SUR LA DIVERGENCE DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQLES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 122, p. 557-55<j (g mars 1S9G).

J'ai eu l'occasion de parler de celle queslion à propos d'un travail de M. Hill inséré dans le BuUeliii of the American Matliematical Sociely. M. Hill ayant publie, dans le même Recueil ('), un nouvel article sur le même sujet, je un; vois forcé d'y revenir, car le nialealendu me semble s'être aggravé, et je crois nécessaire de donner quelques explications complémentaires.

Il s'agil des preuves que j'ai données de la divergence des séries de M. Lindstedl :

Anollier iiiclliod, dit M. Hill (p. i31), is derived fiom the principic tliat Iwo caraclcrislic exponents vanisli for every uniform intégral lliat exists; but ihc intégrais derivable from tlie séries of Delaunaj', Newcomb and Lindstedt are valid only for a limited range in tlie \alues of the linear \ariables. For instance, in the prnblem of the three bodies, if tlic déformation of the triangle formed by thèse bodies is such ihat \ve cannot find any two sides, one of which sustains to the ollier an invariable relation of greater or less, we cannot apply the mentioned séries. (Tel serait, par exemple, le cas d'une comète troublée par Jupiter, si la dislance aphélie est supérieure à celle de Jupiter et la distance périhélie inférieure à celle de la planète 1.

Ainsi, dans la pensée de M. Hill, les séries convergeraient pourvu que les variables satisfassent à certaines inégalités, el mon argumenlalion prouverait seulement qu'elles ne peuvent pas converger [)our toutes les valeurs des variables sans aucune exception. 11 est aisé de voir, au contraire, que l'argument conserve sa valeur et permet d'établir que ces séries ne peuvent pas

(') Vol. II, février iSj6, p. 123.