I. — Introduction

Je voudrais, sur la demande de M. Mitlag-LefTler, présenter ici un exposé d'ensemble de mes travaux sur les fonctions abéliennes, en y ajoutant les quelques résultais nouveaux que j'ai pu obtenir dans ces derniers temps.

Une courbe C de genre p admet /> intégrales de première espèce

et si cette courbe C est coupée par une autre courbe algébrique variable C,

le théorème d'Abel nous apprend que la somme des valeurs de l'intégrale U/,

aux divers points d'intersection est une constante.

Si la courbe C est adjointe à C et de degré suffisant (j'appelle D ce degré)

et que le nombre des points d'inlerseclion de C et de G' autres que les points

doubles soit égal à q, on sait que q — p de ces points peuvent être choisis à

volonté.

l'renons alors p points quelconques sur C ; soient M, , M.., . . . , M,, ces points

et considérons d'une part les p sommes suivantes :

où wx ,■ représente la valeur de l'intégrale Uk au point M,; et envisageons d'autre part un certain nombre de fonctions symétriques des coordonnées des p points Ml. M>, . . • , ^Ip et que j'appellerai les fonctions <5.

.le pourrai choisir/7 + i fonctions de telle façon que toutes les autres fonctions symétriques des coordonnées des ])oints M s'expriment rationnellement H. V. — IV. 6o

par le moyen de ces p -+- i fonctions, c'esl-à-dire qu'à un système de valeurs de ces p -\- 1 fonctions ne puisse correspondre plus d'un système de/> points M. Ces p + 1 fonctions seront d'ailleurs liées par une relation algébrique.

Ces p ^- I fonctions <P seront des fonctions analytiques des iv, ; et ces fonctions seront liolomorphes, sauf peut-être en certains points singuliers. Je pourrai toujours trouver un système de points M dans le voisinaiie desquels les fonctions soient holomorphes. Je puis d'ailleurs supposer que ce système particulier de points correspond aux valeurs (V;=o; car les intégrales (//, no sont définies qu'à une constante près et je puis disposer de cette constante arbitraire de façon que i>/. s'annule pour ce système particulier de points. Dans ces conditions je puis dire que les fonctions <l> sont holomorphes pourvu que les modules des p soient suffisamment [)etils.

Cela posé, choisissons sur C un nombre rj — ay? de points fixes que j'appellerai

Ai, A-., ..., A,,2/,.

.Soit 3!/, , la valeur de l'intégrale U/, au point A, et soit

Par les p ])oints M et par les q — 2p points V je puis faire jiasser une couibe adjointe C de degré D et une seule. Cette courbe coupe C en tout en ij points en dehors des points doubles, elle passera donc encore par/j autres points que j'appelle

J'appelle u'/. , la valeur de Ui, en M| et je pose

Soient 't(i'f) les valeurs des fonctions <t correspondant au système des M'. A un système de points M correspond un système de points M' et un seul puisque par les points M et A je ne puis faire passer qu'une seule courbe C. Il en résulte que les fonctions *ï*(e'^) s'expriment rationnellement par le moyen des fonctions ^(e^).

D'autre part le théorème d'Abel nous apprend que l'on a

<■•<■-!- Pk-^ 17.= Y*, les y/, étant des constantes. Donc les 'I>(''|,) =: '^(yA — Pa — '>) sont des fonctions

FONCTIONS ABÉLIENNES. 473

rationnelles des <^((•/,). Mais les points A oui été choisis arbitrairement sur C; donc les constanles (3/, et par conséquent les y/, — P/, sont quelconques pourvu que le degré de C ait élé pris assez gran<l pour que q —^ 3/?. Donc quelles que soient les constantes X/,, les <t(/./, — c/, ) sont des fonctions rationnelles des 4>((v,). Donc quelles que soient Irs constanles À el //, les

sont des fonctions rationnelles des 4»(fA/, — c/.), qui sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des (i'/,). Les *b{'i^k+ i'k) sont donc des fonctions rationnelles des <!>(('/, ); en permutant le rôle des quantités 1^ et C/,. on voit que ce sont aussi des fonctions rationnelles des $(?./,). Les •l'(?x-t- ''/,) sont donc fonctions rationnelles des <l*(r/,) et des <!>(>/,). Si nous faisons )/, = (/,, nous voyons que les 0(2('/,) sont des fonctions rationnelles des ((7,).

Or j'ai dit que les 4>(f/,) sont holomorphes si le module de »•/,- est suffisamment petit, plus petit que p par exemple. Alors les (2i7,) qui sont rationnels par rapport aux <I»((V,) seront holomorphes si |r|<;p; donc les <I'((7,) sont méromorphes si j cj < 2p. Mais alors les <I*(2(7,) étant rationnels par rapport aux (i7,) seront méromorphes pourvu que ]i'|<2p. Donc les <I*(i7,) seront méromorphes pourvu que | c | < 4 P ! et ainsi de suite.

En résumé, les 4> sont des fonctions uniformes el méromorphes des c pour toutes les valeurs de ces variables.

Quand l'un des points M décrit un cycle sur la surface de I\icmanu correspondant à la courbe C, les fonctions O reviennent à leurs valeurs primitives, el les intégrales M/ et par conséquent les ('/, augmentent d'une période. Il en résulte que les fonctions $ sont périodiques; ce sont des fonctions à p variables et à 2p périodes.

C'est ainsi qu'on a été conduit aux fonctions abéliennes, el Piiemann a montré comment on peut les exprimer par le moyen des fonctions 0.

Mais une courbe de genre /?, dépend de ip — 3 paramètres, tandis qu'une

fonction 0 de /> variables dépend de —!— paramétres. Ce second nombre est

plus grand que le premier sauf pour /? = 2 et pour/) = 3. Il y a donc des fonctions 0 de p variables qui ne peuvent pas être engendrées par une courbe de genre /j de la façon que je viens dédire; aussi appellerai-je fonctions 0.ï/)ec«'a/e5 et fonctions abéliennes spéciales celles qui sont susceptibles de ce mode de génération.

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Une des premières questions à résoudre est donc do reconnaître les relations des fonctions aliéliennes spéciales avec les fonctions abélieunes générales et les caractères qui les différencient les unes des autres.

Mais une autre question se pose. Riemann a démontré qu'il y a une certaine relation entre les périodes d'une fonction abélienne spéciale. Si celle relation a lieu, on peut former la fonction 0, si elle n'a lieu, la fonction 0 n'existe pas. Nous venons de voir qu'il j a des fonctions 0 qui ne sont pas spéciales, et par conséquent des fonctions ^p fois périodiques qui ne sont pas spéciales et dont les périodes sont cependant liées par la relation de Riemann.

Mais ne peut-il pas exister aussi des fonctions ip fois périodiques dont les péi'iodes ne sont pas liées par une semblable relation et qui ne peuvent pas s'exprimer par les fonctions 0? La réponse doil-êlre négative. Toute fonction h /> variables et y.p périodes |)eut s'exprimer par les fonctions 0.

C'est Ici un lliéoréme que j'appellerai le théorème B et sur lequel je reviendrai dans la suite.

Mais je dois d'abord parler d'unaulre théorème que j'appellerai le théorème A et d'après lequel entre /' + 1 fonctions à p variables et à 2p périodes, il y a toujours une relation algébrique.