SUR LA DIVERGENCE DES SÉRIES DE LA MÉCANIQUE CÉLESTE

Comptes rendus de V Académie des Sriences. t. lîi, p. 4'.i7-''i09 (2 mars 189C).

M. Hill n publié, dans le Bullclin oj tlie Ainericaii Malheinatical Society ('), une Noie inlituléo : On the convergence of ihe séries used in the subject of perturbations, el dont les résiilluls semLleal au premier abord en contradiction avec ceux ([ue j'ai obtenus. J(> crois donc nécessaire de montrer que celle conlradiction n'est qu'apparente ; j'ajouterai même que le principal théorème de M. Hill avait déjà été démontré par moi.

Je rappelle succinctement les propositions que j'ai énoncées [Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. II, Chap. XIII) :

Mettons les éfjuations de la Mécanique céleste sous la forme

</r, r/F • r/r, ri'F •' ~Jr ~ Tlfi' ~iÏÏ~~'iJI'

I^a lonclion !•' i-st périodique par rappori aux ), ; elle dépend des x, d'une manière quelconque. De plus, certains de ses termes sont très pelils par rappori aux autres, cl nous pouvons mettre en évidence l'ordre de grandeur de ces dilléreuts termes en introduisant une quantité très petite p. et en développant F suivant les puissances de p. sous la forme

F = Fo-i- 1J.F, + ;j.îF2 + ...; F„ ne dépend pas de y,.

I ' ) Vol. II, janvier 1896, p. ij'i.

SUR LA DIVERGENCE DES SERIES DE LA MECANIQUE CELESTE. Dog

On trouve aIoi> qu'(jn peul satisfaire formellement aux équations (i) par des séries de la forme

1,- = ir, -i- 'j.\l -+- [J-y,- -h. . .

où les xf et les yf sont des fondions périodiques des quantités

11'; = iiit -i- x^i :

les 5j, sont des constantes d'intégration; les n, sont des constantes (dites moyens mouvements) qui sont développables en séries ordonnées suivant les puissances de p..

Les x': ou rf sont eux-mêmes développables en séries de la forme

(3) xf (ou )■* ) = i: A cos(»ii »i -T- /«■> (!■■. -i-. . .— m„u^„-^- h).

On peut alors se demander :

i" Si les séries (3) convergent;

■j." Si [en admettant que les séries (3) convergent et que, par conséquent, on puisse former les séries (a)] les séries (a) convergent.

Pour simplifier l'exposition de cette discussion, je supposerai deux arguments seulement w, et a v et deux moyens mouvements n, et n^- Commençons par l'élude des séries (3).

Si le rapport des moyens mouvements est commensurable, un des termes île la série devient infini ; laissons de côté ce cas.

J'ai montré (p. g6, 97) que les valeurs incommensurables du rapport des moyens mouvements peuvent se répartir en deux catégories : celles pour lesquelles la série converge, celles pour lesquelles la série diverge, et que dans toui intervalle, si petit qu'il soit, il v a des valeurs de la première catégorie el des valeurs de la deuxième.

J'ai démontré, en particulier, que la série converge pour les valeurs incommensurables dont le carré est commensurable.

C'est ce dernier résultat que retrouve M. Hill par une démonstration de tout point semblable à la mienne, mais il le généralise en montrant qu'il en est de même pour toutes les valeurs qui satisfont à une équation algébrique à coefficients entiers.

11 n'y a donc, on le voit, aucun désaccord.

Le point essentiel n'en subsiste pas moins, quelle que soit l'approximation

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avec laquelle les moyens inouvemenls seront connus ; nous ne pourrons assigner une limite supérieure à l'erreur couiniise en s'arrèlanl à un terme de la série.

La convergence de la série ne peut èlre uniforme.

Passons maintenant au second point : je veux dire à In convergence des séries (2). Cette question n'est pas abordée par M. Ilill.

Il semble d'abord qu'elle ne doive même pas se poser, puisque la convergence des séries (3), quand elle a lieu, n'est pas uniforme. Mais un artifice très simple permet de former néanmoins les séries (2).

Si, en effet, les fonctions Fj, F-.., ... ne contiennent chacune qu'un nombre fini de termes, cliacune des séries (3) se réduira égalemi^nt à un nombre fini de termes. Sa convergence sera donc assurée.

A la vérité, il n'en est pas ainsi quand p. représente une des masses perturbatrices; il en serait ainsi, au contraire, dans la théorie de la Lune, ou bien encore si Ton développait à la fois suivant les puissances des masses et des excentricités.

Dans tous les cas, /j. ne joue d'autre rôle que celui de quantité très petite, et rien n'empêche de grouper ensemble, sous la notation /-i"F„, tous les termes dont les coefficients sont des quantités du n'""' ordre de grandeur.

Grâce à cet artifice, les séries (3) deviennent convergentes et il s'agit d'envisager les séries (2).

Malheureusement, ici, le mode de démonstration employé par M. Hill, et dont je m'étais également servi pour les séries (3), cesse d'être applicable; je n'ai donc rien à changer à mes conclusions, dont il importe de bien se rappeler la portée exacte, que j'ai cherché à préciser autant que possible.