IV
ces trois asymptotes; «, c, w sont trois constantes quelconques.
On voit que les trois asymptotes sont bien sur les trois cylindres asymptotiques.
Pour qu'un point de la cubique soit sur la surface, il faut et il suffit que
uviv = rfc I ; soit d'abord
Posons
La forme de la cubique gauche dépendra uniquement de i, r, et Ç; de sorte que deux cubiques gauches, correspondant à un même sjstème de valeurs de E, 77 et Ç seront égales.
Les trois paramétres u, v, w étant liés par la relation (4), on voit qu'il y a sur la surface une double infinité de cubiques gauches.
Les équations (5) deviennent, en tenant compte de (4),
(6) I ^ = cl', IH — = T, w, \ - — =tu.
Des équations (5) et (6) nous tirons
(^^ " = 7:zT' "^TX^' '" = 7:1^'
avec la condition
Alors M, p et tv étant fonctions rationnelles de Ç, r/ et Ç. à un système de valeurs de ^, tj, Ç correspondra un seul système de valeurs de u^ v, w; deux de nos cubiques gauches ne peuvent donc être égales entre elles, à moins que ces fonctions rationnelles ne se présentent sous une forme indéterminée. C'est ce qui arrive si l'on fait
? = ir,= Ç=-I,
valeurs qui satisfont d'ailleurs à la relation (8).
C'est donc ainsi que l'on obtient les génératrices de notre surface qui doivent, en nombre infini, être égales entre elles et semblablement orientées.
Pour obtenir les équations de ces génératrices, il faut donnera ^, r,, Z non pas la valeur — i, qui rendrait les expressions de w, f, w indéterminées, mais des valeurs très voisines, en les choisissant de telle sorte que la relation (8) ne
438 FONCTIONS ABÉLIENNES.
cesse pas d'être satisfaite, c'est-à-dire que l'on ait sensiblement (en négligeant les carrés de i -j- >, i + vi, i -f- Ç)
(9) i-i--fi-^t=-3.
Ou tire de là, en combinant les équations (-j) et ((j),
t étant un paramètre arbitraire; telles sont les valeurs de u, r, u' qui correspondent aux génératrices. .
De li- v- w- ^ I on nurail pu déduire, au lieu de (4), la relation
(4 bis) ui-w = — I.
On peut donc tracer sur la surface deux familles de cubiques gauches, formées chacune d'une double infinité de courbes, et correspondant la première à (4), la seconde à (4 bis).
Si nous prenons [\bis) au lieu de (4) et que nous écrivions (5), nous trouverons
(ibis) "~y > '' = 7 -^ "'= '
avec la condition
(H bis) ç^ç = ç,-i^ + ç 2.
Les génératrices du second système correspondent alors aux valeurs
qui rendent les expressions (7 bis) indéterminées et qui satisfont à (8 bis).
Quant à la directrice correspondant au premier système, elle correspondra aux valeurs
qui satisfont à (S bis) et qui donnent
