II. — Démonstration du théorème

Théorème A. — Si l'on a p + i fonctions de p variables, méromorphes pour toutes les valeurs du ces p variables et admettant .ip périodes distinctes,

ces fonctions sont liées par une relation algébrique.

Dans la plupart des démonstrations du théorème B, on sappuie sur le théorème A et l'on a déjà proposé plusieurs démonstrations de ce théorème A. On pourrait d'ailleurs s'en passer puisque je donnerai plus loin une démonstration du théorème B, indi>peudanlc du théorème A et que d'ailleurs rien n'est plus facile que de d(;duire le théorème A du théorème B.

.le ne crois pourtant pas inutile de développer ici une démonstration nouvelle du théorème A que je n'avais fait qu'es([uisser dans les Comptes rendus eni8f)7(').

(') Voir ce Tome l\, p. .^'jg.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 477

Soienl Fi, F^, . . ., F,,, des fonctions des p variables c, méroniorplies pour toutes les valeurs Unies de ces variables cl adniellanl ip périodes. Je considère les zéros coniniuns à ces p fonctions (|iii sont à l'intérieur du prisnialoïde des périodes.

Première pitopos[TioN. — Je dis d'abord que ces zéros coninuins, on bien sont en nombre fini, ou bien forment un ct)uliuuum. Soit en eflel

un des zéros communs des fonctions F, c'est-à-dire un système de valeurs des c pour lequel on a

D'après notre liypotliése, les fonctions F sont méromorplies pour toutes les valeurs des c; cela signifie que si l'on considère les parties réelles et imaginaires des V comme les coordonuées d'un point dans l'espace à ip dimensions l'on peut construire dans cet espace une série de domaines Dj, D^, . . . qui seront par exemple des lijpersphères et cela de telle façon :

i" que tout point de l'espace à ip dimensions appartienne au moins à l'un de ces domaines;

2" que si Pi est une région finie quelconque de cet espace, par exemple le prismatoïde des périodes, il n'y a qu'un nombre fini de domaines D qui soient en totalité ou en partie contenus dans lu région R;

d" qu'à l'intérieur de chaque domaine D, on ait

les fonctions Pi, P.j, .... P,, ; Q,, Q.j, . . ., Q,, étant liolomorphes dans tout le domaine D.

Si maintenant deux des domaines D et Di ont une partie commune (ce qui arrivera forcément, car, puisque nous voulons que tout point de l'espace soit intérieur au moins ù l'un de nos domaines, il doit exister des régions de l'espace communes à plusieurs domaines) nous avons dans le domaine D :

47^ FONCTIONS ABELIENNES.

dans le domaine Di :

et par conséquent dans la partie commune :

11 ne s'ensuit pas que dans cette partie commune P| est égal à [*', et Q, à Q',. J'ai démontré il est vrai dans le Tome 2 des Acla matliernalica (') un théorème d'après lequel toute fonction méromorphe dans tout l'espace peut toujours être considérée comme le quotient de deux fonctions holomorphes dans tout l'espace. Depuis M. Cousin a donné dans sa thèse une démonstration de ce même théorème.

Il en résulterail alors que les deux fonctions holomorphes P, etQi pourraient être supposées les mêmes dans tous les domaines. Mais je voudrais éviter pour le moment de m'appujer sur ce théorème.

Démonstration de la première proposition. — 11 s'nf;il de démontrer qu'à l'intérieur du domaine D, les p fonctions holomorphes

ne peuvent avoir un nombre infini de zéros, à moins que l'ensemble de ces zéros ne forme un continuum analytique.

Si en effet ces fonctions possédaient un nombre infini de zéros communs, à l'intérieur de D, il devrait y avoir dans D un point

fi = ai, i--,= ï.>, . . ., !•/, = X,,

dans le voisinage duquel il y aurait une infinité de zéros communs à nos p fonctions. Cela posé, supposons que nos p équations

(ij 1', = !>, = ...= l'/,= (,

ne se réduisent pas toutes à des identités; (|ue par exemple Pi ne soit pas identiquement nul. Je jjiiurrai supposer que l'i = o ne se réduit pas à une identité quand on fait

('J i'o/'r ce Tijinf l\. ]>. 1^7.

FONCTIONS ADÉLIENNES. 479

Si en effet cola avait lien on ponrrait lijiirnur la difficulté juir un simple cliangemonl linéaire de variables. Comme V, n'est pas identiquement nul, il v a toujours un point

pour lequel l'i n'est jias nul. Soient alors r', , t''„. ..., c' p combinaisons linéaires des c ; oc',, x',, .., a^, les combinaisons linéaires correspondantes des a; (3',, P'^, ..., p^, les combinaisons linéaires correspondantes des [3. Je pourrai choisir les cofficienls de ces combinaisons linéaires de telle sorte que

Je prendrai alors les c' comme nouvelles variables et je verrai (|ue l'équation P| r= 0 ne se réduit pas ù une identité pour

Supposons donc que Pi ne s'annule pas identiquement pour i'.,=^ a.^, (',= a.,, . . ., 1'^= (X/,. Alors en vertu des Icmmes que j"ai démontrés au début de ma Thèse inaugurale (*). l'équation P, = o définira c, — 3;, en fonction algébroïde de Cj — a.>, ('3 — a,, . . ., C/, — ccp. Donc en vertu des mêmes iemmes P2, Pj, . . ., P,, seront aussi des fonctions algébroïdes de Co — a-j, . . ., i;, — c.,, et les équations

pourront T'ire remplacées par les suivantes :

où les P' sont des fonctions holomorplies de

les équations (2) sont de même forme que les équations ( i ), seulement les nombre des équations comme celui des variables est diminué d'une unité.

Si ces équations (2) se réduisent à des identités, l'équation P| = o suffit pour définir les zéros communs qui formeront un continuum analytique à p — I dimensions.

(') Voir TcJino I. p. xi.I\-i:xxix.

48o FONCTIONS ABÉLIENNES.

Si les équations (2) ne se réduisent pas à des identités, on opérera sur elles comme sur les équations ( i ).

On ne sera arrêté que quand on arrivera à un système d'équations se réduisant à des identités, auquel cas l'ensemble des zéros formera un continuum analytique; ou quand le système se réduira à une équation à une inconnue. Mais pour une équation à une inconnue tlont le premier membre est liolomorphe et qui ne se i-édiiit pas à une identité, on sait qu'il ne peut pas y avoir de point dans le voisinage duquel il y ait une infinité de zéros.

La proposilion est donc démontrée.

Remarque. — Pour appliquer ce qui précède aus Amclmns niéromorplies F|, Fo, . . . , F/,, il faut jH'éciser ce que nous devons entendre par un zéro de F,. U'abord F, ne pourra pas s'annuler sans que Pi s'annule. Tous les zéros de Fi appartiennent donc à l'ij mais il peut arriver qu'un zéro de Pi n'appartienne pas à F|. Soit en effet t',= a, un zéro de Pi ; supposons que l'i et Q, soient divisibles par une même fonction H, holomorphe dans le voisinage de(',= a, et s'annulant pour c; = oc,- de telle sorte que

l-,= lll",, n, = llQ',,

Pi et Q'i étant liolomorphes pour r,-=a,-. Il pourrait se faire que l'i et II s'annulant pour 4^,= y,. P', no s'annulât pas pour Vj-^y.i. IJans ce cas (7=2, serait un zéro de Pi. mais ne serait pas un zéro de

Pieprenoas alors la démonstration précédente et ciierchons comme tout à l'heure les zéros communs à Fi, Fj, . . ., F,, et voisins de ('(•= 2/. Je suppose i|ue Pi et Qi soient divisibles par IIi : Pj et Q^ par II., ; ... ; P,, et Q,, ]>ar 11^,; les fonctions IIi, llj, .... H,, étant holomorphes. dans le voisinage de f ; = a,et nulles pour r,= :(/. Nous remplacerons alors les équations (1) par les é(juations

Ce sont les équations (i') et non plus les équations (;>,) qui nous donneront lus zéros communs à F|, Fo, . . ., F^, ; mais les équations (l'j étant de même forme que les équations (1 ) il txy a rien à changer au raisonnement.

FONCTIONS ABÉLIENNES. 48 I

Supposons niainlenanl que l'on envisage la partie commune aux deux domaines D et Di et que dans celle partie commune on ait

que Pa et Q/t soient divisibles par H/;.; P'^. et Q\ par H|( ; les fonctions H^ et H'^ étant holomorphes pour v, = a; et s'annulant pour (•,= a,. Supposons enfin

que TT- et yj^ ne soient divisibles à la fois par aucune fonction holomorphe s'annulant pour c,- =: a, et qu'il en soit de même pour rrr et ryf • Alors le système des équations ( i') est équivalent au système des équations

Deuxième proposition. — Si les fonctions Pi, Pj, . . ., P,, qui sont liolomorphes dans le domaine D dépendent d'un ou plusieurs paramétres X que l'on peut faire varier d'une manière continue; si l'on considère ceux des zéros communs aux p fonctions P qui sont à l'intérieur d'un domaine A intérieur luimême à D; si quand on fait varier les paramètres 1 entre certaines limites, le nombre des zéros communs reste fini; ce nombre ne peut varier que si un des zéros se déplaçant d'une manière continue sort du domaine A ou y entre, en traversant la frontière de ce domaine.

Nous savons en ell'et que Cauchy a exprimé le nombre des zéros de /(z) situés à l'intérieur d'un contour par l'intégrale définie

I r f'dz

ij: J

iikJ /

prise le long de ce contour, et que Kronecker, généralisant le théorème de Cauchy, a exprimé le nombre des zéros communs à P, , P^, . . . , P,, à l'intérieur de A par une intégrale mulliple prise le long de la frontière de A.

La fonction sous le signe / reste d'ailleurs finie et continue sauf pour les

zéros communs aux fonctions P, de sorte que si aucun de ces zéros ne se trouve sur la frontière de A, l'intégrale de Kronecker reste finie et est une fonction continue desX.

Si le nombre des zéros communs est infini, il y en a en général siirla frontière de A et l'intégrale est dans ce cas dépourvue de sens. Mais si ce nombre est H. P. — IV. 6i

iSi FONCTIONS ABÉLIENNES.

fini, il n'y en aura pas en général sur la frontière de A; s'il y en avait, il suffirait pour tourner la difficulté de déformer infiniment peu le domaine A.

L'intégrale de Kroneckerest une fonction continue des 1, tant qu'il n'y a pas de zéros couiuiuns sur la frontière de A, et comme sa valeur est toujours un nombre entier elle doit être constante. Le nombre de ces zéros communs ne peut donc varier que quand l'un d'eux vient sur la frontière de A.

Remarque. — Le théorème s'applique d'ailleurs immédiatement aux fonctions méromorphes Fj, F^, ..., F,,, puisque les zéros communs de ces fonctions sont ceux des fonctions liolomorplies que nous ;ippelions plus haut

H,' Ho' ■ • ■' U,,'

Considérons maintenant un domaine A formé de plusieurs domaines partiels Ai, a,, . . ., \,; et supposons que dans chacun de ces domaines partiels la

fonction F,- puisse se mettre sous la foiine ' » le théorème s'applique au

domaine total A.

En effet le nombre des zéros intérieurs à l'un des domaines partiels A,/ ne peut varier que si un zéro franchit la frontière de ce domaine; alors de deux choses l'une, ou bien la partie de la frontière de A,, franchie par le zéro appartient à la frontière du domaine total A, et alors notre zéro a franchi la frontière de A; ou bien celte partie de la frontière de A,y sépare A,, d'un autre domaine partiel A/, et alors le nombre des zéros intérieurs à A,/ aura diminué d'une unité ; mais en même temps celui des zéros intérieurs à A^ aura augmenté d'une unité; le nombre total des zéros intérieurs à A n'aura pas changé.

En résumé le nombre des zéros intérieurs à A ne peut \arier que si un zért) franchit la frontière de A.

CoHOLLAtuE. — Ce (jue nous avons dit jusquici s'applique à toutes les fonctions méromorphes; nous allons voir uiaiiiteniint ce qui est particulier aux fonctions abéliennes.

.Fe prendrai pour le domaine A le prismatoïde des périodes.

.le vois que le nombre des zéros communs aux p fonctions F intérieurs à ce prismatoïde est fini, à moins que leur ensemble ne forme un continuum analytique; et que, quand on fait varierles ?,, ce nombre, s'il reste fini, ne peut varier que quand un zéro franchit la frontière du prismatoïde. Il augmente d'une unité

FONCTIONS ABÉLIENNES. '|8'5

toutes les fois qu'un zéro entre dans le prismatoïde, et il diminue d'une unité toutes les fois qu'un zéro en sort.

Mais, à cause de la périodicité supposée de nos fonctions, un zéro ne peut entrer dans le prisuiatoïde sans qu'un autre en sorte; le nombre de nos zéros, s'il reste (ini, demeure donc constant.

Troisièvie pROPOsiTio.N. — Soient Fi, F^, ..., F,,,,, /> + ' fonctiims abélieunes k p variables. Soient

[) coiubinuisons linéaires de ces/) -|- i fouclioni de telle sorte que

'1'./= 'J-./.i Fi -I- y-./.i^i-h. . .-+- 'J;,.i,+ \ F/,1-1 + ■J-,,.i,+:\

le nombre des zéros communs aux p fonctions <I>, tant qu'il reste (ini, est indépendant des coefficients a.

C'est là une conséquence immédiate des propositions précédentes.

Le résultat peut s'énoncer dans le langage géométrique.

Considérons Fi, F.,, ..., F,,,, comme les coordonnées d'un point dans l'espace à /> + i dimensions; comme ces fonctions dépendent seulement de f> variables, ce point seia sur une certaine variété à p dimensions que j'appel- Iciai V; notre but est précisément de démontrer que cette variété est algébrique et nous voyons déjà d'après l'ensemble des résultats obtenus, que le nombre des points d'intersection de celte variété avec une droite quelconque est fini, à moins que la droite nu soit tout entière sur la variété et que ce nombre est constant pour toutes les droites (jui ne sont pas tout entières sur la variété. Soit q ce nombre.

Considérons maintenant, au lieu d'une droite, une courbe algébrique quelconque C d'ordre n\ je disque le nombre des points d'intersection de cette courbe avec V sera nq à moins que la courbe ne soit tout entière sur la variété ou qu'elle se décompose en plusieurs composantes, une de ces composantes étant tout entière sur la variété.

Il me suffira de démontrer cela pour les courbes planes, c'est-à-dire pour les courbes situées sur une variété plane à doux dimensions. L'équation générale d'une pareille courbe est

e = o, '!>, = <!)., = ... = il)^,, = o ; 0 étant un polynôme entier d'ordre n et les <& des polynômes du premier ordre

484 FONCTIONS ABÉLIENNES.

par rapport aux F. Le nombre des poinls d'intersection, tant qu'il reste fini, est indépendant des coefficients du polynôme 0; or quand ce polynôme 0 se décompose en n facteurs linéaires, ce nombre est évidemment ncj. Et d'un autre côté ce nombre ne peut devenir infini que si l'ensemble des poinls d'intersection forme un continuum analytique, c'est-à-dire qu'il doit être formé de tous les points de l'une au moins des composantes de notre courbe C.

La même démonstration s'appliquerait sans changement à une courbe qui serait uue intersection complète, c'est-à-dire dont l'équation s'écrirait

les 0 étant des polynômes de degré quelconque. Pour étendre enfin le ré.siilial à une courbe G qui ne serait pas une intersection complète, il suffit d'observer que l'on peut toujours trouver une intersection complète qui se compose de C et d'un certain nombre de droites.

Quatrième proposition. — La variété V est algébrique. Soit en efl'et 0 un polynôme entier quelconque d'ordre « en F,, Fo, . . ., Fp+{. II contient

coefficients arbitraires.

Soit

un système quelconque de valeurs des c; nous allons cherclier à annuler la fonction 0 et ses dérivées d'ordre 1,2, . . ., q par rapport aux p variables r pour le point p, =^ a,-. Ces dérivées étant au nombre de

cela sera possible pourvu que

|(/!-l-/)-l-l) \(/HJ-i-p)

lu K^"^'-* 1"'/ 1^

Or on peut toujours prendre n assez grand pour satisfaire à cette inégalité, puisque le premier membre est un polynôme d'ordre p+t en n et le second membre un polynôme d'ordre /;.

FONCTIONS ABÉLIENNES. /iHj

La variété 0 = o, aura alors avec la variélc V un contact d'ordre m/ au poiot (',= a,. Un plan quelconque à 2 dimensions passant par le point c, = a, coupera la variété 0 =; o suivant une courbe C algébrique d'ordre n qui aura avec V un contact d'ordre nq. Cette courbe C coupera donc V on nr/ -+- 1 points confondus avec le point r,= a,-.

Il en résulte qu'elle sera tout entière sur V ou qu'elle se décomposera, l'une de ses composantes G' étant tout entière sur V.

L'ensemble des courbes C engendrera une variété V à p dimensions. En effet, une droite quelconque D de l'espace ày? + i dimensions rencontrera V; car par D et parle point i;= «; je puis faire passer un plan. Dans ce plan se trouvera d'après ce qui précède une des courbes C et cette courbe C rencontrera D; car une droite et une courbe algébrique situées dans un même plan se rencontrent toujours, soit à distance finie, soit à l'infini. Donc D rencontre V, puisque cette courbe C'est sur V. c. q. f. d.

Toutes les courbes C étant sur la variété 0 = o, la variété V sera tout entière sur la variété algébrique 0 = o. Donc ou bien ces deux variétés à p dimensions sont identiques, ou bien la variété algébrique 0 = o se décompose et V est l'une de ses composantes; V est donc algébrique.

Toutes les courbes G' étant sur V, la variété V sera tout entière sur V et comme la variété V ne se décompose pas puisqu'à chaque système de valeurs des V correspond un point de V et un seul: ces deux variétés doivent être identiques.

Donc V est algébrique. c. q. f. d.

Le théorème A est donc démontré.

Il pourrait y avoir une difficulté si la variété V avait moins de p dimensions, c'est-à-dire s'il y avait une relation entre les p fonctions Fj, F,, . . . , F^; mais je dis qu'on peut toujours trouver p fonctions abélicnnes qui ne soient liées par aucune relation.

Soit en effet F(r,) une fonction abélienne quelconque; considérons avec M. Wirtinger les p fonctions

Fi(p/)=F(p>i-l-a,-.0, les <x étant des constantes quelconques. Si entre ces p fonctions il y avait une

'iS6 FONCTIONS ABÉLIENNES.

relation, leur déterminant fonctionnel serait nul, et comme les a, /, sont quelconques, le déterminant où le «''"" élément de la /''■""^ ligne est

serait ideatiquemeni nul quelles que soient les valeurs attribuées auxp^ quantités z. Si nous considérons les p quantités

comme des variables et les p- — p autres y. comme des constantes, cela veut dire que la fonction F((ii, //o, . . . , ;/,,) satisfait à une équation do la forme

,n' dl' ,/F

\, h Ao H ... -H A ,, - — = o,

(iitt ait2 au/,

c'est-à-dire que F ne dépend que de/> — i combinaisons linéaires des variables «, ce que nous ne supposerons pas.