SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

II en résulte que, si la valeur initiale de / est inférieure à fo, f ira en croissant jusqu'à ce qu'il ait atteint ol dépassé la valeur /'o, et, après avoir franchi cette limite, il ne pourra jamais redevenir inférieur à f,,- Eu d'autres termes, si x ei y sont originairement très petits, non seulement ils ne resteront pas très petits, mais ils ne pourront jamais le redevenir après avoir cessé de l'être.

Tel est le cas général, et, dans le cas particulier où nous nous étions placés d'abord, la disparition des termes séculaires prouve précisément

l'impossibilité de trouver une fonction /" dont la dérivée totale : soit toujours de même signe quand x et )■ sont suffisamment petits.

Il résulte de là et de considérations que je ne puis développer ici que les quantités x et }' pourront cesser d'être très petites, mais pour le redevenir ensuite. 11 j a exception, toutefois, quand un certain nombre est conimensurable.

Dans le cas où la série (2) serait convergente, x Ql y resteraient toujours très petits.

Ihillctin (islroiioiitii/uc, t. 3, p. 57-(ii (févriei' iSSIiJ.

Fj'éqiialioa suivaale :

OÙ y. esl très petit et où cpi, Oo, . . ., o,, sont des sommes de termes trigonométriques en t, a été l'objet de travaux nombreux et approfondis, parmi lesqnels je citerai une mtHhode d'intégration de M. Lindslodl \^Beitrag zur Intégration der Différent ialgleickungen der Storungstheorie {Mémoires de V Académie de Saint-Pétersbourg, t. 31, n" i); analyse dans le Bulletin astronomique, t. I , p. .jo:ï]. Je demanderai la permission de rappeler i)rièveiueul cette inélliode, en la représentant sous une forme particulière.

Posons {■!) X = x<s-\- a.i:i-\-. . .+ -j:t Xq,

a;,,, Ti, . . . , x,i étant des sommes de fermes de la forme suivante :

A cos(/« II' -k- ).l -\- il).

Dans celle expression, m est un entier et \v est une variable auxiliaire égale à

OÙ w est une constante d'intégration el où

;j. = ;j.ii -(- x;j.i H . . . -H av ij.y.

Te dis qu'il sera possible de choisir les fonctions Irigonomélriques Xo, Xf, ..., x,i et les constantes /j.,,, /-"i, ■••, p,/, de telle sorte que, si l'on substitue dans l'équation (i) la valeur (2) de x, la dillerence des deux

membres de cette ét{uation contienne en facteur a?*', ou, en d'autres ternies, que cette équation soit satisfaite aux termes près d'ordre q -\- \ , y. étant du premier ordre.

En effet, on trouve d'abord aisément

.;„ = cosir, \xo = II.

Ecrivons maintenant l'équation (i) sous la forme suivante, en mettant en évidence les dérivées partielles de x par rapport à ; et à n\

Si dans F nous remplaçons x par sa valeur (2), nous pourrons développer cette fonction F suivant les puissances de a, et il viendra

F = FoH-aFi+a'-F.-t-....

Il est clair que Fo dépendra seulement de Xq et de Xs , V., de Xo, X\ et x^, .... Posons

Ici encore Vo dépendra de [i-o, V| de ,u,i et [j.,, .... Posons encore, pour abréger,

, ri- U fl- U d- Il

Am = —!— -+- ■?. fl — — — -H li- - — — n-ti, (il- dt dw dw-

. d'-.ii: d-xii

~ dt dw ' dw-

^Jous aurons alors, pour déterminer successivement les x et les ^, la suite

d'équations suivantes :

A.i'i — vi eus»' = Fo, Aa-o -+- B; — Vo ro-iir = Fl,

A.r; -(- \>i; — '//■ cil? w = F/(-

Si j"„, Xi^i . . ., Xk-\ sont connus ainsi que ,a„, /Jii, . . ., p-/,i, on connaît F^i et B/, qui sont des séries trigonométriques. On déterminera ensuite [>-k et par conséquent v/,, de telle façon que l'équation

A.i-/;. = F^.i -f- v/,- co? (f — B puisse être satisfaite par une série trigonométrique j-k-

Telle osl la métliode 1res simple de M. Lindsledl. Il est aisé de voir coiiimenl il faut déterminer v<; en ellft. pour que l'équalioa

où le second aïonibre est une série irigononiétrique en / et tr puisse être salisfaite par une série trigonomélrique u, il faut et il suffit que AV ne contienne ni terme en cosn', ni terme en sinci'. Or nous pouvons disposer de v/;, de façon à détruire les termes en cos(»'; mais nous ne pourrions pas de même détruire les termes en sinw, s'il j en avait dans F/,| — B/..

On voit immédiatement qu'on ne peut en rencontrer dans les premières approximations; mais il n'est pas évident qu'il en serait de même dans les approximations suivantes. Aussi M. Lindstedt crovail-il que sa méthode n'était applicable jusqu'au bout que s'il n'existait aucune relation linéaire à coefficients entiers entre les coefficients du temps dans les divers termes de 9(, 92, . . . , 'Jp. Cette restriction qui serait très gênante est inutile; je vais le démontrer en m'appujaut sur le théorème de Green. Pour cela, je supposerai d'abord que o,, Oo, ... ne contiennent qu'un seul argument, c'est-à-dire (en choisissant convenablement l'unité de temps) que

zi;= ^X cos{mC + h) (//). étant entier), 9i( < + 2 !t) = 9i-(<).

Posons

et regardons x, y el z comme les coordonnées d'un point dans l'espace. Posons encore

X=f, Y= — n-x -h y.(xfi-^ . , . + xP ^j,), Z=i.

Soient S une surface fermée quelconque, d(,y l'élément de cette surface, a, b, c les cosinus directeurs de la normale. Le théorème de Green nous donnera

car on voit aisément qu'on a

rfX d\^ dL

dx dy dz

Pievenons à la méthode de M. Lindstedt et supposons qu'après avoir conduit avec succès les /.• premières approximations, on soit arrêté à

la (A •+ i)""'° par la présence d'un terme S sinir dans F/.-, — B^. Nous résoudrons alors léquation

\x'i. = Fi i + v/; cos w — B^- — S sin ic,

en choisissant v/, de façon à détruire les termes en costv dans le second membre. Alors t\ sera une série trigonométrique en t et iv. Posons maintenant

X =f(t. ic) = aru-l- aoCi + . . .+ a''-i .*•/! -H a*.2;'^,, df df

Si nous faisons parcourir à t et m w touies les valeurs comprises entre zéro et 27:, le point ^, )', z parcourra une certaine surface i; cette surface ne sera pas fermée, mais elle sera limitée aux deux plans ^ =; o, s = 9.T.. Pour achever d'enclore un volume, il faudra adjoindre à la surface i une portion de chacun de ces deux plans: nous aurons alors une sorte de cylindre, avec sa surface latérale 1, sa bas« B dans le plan c = o. el sa hase B' dans le plan ; = 27r.

L'intégrale / (Xa + V è H-Zc) ofw, étendue à la surface totale de celle sorte

de cylindre, devra être nulle. Mais les intégrales relalivcs aux deux bases se détruisent, puisque x ç.\. y sont des fondions périodiques de / avec la période 2(v; donc l'intégrale étendue à la surface 2 esl nulle.

Evaluons celle intégrale d'une autre façon.

Posons, pour abréger,

\ TIw) ^ \ <ll <lw <lw lit )

d'où

div (hv \ cil dw dw r/t /

Il viendra alors

dw \ ill- dt dw dw- j

avec

Y =— «■^/-i-a(/oi-f-/o92 + ...-l-//'9;,).

Si l'on développe Xa+ Y6 + Zc suivant les puissances croissantes de a, il viendra

Xrt H- Yè-l- Zc = — a-f-MoS sin^n'H- »''■+' 0, -+- a*+i 62 + . ..,

à'iO SUR UNE METHODE DE M. LINDSTEDT.

OÙ 0,. Oj, . . . sont lies séries Irigonométriqiies qu'il esl inutile de déterminer davantage, et où

Mo '

sin-(i' ■+- n- cos-w

osl le premier leruie du développement de IM suivant les puissances de oc.

Notre intégrale devant être nulle, quel que soil a, les coefficients des diverses puissances de oc dans le développemenl de celte intégrale devront être nuls, et ce sera vrai, en particulier, du coefficient de y./i : on devra donc avoir

Mo S sin-ii' rfio = o,

et, comme M,|Sin-(v est essentiellement positif, cela ne peut avoir lieu que si S est nul. Donc, dans la méthode de M. Lindstedt, aucunedes approximations n'introduira de terme en siniv; donc la méthode n'est jamais en défaut.

J'ai supposé, il est vrai, (jue les séries Irigonométriques (y,, a^, ... ne contenaient qu'un seul argument; uiais il esl aisé d'étendre le résultat au cas général. Si, en efi'et, il y en avait deux par exemple et que les termes des o fussent de la forme A cos [m^( -\- nyt -\- h), m etn étant entiers et [3 et y deux constantes, et s'il s'introduisait un terme Ssinivà la /f"'""' approximation, S devrait être

nue fnuclion coulniue de y et de y: mais cette loni'liou esl nulle si - est

commensurable, c'est-à-dire si les deux arguments ^e riMluisent à un seul: elle est donc toujours nulle.

La même analvse pourrait s'étendre aux équations plus générales considérées par M. r^indsledi, uiais j'ai à peine besoin de dire que la question de convergence est toujours résiirvée.

Comptes rendus de l'Académie des Scif/ices, t. lOS, p. 21-2^ (7 janvier iSSç)).

Il esl une équation qu'on rencouire souveni en Mécanique céleste ei qui a déjà fail l'objel de bien tles recherches : c'est la suivante :

n est un nombre incommensurable, ;j. un paramétre très pelil. Quant à o(p, x), c'est une somme de termes de la forme suivante :

ç( p, .r ) = i; A i'" C(>s(Â.r -+- ai.

m est un entier. A, / et y. sont des coiislaules quelconque^. Nous |ioiirions toujours poser.

'b( 0. ;/■ I ^ 1 \ CI>«C/.J'-+- 7.). (l'uù Z — - — ^•

' ' III ^ l ■ (/O

M. Liiidstedl a |)rop()S('', pour riiili''j;ralioii de celle ('■qnalion, <les séries qui ne sont pas convergenles an sens rigoureux du mot, mais qui peuveni reiidie de grands services dans la pratique, parce que les termes vont d'abord en décroissant très rapidement et qu'en prenant un pelil nombre de ces termes on ne commet qu'une erreur assez faible, comme dans la série de Stirling.

Je me propose de présenter la méthode de Liudsledl à un point de vue nouveau, en la rattachant aux principes des ]'orlesungen ûber Dynamik de Jacûbi.

Nous pouvons remplacer l'équation ( i ) par les suivantes :

di"''' dt~~"'' '''do'' ~dt~^'

En posant

il vieul

auxquelles ont peut joindre (puisque p est une variable auxiliaire coinpliHement arbitraire)

~îït ~ dx'

H = — -i-«2 ^ — |jiJ^-*-/v,

de,

dt ~

d\\ dG dW dx dn ' dt ~ dp ' dt

Changeons de variables en posant

-^ sin )•, u = \/inqcosy,

il viendra

Il =/>-+- «2 î — ,aii(ç,jK, x),

dp __dH '!3 __^ dx M dy __ dH

TTt ~~ "dx ' r/t ~~ ITr^ 'dt ~ dp' dt ~ dq '

Les équations différentielles se présentant sous la forme canonique, on voit qu'il suffit pour les intégrer de connaître l'intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles H = C, où l'on regarde p e\. q comme les dérivées d'une même fonction -s et où C est une constante arbitraire. Cette équation s'écrit donc

dz „dz l dz \

Nous allons chercher à développer la fonction inconnue z suivant les puissances de p, en écrivant

z = Za + \i-Zi-\-\>.-Z«-¥ . . . , p =po-h.lJ.pi-+- lJ.''p2-+- ..., q = q„-h ixq, -i- IX- q^-h . . .,

dZi dzi

^'=777' P'=7I^- Si dans 'L nous remplaçons q par ce développement, nous trouverons

■J/o dépendra de q„ seulement, ^);^ de q^ et de ^i, 'h-2 de q^- q\ et ^2) 4'^ ^^ ^oj q^^ qi et </3, .... De plus, les i];,; seront de la forme suivante. Si q^, est supposé donné, 'J>j pourra se développer suivant les puissances croissantes de ^i.

^.j, . . . , ^,; le coefficient de chaque terme de ce développement sera lui-même une somme de termes de la forme suivante :

(2) A cos( niy -1- À .<■ -4- a),

m étant un entier, A, /,, et a des constantes quelconques.

Cela posé, on aura pour déterminer successivement les fonctions Z/, la suite d'équations récurrentes

(3) fJti-i- n-q„= C, pi-i- n''(/, = 'la, ..., pi-h n^qi= iii-f.

Nous prendrons pour y;,, et </„ deux constantes satisfaisant à la première des équations (3) et nous aurons, par conséquent, z^ = /)„x -\- q»}", la constante (jg, que nous supposerons différente de zéro, sera notre constante d'intégration.

Quand on connaîtra z^- -i, :■., .... ^i i, on connaîtra '^i-^ et l'équation

(4) pi-h rf-(ji=<bi-i

déterminera z;.

Convenons d'appeler, pour abréger, fonction trigonométrique de x el de y toute somme de termes de la forme (2).

Je dis que /), et '/, seront des fonctions irigonométriques de x et de y. Supposons, en effet, que cela soit vrai des dérivées de z„, r,, z-^, • . -, ^i-t', je dis que cela sera vrai des dérivées de Zi.

En effet, cela sera vrai d'abord de 4'/-)) tl^ sorte que l'équation (4) s'écrira

pi -H «- y, = Au -H - A cos ( iiiy -+- X -f -H ï ).

Dans le second membre, j'ai mis en évidence le terme tout connu A,, de la fonction trigonométrique i]^,-i. Nous tirerons de là

■■r^ A siniiny -h Xx -t- u) v^ A /** cos ( »o' -+- X x -1- ot)

On voit que </,, et par conséquent (y, est une fonction trigonométrique de X et de y.

Nous possédons donc z sous la forme d'une fonction trigonométrique de X et de y, dépendant en outre de deux constantes arbitraires C et cj„. L'intégrale générale de l'équation ( 1 ) est alors

dz dz , dz

' dy dqa ^ dC

c/^ étant une nouvelle constante arbitraire.

Il esl aisé d'on déduire les séries de M. Lindstedl sous la foiniL- que le savant astronome leur a donnée.

On reniiirqut'ra que celle inélliodo (l'exposition met en évidence In l'orme purement irigonomélrique de la solution, sans qu'on soit obligé de recourir au théorème de Green et de l'artilice que j'ai employé dans le Bulletin astronomique pour démontrer la légitimité de la nnUliode do M. Lindstedt.

Ce que je viens de dire s'étend sans peine à des cas beaucoup plus gi'uéraus, et, en parliculier, ;iu problème des ti-ois cor|)s. Je dois toutefois faire une remarque.

Pour toute autre loi d'attraction que celle de Newton, l'application de la méthode précédente au problème des trois corps ne présenterait aucune difficulté; avec la loi de Newton, au contraire, elle ne réussirait pas si l'on prenait pour point de départ l'orbite képléricnne; on est donc obligé de prendre comme première approximaliou l'une des orbites intermédiaires de M. Gvldén.