SUR LA DIVERGENCE DES SERIES TRIGONOMÉTRIQUES
converger daus toiile réleudue d'un doiniiinu cjuulcoiiquo, jkjuivu qu'il y ait, dans ce domaine, une solution périodique; or, il y a des solutions périodif|ues dans lous les iloniaines, si polils qu'ils soient (au moins poui- les \aleurs 1res petites des masses el des excenlricliés). Si donc les séries convergent, ce ne peut être ipie pour certaines valeurs discrètes di^s variables et non pour toutes les valeurs comprises entre certaines limites, quelque resserrées que soient ces limites.
In tlie lliird place, coullnue M. llill, an appeal is made lo tlie nlleged non existence i)f analytic and uniform intégrais beyond tliose already known. ( M. Hill expose ensuite que deux liypolhè*es sont possibles"). Now in case \ve aie obliged to accepl llie (irsl conclnsion, were il only but once, M. I^oincaré lias demonstraled llie non-exisleuce of intégrais; I)ut, granling that it is proper in every case to accept the latler conclusion, thc dcmonslralion fails. Now he déclines lo consider ihe lalter alternative, sayiiig lliat he does not believe tliai any problem of Dynamics, presenting ilself naturally, occurs where llie riglit nitmliers of llie menlioned équations would ail vanisli.
J'ai dit, i!n effet {Mélhodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, p. 245) :
Ces considérations ne préso.nteiil pas, d'ailleurs, iriiUénU pi-atii|ne el je ne les ai présentées ici que pour être complet cl rigoureux. On peut évidommenl conslruire arliliciellenient des problèmes où ces diverses circonstances se renconlrcronl; mais, dans les problèmes de Dynamique qui se posent naturellement, il arrivera toujours, ou bien que toutes les classes seront singulières, ou bien qu'elles seront toutes ordinaires, à l'exception d'un nombre fini d'entre elles.
La question demeure donc réservée en ce r[ui concerne un problème de Dynamique ([uelconque, mais, en ce qui concerne le problème des trois corps en particulier, j'ai démontré, dans le Chapitre VI, n'" 102 et 103, que toutes les classes sont ordinaires.
La seconde alternative se trouve donc écartée.
Enfin^ M. llill ajoute encore ce (jiii suit :
M. l'oincaié appeals in anolber place to ihe lad lliat ibe IJndsledl seiies, if convergent, would eslablisb llie non-existence of asymplotic solutions. But tliis observation is irrelevant for the reason ihat llic domains of the two ibings are quile distinct. In any case where Lindstcdl séries are applicable, therc arc no asymplotic solutions, and, wlierc ihere are asymplotic solutions, I,indsledt's séries would be illusory.
M. Hill parait croire (ju il ne peut y avoir de solutions asymplotiqiies que si
les variables satisfont à certaines inégalités; el, eu ellet, il avait dit quel(|ues
pages plus haut :
In ail the cases presenied by aslronomy, where, on accounl of the near appioacb lo circular motion, a periodic solution can be laken as a firsl approximation, il appears lliat the squares of ihe cliaracterislic exponenls are real and négative. Thus, lliere is nocall hère to consider this sort of solution (les solutions asymptotiques).
