LÉOUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 100, p. 10O8-1070 (20 avril 188Ô).
Une masse fluide homogène dont toutes les molécules s'attirent d'après la loi de Newton, et qui est animée d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe, est susceptible d'une infinité de (igures d'équilibre. Les seules qui aient été signalées jusqu'ici sont l'ellipsoïde de révolution, l'ellipsoïde de Jacobi et les figures annulaires de MM. Tait et Thomson, que j"ai étudiées en détail dans une Note récente, insérée au Bullelin astronomique ('). Mais le problème admet une infinité d'autres solutions.
Je considérerai dos séries linéaires de figures d'équilibre, c'est-à-dire des séries telles, qu'à chaque valeur de la vitesse de rotation corresponde une figure, et une seule, ou un nombre fini de figures, et que ces figures d'équilibre varient d'une façon continue quand on fait varier cette vitesse. Ainsi les ellipsoïdes de révolution forment une série linéaire, les ellipsoïdes de Jacobi en forment une autre. Il peut arriver qu'une même figure appartienne à la fois à deux séries linéaires. Ainsi il y a un ellipsoïde de révolution qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi.
Je me suis alors proposé de rechercher s'il existe des séries linéaires de figures d'équilibre parmi lesquelles il y en ait une qui se réduise à un ellipsoïde.
(') Œuvres de II. l'oiiiraré, ce l'ome, p. 17.
On arrive aisément au résultai suivant : Soient p, y/p- — b-, \/p- — c^ les trois axes de l'ellipsoïde, et soit R une fonction de Lame quelconque. On devra avoir
Ja W-J(?--—bn(9-—c-) Jn
Réciproquement, on arrive à démontrer que, si, pour une des fonctions de Lamé, les axes d'un ellipsoïde de révolution ou d'un ellipsoïde de Jacobi satisfont à l'équation (i), cet ellipsoïde appartiendra non seulement à la série des ellipsoïdes d'équilibre, mais encore à une autre série linéaire de figures d'équilibre non ellipsoïdales.
J'ai discuté les équations (i) dans le cas des ellipsoïdes de révolution aplatis. Posons
b = o, c = I , p = \ k- + 1 , \\ = {le--^lf -^^—^ (t = o, I, 2, ..., «)•
Nous n'aurons à considérer que les valeurs de n au moins égales à 2. Nous trouverons que l'équation ( i ) n'a pas de racine quand i -'r n est impair et en a une, et une seule, quand «' + /i oil pair. Ainsi à tout système de nombres entiers i et n, tels que
« > 2, i ^ n, î'^o J j ^ « (mod 2)]
correspond une série linéaire de figures d'équilibre. Il faut faire exception pour le cas de i=zo, n ;= 2 ; la racine de l'équation (i) correspondante ne donne pas de série nouvelle de figures d'équilibre. Elle correspond à l'ellipsoïde de révolution dont la vitesse de rotation est maximum. Dans le cas de i := n = 2, on retrouve les ellipsoïdes de Jacobi.
Si t:=o, les figures d'équilibre correspondantes seront de révolution. Elles ne le seront pas dans le cas contraire.
Le même procédé peut servir pour déterminer les conditions de stabilité de l'ellipsoïde de révolution. MM. Tait ol Thomson ont annoncé que les ellipsoïdes de révolution que l'on rencontre, en partant de la sphère et en allant jusqu'à celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi, sont tous stables, et que les autres sont séculairement instables.
Pour établir ce résultat, il suffit de montrer que, parmi toutes les
36 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
équations (i), celle ijiii a la plus grande racine est celle qui correspond au cas de «':::= n = 2, OU bien encore que tous les rapports
[ / E^ /( ( m od a )]
vont constainiueul en croissant quand /.' croil de zéro à l'infini. ( )r cela est aisé à vérifier.
Il est possible que les séries linéaires de figures d'équilibre que j'ai signalées plus haut contiennent des figures stables; mais il est certain au moins que celles de ces figures qui diffèrent peu de l'ellipsoïde, et qui sont les seules que nous connaissions un peu, sont toutes séculairemeut instables (à l'exception, bien entendu, des ellipsoïdes de Jacobi).
11 y aurait intérêt à répéter, pour les ellipsoïdes de Jacobi, la discussion que je viens de faire pour les ellipsoïdes de révolution, d'autant plus que, parmi les figures d'équilibre que l'on découvrirait ainsi, il y en a qui sont stables. C'est ce que je chercherai à faire dans une Communication ultérieure, si l'Académie veut bien le permettre.
SUR
Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 101, p. 307-303 (27 juillet 188.)).
Dans une Communication faile à l'Académie le 20 avril i885 ('), j'ai montré qu'une masse fluide homogène, soumise à l'allraction nevvtonienne et animée d'un mouvement de rotation, était susceptible d'une infinité de figures d'équilibre, outre celles qui sont déjà connues. J'en al défini un certain nombre qui, sans être ellipsoïdales, difl'èrcnt infiniment peu d'un ellipsoïde de révolution. J'ai montré que ces figures nouvelles étaient instables.
J'ai reconnu depuis qu'il existe également des ellipsoïdes de Jacobi appartenant en même temps à une série linéaire de figures d'équilibre non ellipsoïdales.
Soient p, y/p- — u-, y/p- — c- les trois axes de l'ellipsoïde; soitR une fonction de Lamé quelconque de p; soit
dp
S ={2n-hi)l\ f —
la fonction S conjuguée de II d'après la notation de Liouville. Nous distinguerons les fonctions
ainsi que les fonctions R,, R,, ..., R„, ... définies comme il suit : la
(') QEui'res de H. Poincarè, ce Tome, p. 34.
3S SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
tonclioii R„ sera une fonclion de Lamé d'ordre n ne contenant en facteur ni \'p- — c'-, ni \/p-' — b- et ne s'annulant que pour des valeurs de p- comprises entre zéro el b''. Pour toute valeur n, il j en a toujours une et une seule; Si, So, Sj, . . ., S„ seront alors les fonctions conjuguées de Ri, Rj, . . ., R». Gela posé, tout ellipsoïde de Jacobi satisfera à la condition
fil Si R,S, 3 ~ 5 '
s'il satisfait en outre à la condition
Ci') Ri Si __ R/i S„
il appartiendra à la fois à deux séries linéaires de figures d'équilibre : à savoir, la série des ellipsoïdes de Jacobi, et line série de figures i„ non ellipsoïdales. Quel que soit n, il y aura toujours un ellipsoïde de Jacobi satisfaisant à la condition (i). Nous a\ons donc démontre l'existence d'une infinité de figures d'équilibre nouvelles ^3, 2.,, . . . , i„.
La figure 2„ a mêmes plans de symétrie que l'ellipsoïde si n est pair; si «est impair, elle est symétrifjue par rapport aux plans des xy et des xz, mais non par rapport au plan des yz.
Les figures i;, sont stables, toutes les autres sont instables.
Les ellipsoïdes de révolution sont stables, s'ils sont moins aplatis que celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi (c'est ce que sir W. Thomson avait déjà démontré en supposant qu'on imposait à la masse fluide comme liaison la condition de rester ellipsoïdale; cette condition n'est pas nécessaire). Les ellipsoïdes de Jacobi sont stables s'ils sont moins allongés (suivant le grand axe) que celui qui appartient en même temps à la séris des figures ^3.
Pour résumer les résultats obtenus, faisons l'hypothèse suivante :
Supposons une masse fluide homogène, se contractant par un refroidissement, et imaginons que ce refroidissement soit assez lent pour qu'elle conserve un mouvement de rotation uniforme dans toutes ses parties et que l'homogénéité subsiste constamment.
Il arrivera alors que cette masse, d'abord presque sphérique, affectera la forme d'un ellipsoïde de révolution dont l'excentricité ira sans cesse en croissant, jusqu'à ce qu'elle atteigne la valeur 0,81 ; la masse deviendra ensuite un ellipsoïde de Jacobi puis une figure ij. Pour expliquer grossièrement la déformation qu'elle subit alors, imaginons que l'ellipsoïde soit coupé en deux
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. Sq
moitiés par un plan perpendiculaire au grand axe. En devenant une figure l-.^, l'une des moitiés de l'ellipso'ide s'aplatira et se rapprochera de la forme hémisphérique, l'autre moitié s'allongera au contraire de plus en plus. 11 est difficile de dire ce qui arrivera ensuite si le refroidissement continue, mais l'examen des figures 2;, porte à croire que la masse ira en s'étranglant dans sa petite moyenne pour se partager ensuite en deux masses isolées et inégales.
SUR
Acta Mathcniiitirii . t. 7. p. 25f)-38o (i6 septembre i88j)
TABLE DES MATIERES
P.iges.
