XII. — Cas voisins des cas singuliers abéliens
Soit/> = 3, et considérons la fonction 0. SI
on tombe sur le cas singulier abélien et l'on a
0 étant une fonction 0 de genre i de î/i et de «•>, et 0;, une fonction 0 elliptique de M:i.
Supposons maintenant que ai,:, et r/.j,:, ne soient pas nuls, mais très petits, de façon qu'on se trouve dans un cas voisin du cas abélien. Posons
1 étant un paramètre très petit, et développons suivant les puissances de /; il viendra, en négligeant £-,
yi) ^ jYO
/(/ 1 ' ' du ,
Je désigne par 0', ce que devient -^ quand on y remplace u.; par x^. L'équation 0 ^ o se réduit à
.Si l'on regarde ;, U| , u-, comme des coordonnées rectangulaires, l'équation (i) doit être celle d'une surface de translation.
Nous avons vu plus iiaut à plusieurs reprises, et notamment au paragraphe VJ, qu'une génératrice d'une surface de translation
FONCTIONS ABELIENNES. 455
doit avoir pour équalion
<l.f : (If
y., p, Y étant des constantes.
Si donc nous posons
dii'j ' rhii du-i ^' du% '
nous aurons pour l'équation d'une génératrice de la surface (i),
^i = 2, •;, R H- (a.iYi-t- ai '(2)^ -+- a^Y-jT,
y.i, a, et 3 étant trois constantes.
Ou bien
(2) aivi RO--t- (a.,v, -i- OL, v.)SO-^-i- a.,-,'-2T05— 30°-= o.
Or RO-, SO-, TO-, 0- sont des fonctions 0 de genre 2 et du second ordre aj-ant mêmes multiplicateurs, appartenant, par conséquent, au même faisceau (toutes ces fonctions sont paires).
II eu est donc de même du premier membre de (2), que j'appellerai
Notre génératrice a donc pour équation
tJ lli) = o.
Une autre génératrice aura pour équation
Y)' étant une fonction 0 avant mêmes multiplicateurs que rj. Mais, comme elle doit être égale à l'autre génératrice, elle devra aussi avoir pour équation
h, et /i, étant deux constantes. Or les fonctions r/(u,) etr,,(f/, — /(,) n'ont pas mêmes multiplicateurs; elles ne peuvent donc être identiques, d'où il résulte que les deux courbes (3) cl (4) ne peuvent avoir une partie commune qu'à la condition de se décomposer.
Donc r/{ui), r,{ui — /«,) et ïi(f/,) doivent se décomposer on deux facteurs,
et l'on aura
T| (;<;) = c 0 ( (/,■ — e,- ) 0 ( «, -H Ci ),
456 FONCTIONS ABÉLIENNES.
c. Cl et P2 étant trois constaules. On obtiendra une génératrice en annulant l'un des deux facteurs, c'esl-à-dire en faisant «,= i',±e,:; je dirai en faisant Mj=(',-(-e,, ce qui ne restreint pas la généralité, puisqtie rien ne distingue e, de — e,-.
Donnons de loul cela une interprétation géométrique. Si R, S et T sont trois coordonnées rectangulaires, le point (R, S, T) sera sur une surface de Kummer; l'équallon (2) représentera un plan et pour que la fonction •/) se décompose, il faut que ce plan soit un plan tangent.
IjCs génératrices de la surface (i) correspondront donc aux intersections de la surface de Kummer par ses plans tangents, ou plutôt à quelques-unes d'entre elles.
Observons que le plan défini par l'équation (2) est parallèle à la droite
( f>) Yi R -^ T-. S = o, 7,8-+- Y,T = o.
Les courbes qui, sur la sur/ace de Kummer, correspondent aux génératrices de la. surface (1) sont donc les intersections de celte surface de Kummer avec les plans tangents cjui lui sont menés parallèlement ci la droite (5).
La droite (5) se trouve sur le cône du second degré (6) RT — S-=(..
Le plan r, = o défini par l'('quation (2) est donc tangent à la surface de Kummer en un point M dont les arguments abéliens f/, et Uj seront définis par les équations
D(m, — e/) = o. OC«,-i- e,') = o.
Il est langent en outre au cylindre N qui est circonscrit à la surface et dont les génératrices sont parallèles à la droite (:>).
A.U point M je ferai correspondre le point M' qui a pour arguments abéliens 6) et e-, augmentés d'une des dix demi-périodes qui n'annulent pas 0. Voici quelle en est la signification.
La surface de Kummer est sa propre polaire réciproque par rapport à une quadrique convenablement choisie (et cela de dix manières différentes). Le point M' sera, d'une de ces dix manières, le réciproque du plan (2), et quand le plan (2) enveloppera le cylindre N, le point M' décrira une certaine courbe
FONCTIONS ABÉLIENNES. 4^7
plane Q ilniil le plan sera le réciproque liii point à l'iulini défini pat- les équations (5).
Etudions celte courbe Q.
Supposons que l'on ail mis les équations de la surface ( i ) sous la forme translative
«, =/uo +/;(■<■ )■
On aura l'équation d'une génératrice eu donnant, soit à / soit à L' , une valeur constante; mais nous avons trouvé pour l'équation d'une génératrice
^{Ui—ei) = o, d'où
M,= Ci -h Cl.
On aura donc, si la génératrice a été obtenue en faisant t' ~- const.,
Jiit) — (',= Ci— fi (/') — const.
Hii trouverail de nièiae, en considérant la génératrice obtenue en faisant t = const.,
//(rj — !■; = const.,
d'où
'-ii = /•{'}+ J"i{l') = '•<-+- (•;-!- const.;
j'appellerai /., la constante du second membre et j'écrirai d'où
Or la courbe Q a pour équation
Ui= e,-+-ro,,
m, élant une demi-période. Cette équation peul s'écrire
Ai + ST, est une constante. i'| est une fonction de x' , x' étant un des points de la courbe C.
Donc la courbe Q est ])lane et son plan doit être langent à la surface de Kummer.
H. p. — IV. 58
458 FONCTIONS ABELIENNES.
Le poinl à l'infini dans la direction (5) qui est le réciproque de ce plan, doil se trouver sur cette surface.
La conique à l'infini, définie par l'équation (6), est donc sur la surface; c'est donc une des seize coniques singulières de la surface.
Pour achever l'étude des génératrices, reprenons la surface
0 r/(lt 0 //II;
On obtiendra l'équation complèie d'une génératrice en adjoignant à l'équation ( I ) l'équation
d'où l'on lire
Une autre génératrice aura pour équations
et, comme elles doivent être égales, on devra avoir
<l>((■i-^-e',) — 'i>{t■i-hc^) = k,
k étant une constante. Posons donc
■i/(iii) = *(<-;-+- «,) — 'i'(Pi-+- l'i) — /'■
La fonction ']'(w/) est évidemment une fonction abélicnne qui a pour dénominateur
0(tt,-i- Ci) 0(«,-i- e]).
Le numérateur doit évidemment être une fonction 0 du deuxième ordre appartenant au mémo faisceau que le dénominateur.
D'autre part, le numérateur doit s'annuler pour w,=: c,-, c'est-à-dire pour 0'(m,) = o.
Il se décompose donc on deux facteurs : un de ces facteurs doit être 'J(M;) cl il est aisé d'en déduire l'autre fadeur. On aura donc
M étant un facteur constant.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 469
L'étude de cette identité conduirait sans doute à des résultats intéressants, mais je ne l'entreprendrai pas ; cela m'entraînerait trop loin.
Je me bornerai à résumer cette discussion; pour avoir les équations des génératrices, on posera
/x'i étant la constante définie plus haut; si sur la courbe C on envisage deux points X elx', Tintégrale c, sera fonction dexel l'intégrale c) de x' ; on obtiendra alors toutes les génératrices en faisant, soit x = const., soit t'= const. On voit en même temps que la surface (i ) est une surface de translation distinguée.
La conique définie par l'équation (6) est l'une des coniques singulières de la surface de Kummer et comme elle est rejetéc à l'infini, si l'on considère Pi, S et T comme des coordonnées rectangulaires, elle est dans le plan
Son équation se réduit donc à u/=^ r,-, c'est-à-dire que, au point à l'infini dans la direction (5), on doit avoir
x„ étant un point fixe de C et v" la valeur correspondante de l'intégrale c,- (je pourrais aussi bien écrire «; = -!- c", car l'équation 0 = o est aussi bien équivalente à M,== -I- i>i qu'à «;= — (',).
D'autre part, l'équation de notre génératrice sera
"/ = '•; + Pi-
La courbe qui correspond à cette génératrice sur la surface de Kummer devra passer par le point à l'infini dans la direction (5), puisque cette courbe est l'intersection à la surface avec un plan tangent passant par ce point. II existera donc sur la courbe C un point x^, tel que
Il existera aussi sur C un point x', tel que
La courbe C est une courbe plane du quatrième degré à point double; la droite qui joint x' à Xn va passer par ce point double. Il vient alors
e, = (■; — pf
46o FONCTIONS ABÉLIENNES.
et pour réquation de notre génératrice
La quantité que nous avons appelée plus haut /., est donc égale à — c,".
Soit maintenant /> = 4 et considérons une fonction 0 spéciale. Si l'on avait
f) serait le produit d'une fonction de genre 3 et dune fonction de genre i, et l'on aurait
0 dépendant de u,, Mo, M;, et 0-, de m,.
Supposons maintenant que rt,,-,, a^,. , a.i.i ne soient pas nuls, mais très petits, de façon qu'on se trouve dans un cas voisin du cas abélien. Posons
et développons f) en négligeant /-, il viendra
L'équation 0 = o se réduit à
^'"^ ^- = V ^ ^ i'cTi^ ^ T .tït: = ^^'"" "^' «^>'
ce doit être l'équation d'une variété de translation.
Mettons les équations de cette variété sous forme translative
t, t', t" sont trois variables auxiliaires qui n'ont rien de commun, d'ailleurs, avec la variable l qui entre dans les équations (g). On obtiendrait une génératrice en donnant à <' et à t" des valeurs constantes; si l'on donne à l" seulement une valeur constante, on obtiendra un faisceau de génératrices dont l'équation peut être mise sous la forme suivante. Soit, pour cette valeur constante de t",
les ,3; seront des constantes.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 46l
[^'équation du f'aisccnu de génératrices pourra s'écrire
f/Ul 7((; (/«,;
sont des fonctions 0 qui ont mêmes multiplicateurs. Le produit du premier membre de (i i ) par 0- sera donc une fonction r; ayant mêmes multiplicateurs que 0-. L'équation ( i i ) devient donc
Un autre faisceau de génératrices devrait avoir |)our ('(piation
■(! ayant mêmes multiplicateurs que rj. D'autre part, il devrait avoir pour équation
les /.-, étant des constantes. 11 en résulte que o doit se décomposci- et qu'on doit avoir
Ti = n(«, — e,)0((/,-+e,).
Comme rien ne distingue e,- de — e,, je |)uis dire que l'équation d'un faisceau
de génératrices s'écrit
(i9.) 0("/— ei) = o.
On déduit de là
(i3) iii= r,-t- v', -\r e;
ou Lien
(',, v\ , v\, l'J' sont les valeurs de l'intégrale r, qui correspondent à (juatre points de la courbe C, que j'appelle x^ x\ x" , x" .
On voit ainsi quela surface(i2) est de deux manières différentes une surface de translation, et que ces deux manières sont définies respectivement par les équations ( i .':>) et ( i4 )•
462 FONCTIONS ABÉLIENNES.
D'autre pari, on peut écrire les équations de la surface (12) sous la forme
où t" et, par conséquenl, //('") sont des constantes.
Ou peut alors faire trois hypothèses
On bien les équations (i5) sont équivalentes aux équations (i3). c'esl-à-dire que Ion a
/,(/) = Cj-J- const., //('') = ''! -t- CDiist.
Ou bien les équations (i5) sont équivalentes aux ('qualions (14)1 c'est-à-dire que l'on a
fi{t) = — t'," -h const., /I{t') = — ''7 -^ const.
Ou enfin les équations (i5) définissent une troisième manière pour la surface ( 12) d'être de translation.
Cette troisième hypothèse doit être rejetée; on pourrait sans doute démontrer que la surface (12) ne peut être de translation que de deux manières. Mais on peut se dispenser de cette vérification.
Rappelons-nous en elTel notre point de départ. Nous avons envisagé d'abord une fonction 0 spéciale de genre 4- L'équation
représente alors une variété de translation dont les génératrices ont pour équations
(/, = Cj-f- const.,
i', étant une des intégrales abéliennes de première espèce alTércntes à la courbe G de genre 4 qui engendre la fonction spéciale 0.
Nous avons suppos('' ensuite que Ci,.,, 02,4, «:!,■, étaient des infiniment petits et, négligeant des termes d'ordre supérieur, nous avons réduit l'équation 0 -= o à la forme (10).
Mais, quand a,.,, a.,,,, a;,,., s'annulent, la courbe C qui était de genre 4 ^c décomjjose en deux autres, l'une de genre 3 correspondant à la fonction 6, l'autre de genre i correspondant à la fonction 6,-,.
Rappelons-nous que 0 dépend seulement de u,. Uj, M;, et 0.., de u,.
La variété 0 = o reste de translation et l'équation de ses génératrices conserve la forme
iii = (',-i- const.
FONCTIONS ABÉLIENNES. .1G3
Sif^i, 2 OU 3, v'i devra èlre l'une dos intégrales abéliennes de première espèce qui se rapportent à l'une des composantes de la courbe C, à celle qui esl de genre 3 et qu'engendre la fonction 0.
Ainsi la variété (lo) peut être regardée comme de translation et de telle laron que ses génératrices aient [)our équations
"i = ''/ -•- const.
La première hypothèse est donc réalisée.
Observons en passant que la seconde l'est également. En effet, la variété 0 = 0 est de deux manières différentes une variété de translation. De la première manière ses génératrices ont pour équations
iii = i',^ const.
De la seconde manière elles ont poui- équations
Ui = — (', + const.
A la limite, la variété ( lo) sera de translation de deux manièi'es différenlcs. Dé la première manière ses génératrices ont pour équations
«, = Cj-t- consl. ( i = 1, ■), 3).
De la seconde elles ont pour équations
Ui = — c, + const.
Nous nous en tiendrons à la première manière.
Alors les équations de la variété (lo), mises sous forme translative, s'écriront
Ui = l'i -+- !•; -t- 1'," ■+■ /.-,■ ( (' = 1 , 2, 3 ),
Les ki sont des constantes: ar, x', x" sont trois points de la courbe C de genre 3 qui engendre 0; t'/,, ('|, v" sont les valeurs correspondantes de l'intégrale de première espèce i',-.
Puisque l'on a d'autre pail
Ui= l';-|- !■; -h Ci,
on aura donc
'fii FONCTIONS ABÉLIENNES.
Comme rien ne distingue le point x" du point x. nous pouvons supprimer les rtccenls et écrire
(lO) e,= t',-i-/-,-.
Nous avons dit plus haut que le premier nienilire de l'éqnaliou ( i i ) peut se décomposer en deux facteurs et s'écrire
Mais ce produit peut se mettre sous une forme particulière. Posons, pour plus de symétrie dans les notations,
Je désignerai d'autre part par Ç/,(m,), (A==2, 3, ..., 7) les six dérivées secondes de logO multipliées par 0-(a,).
Par exemple i^j, ^w- Ci seront formées avec les dérivées secondes prises deux fois respectivement par rapport à «i, à «2 et à W;, ; Ç^, to, Ki seront formées avec les dérivées secondes prises respectivement par rappoit à ii., et «:,, à H| el u-.t, à Ml et u.j.
Les fonctions Çi, Çj, . . ,, Ç7 ont mêmes multiplicateurs et appartiennent au même faisceau.
Soit Çs une liuitième fonction (juelconque linéairement indépendante des premières et appartenant aussi au même faisceau.
On démontre que
(17) 0(Mi- e,)0(«,--i-e,) = ;,(«,■);', (e;) H- C,(k/)C, («,)+•• •-^-Ï8(",)!;'8(ei)-
Les fonctions Ç', , Ç',, . . , , Ç'^ sont des combinaisons linéaires de Zi- K'2- ■ ■ ■ : Cs ; ce sont donc encore des fonctions appartenant au même faisceau que 0-. Quand on fait là-dedans
l'expression (17) doit (à un facteur constant près qui, étant aritilrairc, jieut être supposé égal à i ) se réduire au premier uiembie de ( 1 i ) multiplié par 'J-'. Or
dF du-i (IV ^
ilu-.
FONCTIONS ABÉLIENNES. 465
On a donc, pour e, =^ P,-t- /«■,•,
d'où
Ti'i — TlT'2'=- + ïl ''.l = O) Y n s: — T-2 T:i ^'r, + T l ? i = o,
D'après le paragraphe V, quand on fait ei= l'i + /,,, il 3- a
/(/' -h /' — lip — I
fonctions du faisceau qui s'annulent identiquement. Ici n = a, p.— ?}] il y a donc dans le faisceau quatre fonctions linéairemenlindépendantes qui s'annulent identiquement. Ces quatre fonctions doivent être Ç,, et les premiers menihies des trois équations (18).
Nous définirons donc les trois constantes /,i, /,^,, /, , par la condition suivante :
devra être nul quel que soit le point x de la courbe G auquel correspond l'intégrale (;•
L'enseuible des valeurs de Ai- /. j, /.;, formera une certaine variété.
Cette variété ne peut avoir trois dimensions; sans cela Ç,, devrait être idenli- (juement nul, ce qui ne peut avoir lieu. En effet, nous avons désigné par 0(f<) la fonction
oiî P est une certaine forine quadratique par rapport aux m, dont les coefficieuts dépendent des périodes.
Considérons maintenant les séries
(19) Se
OÙ je ne donnerai à /«i que des vahuirs paires ou que des valeurs impaires; de même je ne donnerai à m-i que des valeurs paires, ou seulement des valeurs impaires; de même pour m^.
Cela fait deux hypothèses pour 7»i, deux pour //i^, deux pour //(;,; en tout 2'::=8 hypothèses. On peut donc former huit séries (19). Ce sont des fonctions 0 du deuxième ordre ayant mêmes multiplicateurs.
466 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Je les désignerai par
On a alors
0( H,— ei) (i(Ui-h d) = -OiCWiVr.iCc/) -f- 'f,:! ((,) t,-,( e,) -h . . . — Tis^ «;) '''isCf ()■
Los Tii, ïja, . . . , rjs s'exprimeront linéairement à l'aide des ^ et l'on anra
(19) -fi/i = Gi.x^,-!- G...<;;-2-t-. . .-I- Gs.tç»
et l'on déduit de là
(20) 7«(e,-) = G8,i-ii(e,)-H G8,2-r,2(e,- )+...+ G,,8T|8(e/).
Il ne peut pas arriver que l'on ait à la fois
Gj.i = Gs.j = . . . = G8,s = o,
sans quoi les équations (19) montreraient que les r,, ne sont pas linéairement indépendants, ce qui n'a pas lieu.
Il ne peut pas arriver non plus, que les liuit constantes G» * n'étant pas nulles à la fois, 'Ç'^ soit identiquement nul, sans ([uoi Téqualion (ao) exprimerait à son tour que les r^ ne sont pas linéaireuient indépendants.
Ainsi la variété formée par les /.', ne [icul pas avoir trois dimensions: elle ne peut pas non plus en avoir deux.
Pour qu'elle en eût deux, il faudrait que les deux équations
l'»i^! + kl) = o, î'8(.r/-hX-,) = o
(où r" et vj sont deux valeurs particulières de r,) fussent identiques, ou au moins que les deux premiers membres de ces deux équations se décomposassent en plusieurs facteurs et qu'un facteur fût commun à ces ileux premiers membres. 11 faudrait donc que, si
est ce facteur, ce facteur ne changeât pas (piand on y remplace t'° [)ar une autre valeur de i,.
Cela est évidemment impossible.
Supposons donc maintenant que la variété des /,-, ait une dimension seuleuieul. Ncjus regarderons par conséquent /.i, /.'a et /.;, comme des fonctions d'une
FONCTIONS ABÉLIENNES. 4C7
variable iniii[iie que j'appellerai •;. Comme les c; dépendent de x, les r, + A",sont des fonctions de x et de; z.
Il y a, d'après ce que nous avons vu, trois combinaisons linéaires de Ç', , Ç, , .... Ç'. qui sont identiquement nulles quand on y remplace les e, parr, + /.', ; expliquons le sens de cette proposition; si je regarde un instante comme une constante, les A", seront aussi des constantes; mais c, dépendant de x, quaud on aura remplacé e, par i', + A;, les Ç' deviendront aussi des fonctions deu; il y aura entre ces sept fonctions de x ti-ois relations linéaires à coefficients constants. Mais je veux dire par là qu(! ces coefficients ne dépendent pas de x : ils dépendront, au contraire, de z.
Ces trois relations linéaires doivent être les équations (iB). Nous voyons donc que •■], "i',''i, '{'■,■, T^>-- sont des fonctions de ;.
Si l'on élimine :; entre ces équations, on obtiendra une relation entre -' et — •
C'est cette relation qui exprime que la Jonction 0 est spéciale.
Il reste encore à examiner deux hypothèses; on pourrait supposer que la variété des A,- a zéro dimensions; c'est-à-dire que les A,- peuvent prendre un ou plusieurs systèmes déterminés de valeurs. Alors, en raisonnant comme nous venons de le faire, on venait que les rapports —■, '^ devraient prendre aussi des valeurs déterminées. Cela ferait donc deux conditions nécessaires pour que la fonction 0 soit spéciale et nous savons qu'il ne doit y en avoir qu'une.
On pourrait supposer enliu qu'il n'existe pas, en général, de valeurs des A, telles que
soit identiquement nulle, il faudiait donc, pour que la fonction 0 soit spéciale, qu'une certaine relation ait lieu entre les périodes
relation où les -- n'entrent pas. Mais comme il suffit d'une condition pour que la fonction 0 soit spéciale, lorsque la relation dont je viens de parler entre les ai 1; serait satisfaite, la fonction 0 devrait être spéciale quels que soient les y. Il faudrait donc que la relation entre les a,A étant satisfaite, la variété des A, ait deux dimensions et nous venons de voir que cela était impossible.
Les deux hypothèses doivent donc être lejetées l'une et l'autre.
Je m'arrête, quoiqueje n'aie fait qu'eflleurer mon sujet; la considération des
^G,S FONCTIONS ABELIENNES.
variétés de translalion m'a donn»' un moyen d'exprimer la condilion pour qu'une foncLion soll spéciale, mais je ne l'ai appliqué qu'à des cas très particuliers.
Il V a lieu d'espérer qu'en l'appliquant au cas général on obtiendra des résultats dignes d'intérêt. De même, j'ai dû passer très rapidement sur le cas voisin du cas singulier abéllen qui a fait l'objet du présent paragraphe; mais je crois qu'il y a là un joli sujet de thèse.
('onipCcs rendus de r A''fidétnie des Srte/tres, t. l'Ji, p. l'io^-ijii (lm juin iSij7).
Toute fonction uniforme de p variables, ip fois périodiques, est le t/uotient de deux fonctions (■).
Ce ihcoréine fondamental dans la llHM)rie dos fondions abéliennes paraît avoir été connu de Rieniann. Weiersltass en a découvert la dénionslralif)n, mais ne l'a pas publiée.
M. Picard et moi nous avons puljlié dans les Comptes rendus ('), en collaboration, une démonstration de ce théorème fondamental; mais nous devions nous appuyer sur un théorème auxiliaire, que nous admettions et qui peut s'énoncer ainsi :
Entre p + i fonctions uniformes de p variables, T-p fois périodiques, sans point singulier essentiel à distance finie, il y a toujours une relation algébrique.
Ce th(''orcme auxiliaire semble avoir été connu de VVeierstrass, qui n'en a pas non plus publié la démonstration.
Depuis, M. Appell a publié, dans le Journal de Liouville (i8()i), une démonsiration du lliéorcme fondamental, fondée sur les propriétés d'une certaine équation fonctionnelle, et où il s'appuyait également sur un théorème relatif aux fonctions de deux variables que j'ai démontré dans le Tome II des Acta mathematica (-).
(') l'oir ce Tome IV. p. .'»07.
(•) Voir ce Toirie tV, p. i\-j.
470 FONCTIONS ABÉLIENNES.
Je vouflrais aujourd'hui :
i" dt^moiitrer le théorème auxiliaire;
2" donner une Iroisièiue déuionslralion du théorème fondamental.
La démonstration du théorème auxiliaire se divise en trois jiarties :
i" Soient/» fonctions jjériodiques Fi, F^. • • -, F^,; les zéros communs à ces p fonctions qui sont à l'intérieur du jirlsniatoïde des périodes sont en nombre fini, à moins quelles ne forment une infinité continue.
La démonstration est calquée sarcelle qui moutre que les zéros d'une fonction analytique d'une variable sont isolés.
2" .Si les fonctions F,, I\ Y,, dépendent de plusieurs paramètres, et si
l'on fait varier ces paramétres d'une manière continue, le nombre des zéros communs, s'il reste fini, demeure constant.
On se sert, pour la démonstration, de l'intégrale de Kronccker, de la même façon que je m'en suis servi pour montrer que les zéros communs à p fonctions 0 sont au nombre de/»! (Bull. Soc. math. France, t. XI) (').
Comme conséquence immédiate, si p quelconques des/j + i functions I'",, F:;, ..., Fp, Fp^i ont q zéros communs, alors p polynômes entiers en Fi, Fo, . . ., F/,.,, l'un de degré K, les autres du premier degré, auront Kr/ zéros communs, à moins que leurs zéros ne forment une infinité continue.
Soit p = 3 pour fixer les idées.
3" Soit S un |>oljnome d'ordre K eu F,, Fm, F;,, F,; il contient
^(Iv+i;(K + -i)(K + 3)(K-+-4)
coefficients arbitraires. Soient ensuite
n polynômes du premier degré en F,, F.,, F., F,. Considérons une combinaison quelconque de ces n polynômes deux à deux P,- et Py. Considérons (Ki/-}-]) zéros communs à Pi et à Py.
Nous pourrons disposer des coefficients de S de façon que, pour chacune des
(') Voir ce Tome IV, p. 3o2.
FONCTIONS ABÉLIENNES. Ijl
combinaisons P,, I*y, ces (K17+ i) /Vîtos annulent également S ; cola sera possible pourvu que
( K -t- I I ( K -f ■' I ( Iv -H 1 ) ( K -4- I ) ri( n — t) ( K(/ -h \)
Alors S, P,- pl Py ajani plus de Kiy zéros communs en aiiioul uiir inlinih'. Il résulte de là que, si Q, esl un polvnome (juelcouque du premier degré enl'i, F..., F3, Fi, les quatre polynômes S, P,, Py et Q, auront au moins un zéro commun.
Mais alors S, P, el Q, auront au moins n — 1 zéros communs, et, si
ils en auront une infinité.
IJonc si Q2 esl un polvnome quelconque du premier degré, .S, F',-, Qi et Q^ auront au moins un zéro commun. Donc .S, Q, et Q-, en auront au moins n et, par conséquent, une infinité.
Donc le polynôme S présente une triple infinité de zéros; donc c'est une fonction uniforuie qui s'annule, ainsi que ses dérivées de tous les ordres. Elle esl donc identiquement nulle et il y a une relation algébrique entre les F.
Il est facile de voir qu'on peut choisir K et n de façon à satisfaire aux inégalités (i) et (2).
I^e théorème auxiliaire est donc établi; passons à la d(''monstralion nouvelle du théorème fondamental. J'ai ilit que M. Appell s'était appuyé pour le démontrer sur une proposition que j'ai établie dans le Tome II des Acta. Mais il suffit de changer peu de chose à la démonstration de cette proposition ellemêuie pour que le théorème fondamental s'en déduise immédiatement.
Supposons/) = 2 pour fixer les idées. Soit F une fonction périodique.
Soient x := ;, +«;2, v ;= \.i-\-i'c,!,, el considérons les ^ comme les coordonnées d'un point dans l'espace à quatre dimensions. Il y aura une variété V à deux diuiensions le long de laquelle F s'annulera. Soient d'i) un élément de cette variété; ï, , ï', , ;,, ?'; le centre de gravité de cet élément; soit r la distance des
deux points £1, Ej, E:i, h, et ;',, |',, ^',, ;'j. Développons t, suivant les puissances des ^ el soit H ce qui resle de ce développement quand on a supprimé les termes
de degrés o, i et 2. On aura
Ail =0.
Soit maintenant l'intégrale
* = ^ 11 ;ji</u)'.
OÙ p.' esl une funclioQ des ;' coiivon;il)leinpnl clioisie et où l'intégrale esl étendue à tous les éléments de la variété V.
i" Cette intégrale est finie.
2" Elle satisfait à l'équation A'^ = o et elle est finie, sauf dans le voisinage de la variété V où la dilTéreuce
* - '"g , F I est finie.
3" Quand les variables anguieuliMil dune période, la fonction <l> augmente d'un polynôme du [)reuiier degré par rapport auxl.
Pour que <I> puisse être regardée comme la jiarlie réelle d'une fonction imaginaire, il ne suffit pas que A"!» soit nulle, mais <t doit, satisfaire à plusieurs autres équations du même genre
Iii<I> = 1).<I) =. . .= 11.
Cela n'a pas lieu; mais, d'après le Mémoire cité (Acta, 1. II), nous aurons ri,'I' = .i',, \)A^ = g-,,
où ^1, g.^ sont des fonctions entières sali^faisanl à l'équalidu dr Laplace. Nous verrions ici quc^',, g-i, . . . sont périodiques et nous en concluiions que ce sont des constantes.
Les équations sont d'ailleurs compatibles et il existera un pohnomc G du second degré, tel que
i.,n = ^,. ii,(; = ^,
Alors '!• — G sera la partie réelle d'une fonction imaginaire
On verrait aisément qu'en augmentant les variables d'une période on augmente 't — G, et T, ib- même que <!', d'un polynôme du premier degré par rapport aux \.
La fonction
esl donc une fonction inteimédiaire. c. q. f. n.
SUR LES FONCTIONS ABÉUENNES
Acta iiialhcinrilicii, I. '2li, p. 43-9^ ('O"-)'
