I. — Introduction

Quelles sont les figures d'équilibre relatif que peut atfecter une masse lluide homogène dont toutes les molécules s'attirent conformément à la loi de Newton et qui est animée autour d'un certain axe d'un mouvement de rotation uniforme ?

Quelles sont les conditions de stabilité de cet équilibre?

Tels sont les doux problèmes qui forment l'objet de ce Mémoire.

On en connaît depuis longtemps deux solution : l'ellipsoïde de révolution et l'ellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi. Je me propose d'établir qu'il y en a une infinité d'autres,

Mais je vais avant d'aller plus loin signaler un certain nombre de résultats que l'on trouve dans le Treati.se on Nalutal Philosophy de MM. Tait et Thomsou, 2" édition, §778. Sir William Thomson énonce la plupart de ces propositions sans aucune démonstration; pour quelques-unes d'entre elles, il renvoie à des Mémoires plus étendus insérés au Philosophical Transactions.

Voici ces résultats, qui doivent nous servir de point de départ.

a. L'ellipsoïde de révolution aplati est une figure d'équilibre toujours stable, si l'on impose à la masse fluide la condition d'an"ecter la forme d'un ellipsoïde de révolution.

b. Si nous imposons à notre masse la condition d'être de révolution, mais non plus celle d'être ellipsoïdale, on trouve, si le moment de la quantité de mouvement est assez grand, deux figures d'équilibre : une figure annulaire qui est stable et une figure ellipsoïdale qui est instable. (Nous verrons dans la suite de ce Mémoire qu'il y en a une infinité d'autres parmi lesquelles il y en a de stables grâce à la condition imposée à la masse de rester do révoluliou.)

c. Il existe également des figures d'équilibre, probablement instables, où la masse se subdivise en plusieurs anneaux concenlri([ues.

d. La figure annulaire d'équilibre est stable si l'on impose à la masse la condition de rester de révolution, et probablement instable si l'on supprime cette liaison.

e. Si l'on impose à la masse la condition d'être ellipsoïdale, mais non d'être de révolution, l'ellipsoïde de révolution est stable, si l'excentricité est inférieure à 0,8127 et instable dans le cas contraire. (Nous verrons dans la suite de ce

H. P. — Vit. G

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Mémoire quo les coiidilioiis de sl;il>ilil(i reslenl les mêmes si l'on ne s'impose aucune liaison. ")

L'ellispoïde de Jacobi esl toujours stable, si l'on impose à la masse la condilioQ d'être ellipso'idale.

f et g. L'ellipso'i'de de Jacobi, si l'on ne s'impose aucune condition est certainement instable dans certains cas, bien qu'il soit probablement stable dans d'autres. (Nous démontrerons dans la suite de ce Mémoire qu'il v a efTeetivemenl des cllipso'ides de Jacobi qui sont stables.)

Une autre forme d'équilibre stable, si le moment de la quantilé de mouvement esl assez grand, sera celle où la masse se subdivise en deux corps isolés, comparables à une planète et un satellite dont les vitesses de rotation seraient égales entre elles et à celles de révolution.

h. Il existe également des configurations où le fluide se subdivise en plus de deux masses détachées, mais elles sont instables.

/. 11 subsiste une importante lacune entre le plus grand moment de la quantité de mouvement qui correspond à un ellipso'ide de Jacobi stable cl le plus petit moment qui correspond à l'équilibre stable de deux masses isolées. Il y aurait intérêt à combler cette lacune par des figures intermédiaires. (J'ai fait à la fin de ce Mémoire une tentative dans ce sens, mais je n'ai réussi pour ainsi dire qu'à amorcer le problème et à indiquer la voie à suivre.)

y. Si l'énergie avec un moment donné esl un minimum ou un maximum, l'équilibre est stable, pourvu que le liquide soit parfaitement dépourvu de viscosité. Il est probable qu'il est instable si l'énergie esl un « minimax » mais cela n'a pas encore été démontré. (Nous verrons dans la suite de ce Mémoire un exemple où l'équilibre est stable à la condition que le fluide soit aft^o/MmenZ dépourvu de viscosité et bien que l'énergie soit un « minimax »).

/.'. Si le liquide est visqueux, et si peu qu'il le soit, l'équilibre sera certainement instable si l'énergie est un maximum ou un minimax, et certainement stable si elle est un minimum.

Je donnerai dans la suite de ce travail la démonstration de quelques-unes des propositions que sir William Thomson avait sculemenl énoncées, et je les complélerai même sur divers points, comme je l'ai déjà indiqué dans les parenthèses que j'ai intercalées dans le précédent exposé.

Je démontrerai aussi l'existence de figures d'équilibre tout à fait difTérontes de celles dont parlent MM. Tait et Thomson.

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J'ai déjà donné dans le Bulletin Astronomique (') une courte Note où j'étudie plus en détail l'anneau simple ou multiple dont il est question dans le passage cité plus haut (6, c et d).

Dans celle étude, je me suis rencontré avec M"" Kowalevski qui avait déjà employé les mêmes procédés d'analyse dans un Mémoire sur l'anneau de Saturne, qui avait été communiqué en 1874 à l'Université de Gôltingen et qui n'a été imprime qu'en i885 dans les Astrononiisclie Nachrichten.