M = C = IV = — I

Enfin la directrice correspondant au deuxième système correspondra aux valeurs

FONCTIONS ABÉLIENNES. 439

qui snlisfont à (8) el qui donnent

it = (' = »' = I.

Ainsi les génératrices du premier système el la directrice du second appartiendront à la première famille de cubiques; les génératrices du second système et la directrice du premier appartiendront à la seconde famille de cubiques.

Notre surface est donc le lieu des milieux des cordes de deux cubiques gauches qui ont respectivement pour asymptotes

et

Etant données trois droites quelconques dans l'espace, je puis toujours choisir des axes obliques tels que ces droites aient pour équations

[1 suffit ensuite d'une transformation homographique très simple (en changeant ce, y, z un —1 yi - ] pour ramener les équations (i i) aux équations (i o).

Si nous nous rappelons qu une cubique gauche est déterminée par ses asymptotes, nous conclurons que le lieu des milieux des cordes d'une cubique gaucho quelconque est une transformée homographique de la surface (3) el par conséquent est une surface à centre.

On peut prendre la question par un autre côté.

Soient ^1, ^2, Ç:i les coordonnées d'un point; soit une cubique gauche ayant ses asymptotes parallèles aux axes; les équations de la cubique pourront se mettre sous la forme

où t est un paramètre variable et les p, a et b des constantes. La surface lieu des milieux de ses cordes aura pour équations

où t el U sont deux paramètres.

Soit P un polynôme du premier degré par rapport à chacune des trois

44o FONCTIONS ABELIENNES.

variables \. et par conséquent du troisième degré par rapport à l'ensemble de ces variables; ce polynôme contiendra huit coeflicienls arbitraires.

Si nous y substituons à la place des ^,- leurs valeurs (12), on obtiendra une fonction rationnelle R tant en t qu'en ;/ et symétrique par rapport à ces variables. Si nous décomposons celte fonction rationnelle en éléments simples, d'abord par rapjiort à <, puis par rapport à u , nous pourrions obtenir seize éléments différents; on pourrait avoir en effet un terme

où le premier facteur pourrait être remplacé par

t — «2 t — «3 et le second par

ou I,

Mais on voit d'abord qu'il ne peut y avoir de terme en

{l — (n){u — ai) mais seulement en

(t — ai){u — a/i) ^ < '

Le développement de notre fonction rationnelle R en éléments simples comprendra donc treize termes; et si l'on observe que, par raison de symétrie,

et

et

/ — iii u — «/

doivent avoir même coefficient, on verra que le développement R contient sept coefficients.

En annulant ces sept coefficients, on impose sept conditions aux huit coefficients de P, mais il en reste encore un arbitraire; de sorte que l'équation de la surface ( i a ) peut s'écrire

cette surface est donc du troisième degré.

FONCTIONS ABÊLIENNES. 44'

Jusqu'ici l'origine est restée arbitraire; nous pourrons la choisir de façon à faire disparaître les trois termes du second degré; alors, comme la surface doit avoir un centre, le terme de degré zéro disparaîtra de lui-même.

Passçns encore à une autre hypothèse; soit

«1, Mo, Uj très voisins de a,, a^, a;,; «4 distinct de od,. Posons encore

ui= Xi-h tli (i = I, 2, 3), «;,x = <-r,->, il viendra, en négligeant les ternies en l'',

e = pu; o;o'- o;(e,?,e,- y, :,f, v, ^i,- -^ ,j,,),

et l'équation 0 ^ o s'écrira

Nous sommes ainsi ramené au cas précédent.

XI. — Extension au cas de /> = 4- Nous allons examiner une dernière hypothèse

Ui, U2, M;;, U; très voisins de ^i, Xn, «j, a^.

Cette hypothèse va enfin nous permettre de montrer que les fonctions non spéciales, c'est-à-dire les fonctions abéliennes de genre p qui ne sont pas engendrées par une courbe algébrique de genre/?, ne conservent pas le caractère translatif, c'est-à-dire que les théorèmes de Riemann ne sont plus vrais pour elles.

Posons encore

il viendra, en négligeant les termes en t'',

e = «'0', o'„0',ou?.?2?.-.ç>- sy,,,Ç3|v+ 2ti,2ï3.v).

La première somme

442 FONCTIONS ABÉLIENNES.

comprend six termes que l'on dédiiil les uns des autres en permutant les indices, de sorte que

-Tl,2Ç.l?V= Tl,-2?3?V-t- Tl,3?2?l-+- Tl/.?2?.1-+- Y2.3?l?l-I- T2,vÇl?3-+- T:i,V?l?-2.

La seconde somme comprend trois termes déduits les uns des autres par permutations d'indices, de sorte que

STl,2T.-i,l= Tl,2T3,ï+Tl.3T2.V-t-Tl,tÏ2,3.

L'équation 0^0 peut donc, pour t très petit, être remplacée par la suivante :

C'est l'cquatiou d'une variété à trois dimensions dans l'espace à (juatre dimensions, si l'on regarde les i comme des coordonnées rectangulaires dans cet espace. J'appellerai cette variété V. Elle est algébrique et du quatrième degré; elle admet l'origine comme centre de symétrie.

La variété à trois dimensions qui a pour équation

si l'ou y regarde les u comme des coordonnées rectangulaires dans l'espace à quatre dimensions; cette variété dis-je, jouit, si la fonction 0 est spéciale, d'une propriété analogue à celle des surfaces de translation distinguées.

Considérons en cfTet la courbe (variété à une dimension) qui a pour équation

Prenons trois points quelconques sur cette courbe; le lieu du centre de gravité de ces trois points sera, d'après les théorèmes de Riemann, la variété 0 = o.

Nous appellerons donc variété de translation^ toute variété dont l'équation peut se mettre sous la forme

t, t' et l" étant trois paramétres.

En donnant à deux des paramètres t, t' , t" des valeurs constantes et faisant varier le troisième, on obtiendra trois systèmes de génératrices.

Si les trois fonctions y',, yi , /'J sont identiques, c'est-à-dire si les génératrices des trois systèmes sont égales et semblablement orientées, la variété sera dite

distinguée; les trois systèmes de génératrices se confondront en un seul; et la courbe

?,= 3/i(0 s'appellera directrice.

Etudions les points à l'intini, cousldérous une asyuiplolc d une des génératrices et prenons-la par exemple parallèle à l'axe des ;.i. Soit <» une valeur de t!' telle que

/";(<v) = oc.

Posons alors, pour abréger,

Nous voyons que, pour <''^= l-,, on a (3) |4 = »; ?,=/,(0 +/;(<')-!-"/ (' = ',2, 3).

Si donc dans l'équation de la variété (2). obtenue en éliminant ^, t' et l!' entre les équations (2), on no considère que les termes du degré le plus élevé en ?•, (ce qui revient à faire c-, = oo), on obtiendra une certaine équation en >i, £2, ^:, qui sera l'équation d'une surface de translation. Si la variété (2) est distinguée, il en sera de même de cette surface et sa directrice aura pour équation

La variété V doit être de translation, au moins quand la fonction 0 est spéciale, et l'on peut supposer, par conséquent, qu'on ait mis ses équations sous la forme (2).

Donnons alors à t' une valeur constante qui rende f'[{t.") infinie. On obtiendra les équations (3) qui (abstraction faite de l'équation ^( = 00) définissent une certaine surface S.i, qui sera de translation.

On obtiendra l'équation de celte surface S, en égalant à zéro le coefficient de la plus haute puissance de ?•, (c'est-à-dire do Çi) dans l'équation (i).

On définirait de la même manière les surfaces Si, S^ et .S3. L'équation de la surface Si, ainsi obtenue, s'écrit

(4) ?1?2$3— ÏS.sÇl— Yl.sEs— ïl.2?3=0.

C'est la surface que nous avons étudiée dans le numéro précédent.

Nous avons vu que c'était une surface de translation distinguée. Les

équations (3) doivent donc être celles dune surface distinguée, c'est-à-dire que l'on doit avoir

fl = fi ('=1,2,3).

Comme j'aurais pu tout aussi bien raisonner sur y"., ou f',^ au lieu de /", que rien ne distingue de/» elf\, je puis écrire

A = /l = f" ri = i,2, 3),

et comme j'aurais pu raisonner sur Sj, Sj, S3 comme sur S», nous aurons

c'est-à-dire que V sera une variété de translation distinguée.

Quelle sera maintenant la nature de sa directrice? La directrice de la surface Si, qui a pour équation

est, comme nous l'avons vu. une cubique gauche ayant ses asymptotes parallèles aux axes. Il en sera donc de même de la courbe

Or, ce qui caractérise une cubique gauche, dont les asymptotes sont parallèles aux axes, c'est que deux quelconques des trois coordonnées sont liées par une relation homographique. Donc, deux quelconques des trois quantités 3/i(/), ^/^{t), 3/:i(<), ou (puisque j'aurais pu raisonner sur Si aussi bien que sur S,) deux quelconques des quatre quantités 3/i(/), 3/^(1), 3f:\(t), 3/,i(<) sont liées par une relation homographique.

Donc la directrice de la variété V est une courbe de l'espace à quatre dimensions, analogue aux cubiques gauches; c'est une quartique que j'appellerai Q et dont l'équation est de la forme

(5) ç,.= JA H-6i (j = i,-., 3, 4).

Soient donc

'çi=Vi\ (i=i,2, 3),

les asymptotes de la quartique Q.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 445

La cubique qui sert de directrice à la surface S.» aura pour asymptotes

?/= ■^'>-'ic-+- K (i = I, 2, 3; X- = I, 2, 3; i^k).

Or nous connaissons les asymptotes de la directrice de S,,; on peut les déduire de l'analyse du numéro |)récédent.

J'appellerai /,''■'"'' asymptote (A- = i,2,3) de cette directrice celle qui correspond à ^= oo , et j'écrirai la première équation de la première asymptote sous la forme

La surface S;, a deux directrices; le signe + correspond à la première directrice, le signe — à la seconde. Nous prendrons, par exemple, la première directrice et le signe +.

Les autres équations de la première asymptote et celles des autres asymptotes se déduiraient de l'équatiou (7) par permutaiions d'indices.

Nous aurons ainsi six équations analogues à {'])', j'appellerai équation (A. h) celle des équations de la k'"""' asyn)ptole qui donne E/,.

On verrait alors que dans l'équation (A", h) on doit prendre le signe + si h succède à A" dans l'ordre circulaire 1, 2, 3, i , et le signe — si c'est A qui succède à h.

On a donc

avec cinq autres équations analogues.

De ces six équations (8) on déduit d'ailleurs aisément

( À-; + Xii + xj = o.

On peut, en considérant la directrice de Si, de So, ou de S;, au lieu de S,, obtenir trois autres groupes de six équations analogues à (8).

Cela ferait en tout vingt-quatre équations; mais elles ne sont pas toutes distinctes. En elTet, les équations (8) peuvent être remplacées par trois d'entre elles et par les trois équations (g). Chacun des quatre groupes de six équations peut être remplacé par trois de ces six équations et par un groupe de trois équa-

446 FONXTIONS ABÉLIENNES.

lions aaaloguesà (9). Mais les quatre groupes de liois éfjualioiis analogues à (()) ne conliennenl en réalité que quatre équations distinctes, à savoir les trois équations (g) et l'équation (9 bis) a\ -+- Ai -+- ÀJ = o.

Il y a donc seulement seize équations distinctes que j'appellerai les équations (10).

Il faut dire quelques mots au sujet des radicaux qui entrent dans ces équations. Il semble au premier abord que les six équations (8) contiennent trois radicaux distincts

lA'^- i/-^' \/-

Ti.aTî.H.

Tl,2

mais ils s'expriment tous rationnellenieut en fonctions des y et du radical unique

pv= s'— T-2,--rri,2Ti..<-

Nous avons donc en tout dans nos équations (10) quatre radicaux pi, pj, p,,, p., que l'on peut déduire de p', par permutations d'indices. En réalité, ces quatre radicaux ne sont pas encore distincts; car le produit p,p.jp;, p., est égal au produit des six y et, par conséquent, rationnel. D'ailleurs, il est iuipossible, si les y sont regardés comme indépendants, d'exprimer p;,, par exemple, en fonction rationnelle de pi, de po et des y.

Si donc on se donne les y, il faudia encore se donner le signe de pi, po, p:i ; le signe de pi s'en déduira.

Nos seize équations (10) peuvent se répartir en quatre groupes de quatre. Le premier groupe contiendra les équations qui définissent les À' et qui s'écrivent

■...XI + 5.1= -tL,

Voici comment ont été déterminés les signes des seconds membres. Revenons à l'équation (7); le second membre, en prenant le signe + devant

le radical, s'écrit ^; j'ai donc pris, pour la première équation (8),

(H bh) 2X?-t-À;= ■^•

FONCTIONS ABÉLIENNES. 44;

Pour olHeilir les cinrj aiilies cqualions (S), il suffit de pormulcr les indices i, 2, 3, de toutes les façons possibles, en conservant le signe + devant le second membre si la permutation appartient au groupe alterné et en lui dtjnnant le signe — dans le cas contraire.

On obtiendra ensuite les trois autres groupes de six équations analogues ù (8) en permutant circulairement les quatre indices i, 2, 3, 4- Celle règle pourrait toutefois soulever une diflicullé. Quand on permute circulairement i, 2, 3, 4, pour les changer en 2, 3,4, ' , le carré p\ se change en p; ; mais ou ne sait pas si p4 se change en + pi ou en — pi.

Pour tenir compte de cette difficulté jécrirai la première équation (S), non plus sous la forme (8 bis), mais sous la forme

(8 ter) 2X?-hX|= îi^.

où Eji = zti et dans les autres équations (8) je remplacerai de même p., par £ip,. Je ferai ensuite uue permutation circulaire d'indices, et j'obtiendrai trois autres groupes d'équations analogues à (8) où entreront trois nombres £,, ï2, £:i, tous égaux à ± I .

Cela posé, nous avons vu que de nos quatre radicaux p, trois sont indépendants; je puis donc prendre arbitrairement le signe de trois d'entre eux; celui du quatrième s'en déduira; de même, je puis prendre arbitraircmenl le signe de trois des s, celui du quatrième s'en déduira. Je puis donc faire

Mais je ne sais pas si £1 est égal à + 1 ou à — 1 .

C'est ainsi que j'ai obtenu les équations (11). Pour qu'elles soient compatibles, il faut et il suffit que

T»,:. Tii,-, T-2,v ou que

('2) V/Ti,2Ti,3T3,4T2,V-^ V ïl,:iTl.4T2,3T.i,l= V'T 1.2 Tl ,1 T2,3 Ï3,l.

Celle condition ne change pas quand on permute circulairement les quatre indices; les quatre groupes d'équations analogues à (i i) seront donc compatibles si l'on suppose la condition (12) satisfaite et que l'on prenne £, =^ i .

La condition (12) est donc la condition nécessaire et suffisante pour que les seize équations (lo) soient compatibles.

Ou peut encore se demander s'il existe une quartique Q admettant les

448 FONCTIONS ABÉLIENNES.

asymptotes définies par ces seize équations et si la variété de translation distinguée, dont Q est la directrice, csl bien la variété \ .

Nous savons que les périodes a,-^^ sont au nombre de - — ? c'est-à-dire,

dans le cas de p =-. ^, au nombre de lo. D'un autre côté, le nombre des modules d'une courbe de genre 4 est égal à op — 3 = 9. Il faut donc une condition et une seule pour qu'une fonction 0 de genre 4 soit spéciale; si cette condition unique est remplie, la variété 0 = o est une variété de translation distinguée.

Si les termes latéraux a,A- {i<'^') sont très petits, cette variél('' dillére très peu de V; il suffit donc d'une condition pour que V soit une variété de translation distinguée. Or nous venons de voir que, pour que V soit une variété de translation distinguée, il y a une condition nécessaire, c'est la condition (1 2); donc, comme d'ailleurs l'équation (la) est indécomposable, cette condition sera aussi suffisante.

Nous pouvons donc énoncer les résultats suivants :

1" Si une fonction 0 n'est pas spéciale, c^ est-à-dire si elle ne doit pas son origine à une cmirbe algébrique de même genj-e, l'équation & := o ne présente pas, en général, le caractère translatif qu'elle présente, au conliairc, d'après les théorèmes de Riemnnn si la fonction 0 est spéciale.

2" Pour qu'une fonction 0 de genre 4 doii>'e son origine à une courbe algébrique de genre \, il faut et il suj/it qu'il v ait une certaine relation entre les périodes ai^n.

Cette relation est transcendante et, en général, assez compliquée. Mais si les périodes c/, ^ étant finies, les jiériodes a,,A ('?/>') ^ont très petites, cette relation se réduit à

(12 bis) yûîi.sai, 3^3, ïOj, 4 H- vii.jcti, 402^:16(2, t = fai^iOifa^^za^.

Pour l'étude de la variété V, on peut encore raisonner comme il suit :

Reprenons les équations de la quartique Q; la variété dont cette (juartique est la directrice aura pour équations

t — Oi U — Oj (' — Uj

t, u et (' étant trois variables auxiliaires.

Soit maintenant 1' un polynôme entier du premier degré par rapport à

FONCTIONS ABELIENNES. 449

chacune des quatre variables ^, (el, |)ar conséquent, du quatrième degré par rapport à l'ensemble de ces quatre variables). Ce polynôme contiendra seize coefficients arbitraires.

Substituons-y à la place des Ç, leurs valeurs (i3); P deviendra une fonction Pi rationnelle en t, u, ç; décomposons cette fonction rationnelle R en éléments simples d'abord par rapport à t, puis par rapport à u, puis par rapport à v. Chaque élément sera le produit d'un coefficient numérique et de trois fadeurs. I>e premier facteur peut être

le second

le troisième

A ce compte, le développement de 1\ pourrait contenir 5^=120 éléments simples; mais il faut observer qu'aucun élément ne peut contenir deux des trois fadeurs

avec le même indice i; le développement de R contient donc siiulement soixante-treize éléments simples.

Si l'on observe ensuite que la fonction R doit être symétrique en t, m, v, on voit que plusieurs des coefficients de ces soixante-treize éléments d(jivenl étie égaux, de sorte qu'il ne reste que quinze coefficients distincts.

Si j'annule ces quinze coefficients, j'introduirai quinze relations entre les seize coefficients de P, de sorte qu'un de ces seize coefficients reste encore arbitraire.

I^'équation de la variété dont (} est diicitrice sera donc de la furnie

Nous avons choisi les axes parallèles aux asymptotes de (^, mais les directions des axes sont seules ainsi déterminées, l'oiigine reste arbitraire; je puis en disposer de façon à faire disparaître h^s quatre termes du troisième degré du polynôme P.