DE LA MÉCANIQUE CÉLESTE

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 120, p. 57-59 (i4 janvier iSijS).

Dans mon Ouvrage inlilulo Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, j'ai montré comment on pouvait représenter les coordonnées des astres par des séries trigonométriques et je me suis particulièrement étendu sur ce sujet dans les Chapitres XIV et XV.

Supposons que 1 on étudie le mouvenient de trois corps, par exemple du Soleil et de deus planètes; nous rapporterons les deus planètes à une origine mobile mais à des axes de direction fixe; la première planète sera rapportée à des axes passant par le Scjli'il et la seconde à des axes passant par le centre de gravité du Soleil et de la première planète.

Soient X\. x-^, r;, les trois coordonni'es de la [iremière planète, X;, x.,, x,-, celles de la seconde; soient ii, )'.j, j'.. les trois composantes de la ([uantilé de mouvement de la première planète; soient Vi, ^)'.-,, jiu les mêmes composantes pour la seconde planète. Il s'agit, bien entendu, des quantités de mouvement de ces planètes dans le mouvement relatif par rapport aux axes mobiles auxquels elles sont respectivement rapportées et en leur attribuant des niasses fictives convenablement choisies qui s'expriment simplement en fonction des masses réelles.

Dans l'Ouvrage que je viens de citer, j'ai montré que les xi el les )/ peuvent s'exprimer de la façon suivante : Soit p. un paramètre très petit de l'ordre des

masses, soient £, el ro,(«= 1,2, . . . , (j) douzes conslanles d'intégration dont quatre, que j'appelle li, E*, H;,, lu, sont très petites.

Soient «,({ = 1, 2, . . ., 6) six quantités s'exprimant à l'aide de ces constantes; les n, seront développés suivant les puissances de jj. et de l-j, i;, , t:,, ç,-,; les coefficients du développement dépendront encore deEi et de 4-..; les», seront donc ainsi fonctions de p. et des li, mais indépendants des ro,-. Quatre des «, à savoir «3, n,, /;.,, n,, seront très petits. Les deuxautres, ni et «o, correspondent aux moyens mouvements; ce sont pour ainsi dire les moyens mou' cments moyens.

Posons enfin

Alors j'ai montré que les Xi et les r, sont développables suivant les puissances de ,a, ïn, îi, l:; et ;„; chaque terme du développement est une fonction périodique des oj, de période 27:, el dépend en outre de l, et de ï^.

Les douze constantes ainsi introduites rappellent en quelque sorte les » éléments absolus » de M. Gyidén; "u et £2 jouent un rôle analogue à celui des grands axes; î^, ;,, £5, t,-. sont analogues aux excentricités et aux inclinaisons; '.), et tù2 aux longitudes moyennes; w,, lu,. oi.-,, o),, aux longitudes des périhélies et des nœuds.

Ces séries jouissent de certaines propriétés que la symétrie rend évidentes.

Ainsi les séries qui représentent j", et >', seront respectivement de la forme

X, = SAiA'^?*»?*;'?'-'?^' cos(/«i (0, -h «iïto.j -i- . . .-h /n,, loo), )',■= SBfji^|^?*iÇ*sE{'. sinO/iiMi -t- i/i-.M.-h. . .-h »i,.(Of,).

Les A et les B sont des fonctions de ci et de ij ; les m et les A- sont des entiers; mais ces entiers ne sont pas quelconques; les A' sont des entiers positifs, les ;/i peuvent être positifs, négatifs ou nuls; on aura

//Il -+- m- -h . . . -;- m,. = <i.

Enfin I i/ij I (où i^ 3, 4, ' ou '^) sera plus petit que A, et de même parité que A,.

La constante des forces vives C sera une fonction des i,, ou bien encore (puisque les m sont six fonctions indépendantes des ;,) ce sera une fonction des m- Je préfère supposer C exprimé en fonction des «,.

Il est à peini? nécessaire d'ajouter que les séries obtenues ainsi ne sont pas convergentes, mais qu'elles peuvent néanmoins, à la façon de la série de Stirling, rendre des services aux astronomes.

Elles soul donc imporliintcs cl comme les calculs qui y conduisent sont délicats et difficiles, il n'est pas sans intérêt de connaître des procédés de vérification.

tin premier procédé consiste à substituer ces séries dans le premier membre de l'équation des forces vives, ou des é(juations des aires. Ces premiers membres doivent se réduire à des fonctions des t, seulement.

Mais il y a un autre procédé de vérification, qui ne s'aperçoit pas aussi immédiatement, et c'est sur ce poiut que je désirerais attirer l'attention.

F^es égalités suivantes doivent être idciiliipKmcnt vérilii'es :

Les H, sont des fonctions des £ seuieuieal, indépendantes des u.

Quant à C, c'est la constante des forct'S vives supposée exprimée en fonction (les /(,.

< )n peut ajouter, et c'est d ailleurs une conséquence des égalités précédentes, que l'expression ^x/dyi est une différentielle exacte quand on y regarde les ; comme des constantes et les w comme six variables indépendantes.