I'.- IV

45o FONCTIONS ABÉLIENNES.

Je dis que les quatre termes du premier degré auront disparu du même coup. Posons

P= P.ïi-i-P'..,

P» et P'j étant deux polynômes du premier degré par rapport à chacune des trois variables ^i, ço, ^:, et, par conséquent, du troisième degré par rapport à l'ensemble de ces trois variables. L'équation P.i=o doit être, comme nous l'avons vu plus haut, celle d'une surface de translation distinguée ajanl pour équations

et pour directrice

bi.

C'est donc, d'après le paragraphe précédent, une surface à centre et, comme les termes du deuxième degré (qui donnent dans P des termes du troisième degré) manquent par suite du choix de l'origine, le centre ne peut être qu'à l'origine. Le terme de degré zéro doit donc manquer également.

Donc le terme en c/, manque dans P, et l'on démontrerait de même que les autres termes du premier degré manquent également.

Le polynôme P ne contient donc que des termes de degré pair et nous pouvons écrire

p = E,ç-iÇ:.l.- 2-0, »;:,;*-+- S.

Le polynôme P conlient donc encore sept coefficients, à savoir S et les six y. L'équation de la quartiquc Q contient douze arbitraires, à savoir les quatre «,, les quatre (3; et les quatre b,; mais nous pouvons faire subir à / un changement linéaire en posant

X, [x, II, p.) étant des constantes quelconques que nous pouvons choisir de telle façon que fli, «2 et a-i aient des valeurs données; il reste 12 — 3 := 9 arbitraires; de plus, nous avons choisi une origine particulière, ce qui revient à attribuer aux quatre bi des valeurs particulières. Il reste donc 9 — 4 = 5 arbitraires. Il faut donc 7 — 5 =: 2 conditions pour que P = o soit une variété adincllanl une quarlique pour directrice.

FONCTIONS ABELIENNES. 45l

L'une de ces condilions nous est déjà connue, c'est la condition (12). Nous savons, d'autre part, quand celle condition est remplie, déterminer les asymptotes de la quartique Q. C'est ce que les équations (10) nous permettent de faire.

Ces équations nous donnent en ell'et les 1 en fonclion des y. Dans les équations (10) entrent trois irralionalités; nous avons en effet quatre radicaux pi, po, p3, p., dont le produit est rationnel, mais qui sonl d'ailleurs indépendants. Mais, si l'on introduit entre les y la relation (12), celte indépendance cesse. En tenant compte de la relation (12) on peut exprimer rationnellement, en fonclion des y, les produits des p,- deux à deux.

On obtiendra donc les /. en fonctions rationnelles des y et de l'un des p. et l'on en déduira sous la même forme la valeur de a,,, celles des j3; et celles des 6,-.

Toutes les constantes qui entrent dans les formules (i3) sont alors déterminées en fonction des y.

Substituons alors à la place des ^, leurs valeurs (i3) dans l'équation P = o; nous trouverons une équation qui nous donnera â, et la valeur de 0 ainsi trouvée devra être indépendante de t, u et v el dépendre seulement des y.

On peut faire ce calcul en donnant à t, u, c des valeurs arbitraires; mais le plus simple est de prendre t ^ u =: i>; le point qui correspond à < = m = t' est un point de la directrice. Voici coiniiient on pourra diriger le calcul :

Nous pouvons, comme je l'ai dit plus haut, remplacer, dans les équations de la quartique Q, la variable t par une autre variable t' liée à la première par une relation homographique. Le plus simple est de prendre

Les équations de la quartique Q se réduisent à

Substituons les valeurs (i4) dans l'équation P = o; nous obtiendrons une équation qui nous donnera 0. La valeur trouvée devra être indépendante de 5^-

Supposons cj, très grand et développons t^i suivant les puissances décroissantes de ti, il viendra

Substituons ces développements à la place de £,, ^-j, ^3.

452 FONCTIONS ABÉLIENNES.

Dans P, nous obtiendrons un développement procédant suivant les puissances décroissantes de Ei, et commençant par un terme en tj ; le premier terme du développement est

l.[b,l)-ib,-hl>,-hb,^l>,]

et le second

3:i, (6., /A,-v,,,)-f- 3 :i2(6ii'.-Vi.-)-+-3ri:,(6, />,■;,,,)

— -;i,'.b-2b::— ■!-2,i 0,0.1— -l:i,iO,0..-h 3.

Ces deux termes doivent s'annuler; le premier s'annule de lui-même quand on y remplace les (3 et les b par leurs valeurs en fonction des y; en égalant le second à zéro, on aura une équation qui donnera o. On trouve aisément

on obtient aussi, sans peine, les expressions des 6,- et, en tenant compte de (12), on a finalement

(16) 2 = •fi,-2 7r!,l-l- Ti.sTm-S- ïl,vï-2.r,.

Les conditions (12) et ( i 5 ) sont donc les deux conditions nécessaires pour que P = o soit l'équation de la variété dont Q est la directrice.

On peut, d'après ce qui précède, obtenir les À en fonctions rationnelles des y el de l'un des p, et comme p est susceptible de deux valeurs égales et de signe contraire, on trouvera pour chacun des X deux valeurs.

La variété V admet donc deux directrices Q et elle sera, de deux manières dillérentes, une variété de translation distinguée.

Par raison de S3métrie, il est évident qu'on passera d'une des diiectrices à l'autre en changeant ç, en — E,-.

Ce résultat ne doit pas nous surprendre; et en effet la variété

est aussi, de deux manières dillérentes, uue variété distinguée et elle admet deux directrices qui ont respectivement pour équations

Ul = -h 'i (',, lli = — 3 fj.

Les mêmes considérations peuvent être étendues au cas de /> > 4-

Le nombre des quantités a,-,/, est égal à

Celui dés modules d'une courbe de genre p est >/> — 3. Pour qu'une fonction 0 soit spéciale, il faut donc

Ll '1

conditions.

Supposons maintenant les termes latéraux 1res petits, ui très voisin de tz, et posons

Conservons seulement dans le développement de 0 le premier ternie qui est en f et négligeons les suivants.

L'équation 0 ^ o devient alors celle dune variété algébrique que j'appelle V et qui est de degré/?; le premier membre de l'équalion de V contient

indéterminées qui sont les y.

SI V est une variété de translation, ce sera une variété de translation distinguée et les équations de sa directrice seront de la forme

ri6) £,= t — 'a ^''' (i = ', '-i, ■■■■ P)-

Les équations (i6) contiennent '>p indéterminées qui sont les (j, les a et les b. Si j'exprime que la variété dont la courbe (i6) est la directrice admet l'origine pour centre, j'aurai déterminé les b et il me restera 2p indéterminées. D'autre part, je puis choisir le paramètre / de telle façon que a,, a,, rt;, aient telles valeurs que je veux. Il me reste encore 2p- — 3 arbitraires. Donc, pour que V soit une variété distinguée, il faut

Pip^m (,^, 3; = (p-'-'Up-y)

conditions.

C'est le même nomi)re que |)Iiis haut. Quelles sont ces conditions? On voit d'abord que la condition (12) doit encore être remplie, ainsi que toutes celles

454 FONCTIONS ABELIENNES.

qu'on en peut déduire par permutalions d'indices. Le nombre des conditions ainsi obtenues est égal au nombre des combinaisons de /) lettres 4 à 4- Ce

nombre est plus grand que -^ —I- ^i d'où il suit que ces conditions ne

sont pas toutes distinctes.