'est même une surface de translation distinguée.

Sur ce dernier point le passage à la limite que je viens d'opérer pourrait peut-être laisser des doutes.

Soit S une surface de translation distinguée variable ayant pour limite une certaine surface S' (quand le paramètre variable dont dépend la surface S tend vers une certaine limile). Soit M un point de S tendant vers un point M' de S'. H. P. - IV. 55

434 FONCTIONS ABÉLIENNES.

Par le poinl M passeronl deux généralrices de S, que j'appellerai G el H; les deux courbes G el H tendront vers deux courbes luniles G' el H' passant par le point M'; et la surface S' pourra, à la limite, être regardée comme engendrée parla translation de G' ou par celle de H'. C'est donc une surface de translation.

La surface S étant une surface de translation distinguée, les deux courbes G et H sont égales entre elles; s'ensuit-il que les deux courbes G' et H' soient égales entre elles ? Il n'en est pas forcément ainsi; il peut se faire qu'à la limite la courbe G se décompose et même que, dans celle décomposition, certaines parties de celte courbe soient rejelées à l'infini. De même la courbe H, égale à G, se décomposera; et il peut se faire que G' soit la limite d'une partie de G et H' celle d'une partie de H correspondant à une autre partie de G.

Pour mieux faire comprendre ma pensée, je vais essayer de fixer les idées; supposons que G et H soient deux cubiques gauches égales; on pourrait imaginer qu'à lo limite G se décompose en une droite à distance finie (qui serait G') et une conique rejetée à l'infini et H en une droite rejelée à l'infini et une conique à dislance finie (qui serait H').

C'est d'ailleurs ce qui arrive quand on passe à la limile d'une autre manière et comme nous l'avons fait au paragraphe VI; c'esl-à-dire de telle sorte que Ml — Zi devienne infiniment petit el que u^ — 2^, M;, — x-^. restent finis.

La surface (2) est donc une surface de translation; mais on pourrait se demander si c'est une surface distinguée.

On peut faire de celte surface une transformation homographique très simple qui en simplifie un peu l'équation en lui conservant le caractère translatif.

Nous pouvons toujours trouver des quanlilés

£1, £■>, £3 définies par les équations

£i£2 = — Ti,2) £2£:i = — Tû." £i£:i = — Ti,:i;

nous poserons alors

et l'équation (2) deviendra

(3) xyz + X ->^ y -\- z = o.

La surface du troisième ordre (3) (où x, y, s sont regardés comme les coordonnées rectangulaires d'un point) est donc une surface de translation.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 435

La surface (3) admel trois cylindres asymptotiques qui sonl

XZ -r-l = o,

yz -^i = o, xy -1-1 = 0.

D'après une remarque faite plus haut sur les cylindres asyniploliques des surfaces de translation, la projection d'une génératrice sur l'un quelconque des plans de coordonnées est une hyperbole équilatère.

Toute génératrice est donc l'intersection de deux cylindres hyperboliques équilatéres dont les plans asymptotiques sont parallèles aux plans de coordonnées, à savoir aux plans

a; = o, 5 = 0 pour le premier cylindre, et aux plans

pour le second. L'intersection de ces deux cylindres se décompose en une droite rejetée à l'infini dans la direction du plan ; :;= o et en une cubique gauche.

Les génératrices de notre surface de translation sont donc des cubiques gauches dont les asymptotes sont parallèles aux axes de coordonnées.

Cela nous fait déjà prévoir que la surface sera une surface de translation distinguée; en effet, la projection d'une génératrice du second système sur le plan des xy doit être, comme celle d'une génératrice du premier système, égale à l'hyperbole

xy -t- I = o

et semblablement orientée.

Les projections des génératrices des deux systèmes sur l'un des trois plans de coordonnées sont donc égales; donc les génératrices du second système sont égales à celles du premier et semblablement orientées. c. q. f. d.

La surface a donc une directrice qui est aussi une cubique gauche, et les deux systèmes de systèmes de génératrices se confondent en un seul- Mais ce n'est pas tout; la surface admet un centre de symétrie qui est l'origine, et trois plans de symétrie qui sonl les plans x ^^ y, x= z, y := z. Elle admet en conséquence trois axes de symétrie binaire et un axe de symétrie ternaire.

Nous pouvons conclure de là que : ou bien la directrice admettra l'origine pour

^'13() FONXTIONS ABÉLIENNES.

cenlre de sjmélrie; ou bien sa symétrique sera encore une directrice. Or une cubique gauche ne peut avoir de cenlre de symétrie; donc la surface admet deux directrices, symétriques l'une de l'autre par rapport à l'origine.

On pourrait raisonner de même avec l'un des trois plans de symétrie; car une cubique gauche ne peut pas non plus avoir de plan de symétrie. Les deux directrices sont donc aussi symétriques l'une de l'autre par rapport à l'un de ces trois plans.

On verrait de même que chacune des directrices admet trois axes de s> mélrie binaire et un axe de symétrie ternaire.

La surface (3) jouit donc de la même propriété que la surface 0 ^ o; je veux dire qu'elle sera de deux manières différentes une surface distinguée et qu'elle aura par conséquent deux directrices et deux systèmes de génératrices.

Nous sommes ainsi amené à rechercher les cubiques gauches que Ion peut tracer sur la surface.

Une cubique gauche est déterminée quand on en connaît six points et en particulier quand on connaît les trois asymptotes.

D'un autre côté une cubique gauche, qui a ses trois asymptotes sur les trois cylindres asymptotiques de la surface, rencontre cette surface en neuf points à l'infini. Elle ne peut donc la rencontrer encore en un point à distance finie sans être tout entière sur la surface.

Voici donc ce que je vais faire.

Je prendrai une droite sur chacun des trois cylindres asymptotiques. Je construirai une cubique ayant pour asymptotes ces trois droites qui seront respectivement parallèles aux trois axes de coordonnées. J'écrirai qu'un point, à distance finie, mais d'ailleurs quelconque de cette cubique est sur la surface; et la cubique sera tout entière sur la surface.

Soient