QU'ON RENCONTRE EN MÉCANIQUE CÉLESTE
liullctui (islroiioiniijuf, l. 15, p. aSg-oiu (août 1898).
1. J'ai exposé, dans le BuUeLin uslronornique (juilleL 1897) ('), une méthode qui permet de développer les coordonnées des astres en séries ne contenant que des sinus et des cosinus.
.le voudrais aujourd'hui revenir sur ce sujet pour montrer comment il convient de grouper les termes afin d'oi)tcnir une convergence aussi rapide que possible et les diverses particularités que l'on peut mettre en évidence en décomposant et groupant les termes de ditlérentes manières.
Ce que j'ai à dire s'applique au cas général avec quelques changements de détail. Néanmoins, pour simplifier et abréger cet exposé, je me bornerai au cas particulier connu sous le nom àc problème restreint.
.Fe supposerai un corps central S nutoui- duquel circulent une masse Iroujjlaute .1 très petite et une mass(; troublée I' inlinimcnt petite. La masse P étant lulinimetit petite, le mouvement de,) doit obéir aux lois de Kepler; je supposerai l'oriiite de .1 circulaire; l'inclinaison nulle de façon que P se meuve dans le |)lan de l'orbite de ,J et enfin l'excentricité de P très petite, de faeou (jue P se meuve dans le même sens que .) daus une orbite sensiblement circulaire.
('; CHiavres de II. l'oincaré. ce Tome, p. 'n-.
J'appelle a et e le demi-grand axe et rexcentricilé de P; fjt la masse de J, l l'anomalie moyenne de P et »• la longitude de son périhélie, /' la longitude de J, et je pose
Je vois alors que les équations du mouvement prennent la forme canonique
flV
dx.
dV
rf)-,
dV
dy.
dF
dt
dy-, '
dt
dxC
dt
do.-.
F est une fonction di'veloppable suivant les puissances de p- cl périodique par rapport aux y.
Pour ij. -— o, cette fonction F se réduit à
2 (Xi — ^l)
(.Vi-hX-i)-
(à la condition de choisir convenablement les unités de longueur, de masse et de temps) et ne dépend que des x.
Nous nous trouvons donc dans les conditions du problème B {/hili. aslr., t. 14, p. 242) ('). Les résultats obtenus à propos de ce problème sont donc applicables ici; ils peuvent s'énoncer sous la forme suivante.
Soient ^i, 5^, m,, ra-j quatre constantes d'intégration; soient /ii et n.. deux nouvelles constantes dépendant de :\. de z-, et de y.,
iVi = «I / -I- ra,, ir., = «2? -+- CT-,.
Les variables x et )■ peuvent se développer en séries |)roc(''dant suivant les puissances de /jl,
( 3 ) Xi = xf -h ;jLar,' -t- ;j.-.r ? -4- . . . , y, = r" -1- |ji r,' -t- [x-rf -1- . . . .
Les X- et les rf (sauf j'',' et j'" qui sont égaux à iv, et w-j) sont développables en séries irigonométriques procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de n'i et ccj, le coefficient de chaque terme dépendant de z, et de :■•,.
Enfin n, et n-, peuvent se développer suivant les puissances de p., chaque terme étant une fonction de r, et de z-2, de sorte que
(4) «/=/!,"-+- un,' -+-
Nous supposerons d'ailleurs
(') Lor. rit., p. ')iS.
d'où
La constanle Ziz=a1 est très petite et de l'ordre du carré de rexcenlricilé, et il n'est pas inutile de remarquer que nos expressions j"f et jf (sauf j" ely°) peuvent se développer suivant les puissances de yz^ costvi, y^, sinivi, chaque terme dépendant encore de ivj et de 3-j et étant périodique par rapport à n'^.
'i. Observons d'abord que de ces séries on en peut déduire une infinité d'autres de même forme.
Remplaçons, en effet, les constantes ; et ro par les développements suivants procédant suivant les puissances de p. :
(6) Zi-= z^-h 11.:-! -i-ix^Zf-^. . ., i;t,= raf + ,ara,' + ii'-ro?-i-
Les zf et les nrf sont des fonctions de quatre nouvelles constantes z\, z'.,, ro', . nj'„ ; on a
zp = z'i, T^:- = ht;
et les autres s'', rof sont des fonctions quelconques de z\ et ^'„, de us\ et roi. .
Il est clair que si, dans les séries (3), je remplace les constantes s,- et ro, par leurs développements (6), puis que j'ordonne de nouveau par rapport à ,u, j'obtiendrai pour les Xi et les y, de nouveaux développements qui seront de même forme (jue les séries (3), c'esl-à-dire cpii procéderont d'une part suivant les [)uissances de ;j., d'autre part suivant les sinus et cosinus des multiples de
et dont les coefficients dépendront des nouvelles constantes z' et ro'.
Le cas le plus remarquable sera celui où ces coefficients dépendront seulement des z' et seront indépendants des m', ainsi qu'il arrivait pour les séries (3) elles-mêmes.
3. Comment peut se faire le choix si largement arbitraire de ces développements (6) qui définissent les constantes z'^ et ro-?
On peut d'abord s'arranger [)our que le rapport des deux moyens mouvements rii et n, soit indépendant de jj. et que l'on ait
/Il S -I- (z'i -I- z'.,y
Les équations (5) nous donnent
n", — nv, = i .
Si nous n'avions pas ainsi une relation entre n" et n", nous pourrions choisir les développements (6) de telle façon que les moyens mouvements «i et «o soient tous deux indépendants de p.; malheureusement l'existence de cette relation s'y oppose.
Soit
n\ — n\= cp(zi, 5o)-
Formons alors les équations
Comme les «* sont des fonctions connues de Zi et x;^, nous pouvons, de ces équations (8), tirer :.\ et :[. en ibnclions de -i, de z-^ et de p., et il est aisé de voir que l'on obtient ainsi des développements de la forme (6) (les ;f et les 5J* dépendant seulement des z' et non pas des ro'). Les équations (8) entraînent d'ailleurs la relation (^).
i. ( )n peut aussi choisir pour les constantes z'^ et ro) les valeurs initiales des Xi et des y; pour i =: o.
Prenons, en effet, les équations (3) et remplaçons-y t par zéro, x, et yj par ^j. et ro); nous trouverons ainsi
(y) s;= a-,"-H iJ-i^/ -H u'2x?s- — nj;=j;+ [xj-; -+-n5 r?-h —
Dans les expressions x^ et ^f , les arguments w, et (Vo doivent être remplacés par cT| cl C7j.
Les seconds membres des équations (y) sont des fonctions connues des 5, des cj et de fji; pour fx ^ o, ces seconds membres se réduisent à
On tirera donc facilement de ces équ;itions (g) les z et les ra en fonctions des nouvelles constantes s' et ra' et de p.. sous forme de développements procédant suivant les puissances de [j. et qui ne seront autre chose que les développements (6) cherchés.
L'inconvénient de ce choix, c'est que les constantes z et les dilTérences w — ro' dépendent non seulement de ^'i et 5'.,, mais de w', et rcr',. Il n'en était pas ainsi quand nous procédions comme au n" 3.
11 en résulte que les séries (3) se trouvent remplacées par des séries (3 bis)
de même forme, mais donl les cocfficienls dépendent, non seulement de z\ et 5o, mais de ir, et cj',. Au contraire, en proctidant comme au n" 3, on trouve des séries de même forme encore et dont les coefficients sont indépendants des deux constantes rs'.
S. Je me propose d'abord de montrer comment on pourra déduire des séries (3) les développements auxquels aurait conduit l'application des procédés de l'ancienne Mécanique céleste.
Adoptons les constantes z' et ro' du n" 4 et envisageons les séries {'.} bis) obtenues à la lin de ce numéro.
Les équations (4) nous donnent n, et n-^ en fonctions de y-, de ^j et de ^^. En les combinant avec les équations (6), nous aurons /ti et n^ eu fonctions de pi, des ;' et des ro'; soit donc
(4 bis) rti = ")" -H iJ. "/' -t- |J--"i" -i- • • • .
Les «/■ seront donnés en fonction des z' et dos nj' et l'on aura
(4 l>is) ",
{z.\-\-z',f 1 Considérons alors les séries
( 3 bis ) Xi = Sa'- x'/ ; r,- = S.u^' j-;* .
Soit A sin(//?i n'i -1- /»^, iv, ) un terme de a;)* ou )|*. Le coefficient A dépend des z' et des ro'; m, et Wj sont deux entiers; enfin le signe sin pourrait être remplacé par le signe cos.
Ce terme dépend indirectement de ij., puisque l'on a
«il ir'i -+- »i.>ir'o = (/«i «1 + i>i-in-i)t -h ( Hiiro', + in-iT^'., )
et que, d'après les équations {.\ Ois), ni et n. dépendent de p..
Développons donc ce terme suivant les puissances de p., il viendra
(lo) A siii(mi ir', -I- m^if'z ) = A sin w -h [x \ It m, n\' -h m-,n\-) ('oscj -t- . .'. ,
OÙ
(0 = I, m I /( V' + "'; "'■" )l -h {f>iim\ -h /»■> rn'., ).
Remplaçons maintenant chaque terme dos séries (3 /;/,y) par son dév(;loppement (lo) et ordonnons de nouveau par rapport à p; nous obtiendrons ainsi des séries
Citer) Xi = x'i' -+- }J.x'P -^ ii2x"i- -(-..,, J/ = fi" -+- iJ-fi ' + l^-i/r -*-■■■■
Les séries (3 ter) comprennent comme les séries (.'>) des termes j)uremcnl
Irigonométriques, mais elles comprennent en outre des ternies où le lemps sort des signes Irigonométriques, tels que le second terme et les lermes suivants du développement (lo).
Chaque terme est d'ailleurs tout à fait indépendant de f/.
Les séries (3 ter) sont celles auxquelles auraient conduit les anciens procédés.
G. Nous observerons d'abord que ce rapprochement nous fournit immédiatement un théorème applicable aux séries obtenues par les anciens procédés.
Ces séries contiennent des termes non séculaires, ne contenant qu'une ligne trigonométriqup de niiw'\~\-Tn-,w",, où les w] sont des fonctions linéaires du temps
iv"= «)" t — Cî;.
Elles contiennent en outre des termes où une pareille ligne Irigonomélrique est multipliée par t, ou par t- ou par une puissance supT'rieure de t. Si'parons ces diverses sortes de termes et écrivons par exemple le développement de .Ti,
a:i = 2 A siii 10 -I- / S B cos (•) -H /- 2 C «in w -t- . . . ,
OÙ
(■) := /H, »•'[ -H «);> n'\ -+- II,
Il étant une constante.
Le théorème on question, c'est que les coefficients B. C, etc. peuvent se déduire des coefficients A à l'aide des formules suivantes :
B =—(/?!, 2i -f- nîiïi), C = fmi xi -I- »!. oL-iY-,
où y.\ et y., sont les constantes «i — /i," et n^ — h,''.
Ainsi la connaissance de ces deux constantes a, et aocl des termes non séculaires suffit pour donner immédiatement celle de tous les termes séculaires. On voit de plus que les termes « purement séculaires » contenant une puissance de t et pas de ligne trigonométrique doivent toujours se détruire quelque loin qu'on pousse l'approximation.
7. .Si nous cherchons à comparer les séries (3 ter) données par les anciens procédés avec les séries (3) données par les procédés nouveaux, nous remarquerons d'abord que les séries (3 ter), ordonnées suivant les puissances de [J-, II. p. — VII. 72
convergent pourv\i ([ue le lenip.s soil sulTisaminent pelil; la couveigmce cesse si le temps dt^passe une certaine valeur.
En ce qui concerne les séries (3), nous sommes certains que les premiers termes convergent assez vite pour les besoins de la pratique; mais nous n'avons pas le moyen de démontrer que la série converge, même pour les petites valeurs du temps, au sens que les analystes attachent à ce mot. Nous pouvons affirmer au contraire que la convergence, si elle a lien, ne saurait èlre uniforme |)our toutes les valeurs du temps d'uni; part, et d'autre part pour loules les valeurs des constantes comprises entre certaines limites.
Dans ces conditions, on est tenté de se demander si les méthodes nouvelles où l'on évite les développements procédant suivant les puissances du temps présentent des avantages bien réels.
On se rendra mieux compte des cas où les avantages sont réels et de ceux où ils sont illusoires si l'on prend garde aux rétlexions suivantes :
On peut se proposer deux buts ditYérenls, ou bien représenter les positions des astres pendant un temps très long avec une approximation médiocre, ou bien les représenter pendant un temps assez court avec une grande ap[)roxiinalion.
Supposons que l'une do séries (3) c<uitienne deux termes Asina/, Bsinp/
et que
A > B, Aa<Bp.
Il pourra très bien se faire que, si l'on se propose le premier but, on doive tenir compte du premier de ces termes et négliger le second qui est plus petit si t est assez grand; et qu'au contraire, si l'on se propose le second but, on doive tenir compte du second de ces termes et négliger le premier qui est plus petit si Ion ne donne à t que de petites valeurs.
On voit donc que le choix des termes que l'on doit conserver ou négliger ne peut se faire sans qu'on se soit bien rendu compte du but que l'on cherche à atteindre.
Supposons donc (ju'on veuille représenter les mouvements pendant un temps T et avec une approximation II; nous devons négliger le terme Asinc?/, si A est plus petit f[ue H. ou encore si AaT est plus petit que II.
Il pourra se faire que y.T soit très polit, pas assez cependant pour que le terme doive être négligé. Dans ce cas, ce terme A sine ^ différera très peu de k.7.t. On ne voit pas bien alors quel avantage il peut j avoir à luL conserver la forme Irigonomélrique et s'il ne vaut pas mieux le développer suivant les
SUR LA FAÇON DE GROUPER LES TERMES DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. 5yi
puissances de t, en bornanl le dëveloppemenl à un ou deux termes. Un très grand nombre de lermes, se réduisant, à une constante multipliée par t. t- ou <•', peuvent alors être réunis en un seul.
Supposons encore que l'on ait un certain nombre de termes
A sin ï. ? ^ A I sin ot; < -+- A 2 siii a-iZ -h. . .-+- A„ sin oc,, t
dont les périodes soient très peu différenles. Si les expressions («/, — a)T sont assez petites pour qu'on puisse en négliger le carré, on pourra remplacer ces n -\- I termes par deux termes seulement
( A -t- Al -(-. . .-H A„ ) sin 2/ -H ^ cosy:t[\,(x, — a) + A.i(ï2 — a) -*-...+ A„(a„ — a)],
ce qui sera une simplification évidente. L'approximation plus grande que semble donner la formule complète serait d'ailleurs le plus souvent illusoire parce que les périodes ne seraient pas exactement connues.
On voit que dans certains cas on peut avoir intérêt à revenir aux développements qui procèdent suivant les puissances du temps, et à adopter, pour ainsi dire, une méthode mixte entre les anciens procédés et les nouveaux. Certains termes conservent la forinc trigonométriquc, d'autres se développent de manière à faire sortir 1<' temps des signes sinus et cosinus. Le choix des termes auxquels la foiiiie trigonométrique doit être conservée dépend du but que l'on se propose.
Au point de vue de la convergence, ces développeuients mixtes seraient équivalents aux séries (3 ter) des anciens procédés, le temps pendant lequel ils resteraient convergents étant en général plus grand.
8. Laissons maintenant de côté les anciens procédés "t revenons aux développements (3). Nous devrons observer que ces développements contiennent certains termes qui peuvent être très grands, mais que le plus souvent on peut obtenir une sorte d<' compensation en groupant les termes d'une manière convenable.
11 arrivera fréquemment qu'un groupe contiendra des termes très grands et que la somme des termes d'un même groupe sera néanmoins très petite.
Rappelons, en effet, que les divers lermes des séries (3) ont été obtenus par une série d'opérations, comprenant des intégrations, des additions, des multiplications, des difTérenliations.
Supposons donc que l'on ail à intégrer un terme de la forme Acosa^, on
A sina< trouvera •
Si X ost très petit, ce tei'inc sern susceptible de devenir très grand; il ne le deviendra pas cependant pour les valeurs finies de /, car il sera toujours plus
petit que .Kt.
.... . . Kcoiat
Si nous avions a intogrcr uu tenue Asiai;^, nous trouverions
\ \ ros a /
OU. en aioulant une constante, ■
Chacun de ces deux termes est très grand, mais l'ensemble des deux termes
,, . , . Va/' est lini et plus petit que — ^
On voit iiuel intérêt il y a à grouper les termes d'une manière convenable.
Parlons maintenant ilu terme Acosa< el supposons qu'une première inté-
, , A sin al gralion ait donne
Supposons qu'on ail ensuite à multiplier ce lerme par sinp?, ce qui donne
A sinai siii 3' A , ., A , ^^ ^
■ — = — cos ( p — X ) / cos ( ,j -H a ) ? ;
puis à intégrer de nouveau ce (pii donne
A siii( [i — a)t A siii( ^ -+- a)/ ■), a ( j j — a ) ■> a { [j -+- a )
Si J5 est fini et y. très pelil, chacun de ces deux, termes est très grand: ils ont tous deux à peu près même période, et si on les réduit ils se compensent presque
exactement, car leur ensemble est de l'ordre de -^ ■
C'est ce qui explique une circonstance qui se présente bien souvent dans le calcul des perturbations du second ordre. On trouve des termes qui, individuellement, ont une valeur considérable, mais qui se détruisent presque complètement deux à deux.
Ces exemples suffisent [lour montrer riniluence du groupement des termes sur la rapidlh' de la convergence.
9. Considérons maintenant les difTérents termes des développements (3) et voyons quelle est leur forme.
Soit
\j.l' \ ( n?! (fi -h Wo(r->) co?
l'un de ces lerm(;s. \ ('■tant une f<iiu;tion de c, et :;j.
Nous pouvons toujours supposer que lus développements (4) se réduisent à leurs deux premiers termes de telle façon que
«, = «y -H ;JL/( 1, «5= /iS -î- |jL«i
et que
soit indépendant de f^ et ne dépende que de Si + Sj.
Si, on effet, il n'en était pas ainsi, nous n'aurions qu'à passer des constantes r aux constantes z' définies au n" 3.
Cela posé, voyons quelle sera la forme de la fonction A. On sait que les intégrations successives .introduisent dans cette fonction des diviseurs de la forme {jin^-h (j.,n",, qi et q . étant des entiers; c'est ce que nous appellerons les petits diviseurs.
Nous écrirons donc A -- -, Il étant le produit des petits diviseurs et B une
fonction de ;i et z-,. La fonction B reste finie pour toutes les valeurs envisagées des constantes ;, et z-.. Au contraire, comme certains petits diviseurs peuvent
s'annuler quand -t, est commensurable, la fonction A pourrait devenir infinie. ' II]
Je puis considérer B comme fonction de ^i et Zi+ z-,, ou, ce qui revient au même, de Ci et de n\. Quant à II, c'est un polynôme entier en ti\, car le petit diviseur
Si donc je regarde un instant r-, comme une constante, A sera égal à une fonction de «',', liolomorphe dans le domaine considéré, divisée par un polynôme en n\.
Je puis poser
I! = Cil -t- 1>,
où C est une autre fonction holomorplie en n'[ et D un polynôme d'ordre moindre que H. 11 vient donc
et si l'on décompose la fraction rationnelle en éléments simples, on aura décomposé le terme envisagé en plusieurs autres
sin l'j siii ,
'■ ' '^ COS ■ ( (/irt'l' -H (^irt" l'' L'OS
où C est une foiiclion holomorplie do 3i cl n" et où les auLres termes contiennenl au numéraleur une louclion l'i, li(il<)mor[)lie en ii seulement et au dénominateur une puissance entière /i d'un seul |HUil di\iseur.
Si l'on se ra|j[>elle la manière dout les dillérents termes des développements [Z) ont été obtenus, on verra (jue le |>olvnome H sera le produit d'au plus -.ip — I petits diviseurs, en ce qui concerne le développement de x^ et x-2, et d'au plus zp petits diviseurs, en ce qui concerne le développement de yi et Kj. Ce polynôme est donc au plus de degré 2/? — i (ou 2/)), p étant l'exposant de ,w dans le terme considéré.
Dans chaque terme de (11) l'exposant h est au plus égal à 2 p — i (ou 2/>); j'ajoute que s'il atteint sa limite 2p — i (ou 2/?), on doit avoir
10. Supposons maintenant que, partant des séries (3), nous décomposions chaque terme en plusieurs autres par la formule (i i). Nous pourrons répartir les termes de la série ainsi obtenue de la manière suivante :
Un premier groupe comprendra tous les termes qui ne contiennent au dénominateur aucun petit diviseur [tels que le premier terme de l'expression (11)].
Chacun des autres groupes sera formé des divers termes qui contiennent au dénominateur une puissance d'un même petit diviseur.
Considérons, par exemple, le groupe des termes qui contiennent au dénominateur une puissance de
et qu'on peut appeler le groupe (//i, q-i).
Chacun des termes du groupe (yi, 7-.. ) contiendra en facteur i^^i où la différence 2p — I — A, en ce qui concerne Xi et x-^ (ou 2/? — li en ce qui concerne ri et yo), est positive ou nulle.
Rangeons dans un même sous-groupe les termes où cette diliérence a la même vah'ur; nous appellerons sous-groupe princij)al celui où celte diliérence est nulle.
Voici ce qui justifie ce groupement. Si ô est très petit et par exemple de l'ordre de ^/p., certains termes d'ordre élevé par rapport à y. |)ourront devenir sensibles par suite de la présence d'une puissance de ô au d(''nominat('ur.
L'importance du terme se trouve alors mesurée par la valeur de la diflé-
reuce 2/> — I — h. Les termes pour lesquels celle différence est nulle sont évidemment les plus imporlanls; ce sont même, le plus souvent, les seuls dont on ail à tenir compte.
Les deux nombres (/, et q-2 peuvent toujours être supposés premiers enire eux, de sorte qu'on peut toujours trouver deux entiers ri et /•■. tels que
■ g'i'-^— <?-2'i = I el poser
a et j étant deux nouveaux entiers. Nous pourrons classer dans une même série partielle tous les termes d'un même sous-groupe qui correspondent à une même valeur de (3.
Le diviseur o étant en eflet très petit, (j,n,~ q.n, est aussi très petit, de sorte que tous les termes d'une des séries partielles ainsi formées auront à peu
près même période, je veux dire une période voisine do 7- — ■• Lesous-
groupe principal ne contiendra qu'une seule série partielle, car pour ce sousgroupe on a
— = — ) d ou [j = o.
qx q-i
A part les termes du piemier groupe qui, ne contenant pas de petits diviseurs, sont généralement très petits, tous nos termes vont se trouver ainsi répartis en séries partielles.
Or, il arrive celte circonstance singulière que chacune de ces séries partielles peut être facilement sommée, je veux dire que sa sommation se ramène à un nombre fini de quadratures.
Généralement' on n'aura à tenir compte que d'un petil nombre de termes isolés et en outre d'un petit nombre de séries partielles. On peut dire que dans les cas les plus difficiles traités jusqu'ici on n'a jamais eu à considérer qu'une seule série partielle provenant d'un seul sous-groupe principal.
C'est là, sous une forme nouvelle, la méthode de I\L Bohlin (|ui se trouve ainsi rattachée à la méthode qui nous a donné les séries (3) et par elle aux anciens procédés.
Si l'on se borne à sommer la série [larlielle qui correspond au sous-groupe principal, et que l'on a seule à envisager en général, on retombe sur la méthode de Delaunay.
Si les moyens mouvements sont presque commensurables, il peut arriver
que les si-ries pnrliellos divergeiil. L'i'xpiessioii ;ui;il\ liciuc à kujuelle coaduil leur suinuiatiou n'en conserve pns moins un sens. C'esl ainsi que l'expression — -— conserve un sens alois même que, a: étant plus grand que i, la
série I + .r -\- x- + . . . a cessé d'être convergente.
Lors même qu une série partielle diverge, on peut encore légitimement la remplacer par cette expression iinahtlque. C'est ce qui peiniet aux méthodes de Dolaunaj et de Bohiin d'être applicables à des cas où l'emploi direct des séries (3) deviendrait illusoire et même au cas de la libralion où la forme des orbites est si dillerente de la forme ordinaire.
C'est ainsi que, malgré ces dillérences, ce cas de libration peut encore se rattacher à la métiiode qui nous a fourni les séries (.1).
11. \ ojons maintenant comment les solutions périodiques et asymptoliques peuvent se déduire des séries (3). Nous avons vu que nos séries sont développables suivant les puissances de y'^icosn'i, ^/iiisiuwi, les coefficients du développement dépendant d'ailleurs de z-, et Ho.
Si nous donnons alors à la constante ^i la valeur zéro, nos séries ne contiendront plus que l'argument iij ; elles seront périodiques. On retombe ainsi sur les solutions périodiques de la première sorte.
12. Cherchons maintenant à obtenir les solutions périodiques de la deuxième sorte. I*our cela reprenons nos séries (3) en supposant comme au n" 1)
Si nous donnons au rapport ,', une valeur comuiensuiable, un tics iielils 1 1 „i> 1
diviseurs Çi n", -{- q-^n", s'annulera, de sorte que certains leimes du développement pourraient devenir infinis.
Supposons 7x!-, = n et remplaçons la constante ro, par un développement procédant suivant les puissances de [j.
(\1) CT] ^ ra" -I- ;j.rB] -+■ ;J.'-'m; -t- . . .
et dont les coefficients sont de nouvelles constantes que je me réserve de dclerniiner plus loin.
Considérons un terme quelconque des séries (3) et remplaçons-y la constante Wi par son développement (12). Ce terme deviendra développable suivant les puissances de [j.. Développons de même tous les termes des séries (3)
et ordonnons de nouveau suivant les puissances de p. Nous obtiendrons ainsi de nouvelles séries que j'appellerai (3a). Soit
[iP » siii , ,
(çi/j? -+- q-in\ )'' cos
un terme de ces nouvelles séries, le coefficient A ne contenant plus le petit diviseur (/i«° + q-iTt",.
Pour plus de brièveté dans l'exposition, introduisons quelques dénominations nouvelles et d'abord définissons ce que nous appellerons V ordre de ce terme. Pour les termes du développement de Xi et ar-.., ce sera le nombre
2» — h, SI — = ^!-; in — I — /(, SI — f ^*- ■
Pour les termes du développement de yi et )•:., ce sera le nombre
in-> q2 m.1 qi
Cette classification laisse de côté les termes oiî /i := o, qui ne contiennent pas de petits diviseurs et dont nous n'avons pas à nous occuper.
.l'appellerai termes principaux de chaque ordre les termes du développement de x^ et de x.^ qui sont de cet ordre et qui de plus sont tels que
nu qi
Il n'y aura, d'après cette définition, de termes principaux que dans les ordres impairs.
Les termes du premier et du second ordre ne dépendent que de xs\ ; ceux du troisième et du quatrième ordre dépendent de ro° et m\ ; ceux du cinquième et du sixième ordre de ro", nr) et ^^5\, et ainsi de suite.
L'ensemble des termes principaux du premier ordre dansa^i se présente sous la forme d'un certain numérateur divisé par q ^ n'\ -\- cj -^ ni . Comme pour tous
ces termes on a
/«i qt n\ ««
/rto qi ii'l n,
il vient
«il «1 -H in-,ii2 = o.
Le coefficient de t disparaît donc dans tous ces termes.
Noire numérateur est donc une constante qui dépend de cî° ; je disposerai
de BT, de façon à (iniiuler ce nuinérnteur, ce ([ui détermine ra','. Ces termes pi'iacipaiix, que nous pouvions craindre de voir devenir infinis, disparaissent donc.
Les termes principaux du premier ordre dans x-, disparaissent ipso fado, en vertu de l'équation des forces vives.
.Mais ce n'est pas tout : tous les termes du premier et du second ordre disparaissent ipso facto dans les quatre développements .
Considérons maintenant les termes principaux du troisième ordre dans xt] hnir ensemble est encore égal à un numérateur divisé par qiii] -\- q.,n\. Ce numérateur se réduit à une constante dépendant de rrr, et ro| ; nous déterminerons T7i\ de façon à le faire disparaître el, avec lui, les ternies principaux; considérés.
Du même coup, disparaîtront les termes principaux du troisième ordre dans o-'j et, dans les quatre développements, tous les termes du troisième et du ((ualriéme ordre.
On déterminerait de même w] de façon à annuler les termes principaux du cinquième ordre dans Xi, ce qui annule du même coup tous les termes du cinquième et du sixième ordre; el ainsi de suite.
Ainsi disparaîtront tous les termes qui auraient pu devenir infinis; d'ailleurs, le rapport des moyens mouvements étant commensurable, nos séries ne dépendent plus que d'un argument unique et les solutions sont périodiques. Il est à noter que les séries ainsi obtenues sont convergentes, tandis ([ue les séries (3) ne l'étaient pas, au sens rigouieux du mol.
13. Soit (^ la constante des forces vives; la valeur de C dépendra des deux constantes ^, et z-^ ou, ce qui revient au même, de «i et «■>. Elle se présentera sous la forme d'une si'rie ordonnée suivant les puissances de p. et dont les termes seront des fonctions de Zt el ;.j ou de «i et n...
Dans certains cas, on peut considérer i\ comuie une des données de la question. Alors la relation F = C, où le second membre C est regardé comme donné, sera une relation entre Zi et So, ou entre ni et n<.
On pourra en tirer par exemple n-, en fonction de ii \ sous la forme d'une série procédant suivant les puissances de [j. el dont les coefficients seront des fonctions de «,.
1 i. -Nous venons de voir la manière de rt'lrouver les solutions périodiques en
partant îles séries (3); on pourrait se proposer de retrouver de la même façon les solutions asymplotiques.
Nous savons en effet qu'en dehors des développements (3) qui procèdent suivant les sinus et les cosinus des multiples de deux arguments tv, nous pouvons représenter les coordonnées du corps troublé par des développements d'une forme toute différente.
A chaque solution périodique correspond un de ces développements.
Soient, en effet,
Xi= 9,""(NV), cu<yi= ■^rVW), =in,>-,= 0,''-"(W)
les équations d'une solution périodique, où 9,"", '\i°°, 0°" sont des fonctions périodiques de période 271 d'un argument unique
No et /( sont deux constantes; la première doit être regardée comme donnée, la seconde est une constante arbitraire d'intégration.
Nous appellerons Co la valeur correspondante de la constante C des forces vives.
Nous pouvons alors représenter la solution générale sous la forme de développements
; Xi= ^(.-Ve»'j''(-^'«^'")''Tr''(W),
(i3) ) C0S7/= i:(Ae«')''(A.'e-a')'''H''''(W),
( sinri= :î:{ ke^' )/'i y e-^'ynt'/'/ (W),
OÙ les fonctions of'', <]>f''' -, 'Jf '' sont des fonctions périodiques de
Dans ces développements A, A' et A sont des constantes d'intégration, a et N sont des constantes données qui peuvent se développer suivant les puissances du produit AA' et de la différence G — C„.
Si l'on développe les cpf '', ij/f, Of en séries de Fourier, les coefficients de ces séries seiont également développables suivant les puissances de C — G,,.
Si l'on fait G = Go et qu'on annule l'une des constantes A on A', N se réduit à la constante Nq définie plus haut et « à une constante a,,.
Il ne reste dans les séries (i3) que les termes où y> = o (ou les termes où cj = o). On obtient ainsi lus solutions dites nsvinptotiijues : les séries sont alors convergentes.
58o SUR LA FAÇON DE GROUPER LES TERMES DES SERIES TRICONOMÉTRIQUES.
Si les deux constantes A et A' s'annulent à la l'ois, 11 reste seulement
el l'on retombe sur la solution périodique.
15. On peut alors se proposer de voir comment on pourrait passer des développements (3) aux développements ( i3).
On remarquera d'abord que ces séries ( 1 3) sont ordonnées suivant les puissances des deux constantes A et A'. On pourrait donc être tenté d'opérer de la manière suivante : introduire les deux constantes d'intégration A cl A'; développer chaque terme des séries (3) suivant les puissances de A et A'; réunir les termes semblables et ordonner suivant les puissances de ces constantes.
On ne peut pas arriver au résultat par cette voie. On renconirerait des difficultés analogues à celle qui se présenterait dans l'exemple simple suivant.
Envisageons la série
xe~'' sin 'J.I 1,, ae-"* SU] nït ^=
2 e~°'- cos 'j.t -\- e~-"
La somme de la série est développable suivant les puissances de y. et de /. 11 en est de même de chacun des termes de la série.
Cependant si l'on développe chaque terme de la série, qu'on réunisse les termes semblables, puis qu'on ordonne suivant les puissances de a. et de t, on n'obtiendra pas du tout le même développement qu'en développant directement la somme de la série.
16. Pour bien faire comprendre la façon de passer d'un développement à l'autre, je prendrai d'abord un exemple simple; je supposerai
V = X, -h ,/f -+- [x cos )i .
On voit tout de suite que Xj doit être une constante puisque -r— est nul. On a donc
.1; = G — jX COSJ'i
et l'on en lire
J ?YG — iJL cosj']
On voit ainsi que x,, cosyt et sinj'i sont des fonctions doublement périodiques de l + h. L'une des périodes que j'appellerai '.) est réelle, l'autre que j appellerai I'jj' est purement imaginaire.
SUR LA FAÇON DE GROUPER LES TERMES DES SÉRIES TRIGONOMETRIQUES. 5Sl
La l'onction Xi, par exemple, élanl périodique de période o) sera développable par la formule de Fourier suivant les sinus et cosinus des multiples
de ^^^- Le développement sera valable pour toutes les valeurs réelles de t.
D'autre part, cette fonction x, admettant la période iw' sera développable par celle même formule de Fourier suivant les sinus et cosinus des multiples
de -Ar ou, ce qui revient au même, suivant les puissances des exponen-
tielles e "'' et e "' . Ce développement nouveau ne sera plus valable pour toutes les valeurs réelles de t, mais seulement pour les valeurs comprises entre t„ et ^ij+o); entre les valeurs <„+w et io+ao), ou entre les valeurs t,i-\-2M et ^1 4- 3 'i). .... il faudrait le remplacer par d'autres développements de même forme.
Et bien, le premier de ces dèveloppemenis correspond aux séries (.'!) et le second aux séries ( i.)).
La théorie des fonctions doublement périodiques nous enseigne plusieurs moyens de passer de l'un a l'autrr.
La méthode de Delaunay conduit à des équations analogues à celU- que nous venons de traiter, quand on ne conserve dans la fonction perturbatrice qu'un seul terme périodique.
17. Dans le cas général, on peut donner des quatre variables x, et y, des développements d'où l'on peut tirer facilcmrnt d'une parties séries (ii), d'autre part les séries ( i.'5).
Les quantités Xi, x.,, cosj'i, sinj-,, cos) ;., siu i ■> seront développées suivant les puissances de /j., du produit AA' et de la différence C — C„ qui joueront le rôle de constantes d'intégration. Chaque coefficient de ce développement sera lui-même développé en série dont les dill'érents termes seront le produit de deux facteurs.
Le premier de ces facteurs sera le cosinus ou le sinus d'un multiple d'un certain argument \V.
Le second facteur sera une fonction doublement périodique d'un second argument W.
Les deux arguments W et W seront des fonctions linéaires du temps.
On aura
W = N/-MI, W'=N'<-t-Il'.
Il l'i 11' st'ronl des coivstanlcs d'iiilégniiion. Nous pourrons donner à i\' une valeur arbitraire.
J'appellerai w el j'ii'ies périodes de la fonclion périodique considérée comme
fonction de W; de sorte que ses périodes seront^ et -^ quand on la regardera
comme fonction de t. Ces périodes seront d'ailleurs les mêmes pour tous les termes.
Les quantités \, ^, ^ seront dcveloppables suivant les puissances de.uL, AA', C — C„.
De ce développement, on pourra facilement passer aux séries (3). Il suffira pour cela de développer chaque fonction doublement périodique suivant les
cosinus et sinus des multiples de — ^ On aura alors des séries procédant
2 - W suivant les cosinus el sinus des multiples des deux arguments ^\ et j ou,
ce qui revient au même, des multiples des deux arguments
ii-j = «1 i -+- roi. (Il = «2^ -I- ro.>.
si l'on suppose
W = /'i ll'i -I- ri H'.,, W = rj, 1V| -+- q- ii'j,
(/i, q.,. i\, r-, étant les quain" entiers définis au n" 10. Ou a alors
.\ = /'i n, -f- riii-i, 11 = /'iro, + /-«ro-i,
N'= i^i «, -)- (y,^,, n'= <7irai H- ^2'32.
Ou retrouve ainsi les séries (3) en regardant AA' et G — G,, comme des fonctions des constantes c, et z.^.
De ce même développement, on peut passer tout aussi facilement aux séries {\'.\). Dévi'lo|)|ions, en effet, chaque fonction doublement périodique
■) — W suivant le-, sinus et cosinus des iiiultlples de "" ? , ou suivant les puissances
des exponentielles e '"' .
On retrouvera les séries ( i.i) en posant
-j: = ^^, a = v''.\.\'e '"' , ..\'= v/AA'e "■.
On me pardonnera la longueur de cet exposé. Bien qu'il ne nous apprenne rien d'essentiellement nouveau, j'ai pensé qu'il ne serait pas inutile de montrer comment se rattachent les unes aux autres les diverses séries auxquelles nous conduisent d'une façon qui paraît d'abord tout à fait indépendante les différentes théories proposées.
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN
Comptes reririus dp C Acnâèrnip des Sciences, t. 138, p. nSS-gôS (rS avril 190 i
Dans un Ouvrage iniitulé Nouvelles recherches sur les si'-ries employées dans les théories des planètes (Stockholm. im|irinieric contralo, 1892), Gjldéu a exposé deux mélhodcs qu'il appelle horisticjues ; la première do ces méthodes soulève d'assez graves objections: M. Backlund et moi, nous avons montré qu'elle conduisait, dans certains cas, à des résultats inadmissibles et qu'on ne devait l'employerqu'avec circonspection (Cf. C . R. Acad. Se, t. 132, p. ôo et 291; Bull, astr., t. I!), p. 4)>)(')- J'ai pensé, en conséquence, qu'il y avait lieu d'examiner de plus près la seconde de ces méthodes et de la soumettre à la discussion. Rappelons d'abord en quelques mots en quoi elle consiste.
Gjldén considère (loc. cit., p. 22- etsuiv.) l'équation suivante :
Le coefficient de :;que Gyldén appelle Z est une constante, du moins dans la partie de l'Ouvrage que je cite (p. 227 à 2?)/{); je jiuis donc prendre les unités de façon à le réduire à i .
Nous avons
X=— 2A„cosG„, G„= 2X„i^ -I- B„;
les An, B„, /„ ont des valeurs ronslantes données et 2}.,, est voisin de 1 .
( ' ) Le prcniiei' de ces ;irtii-lL's lii:ure au 'l'tune NUI des ('//\ui'rrs. les deux autres sont de Backlund.
à84 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN
Gjldén pose
'J; et )• étant délinis par les équations
^' . >^,,/..,. ,,AV. 'l '^^ ^0-
dv'-
Nous appelons v'- une eonstanle choisie de telle sorte que ^\ soit une série Irigonoiuétrique; et nous devons intégrer (2) et (3) en faisant d'abord '^=^0 dans les seconds membres, puis à la deuxième approximation, en remplaçant, dans ces seconds membres, i| par la valeur trouvée en première approximation, et ainsi de suite.
On trouve ainsi :
(4) y=Sa;„cosG„, ,r„ = -— " „,
et ensuite
(5) .'-=fv-"' ^=i:4(xit:^i....-(^--^^^
La seconde équation (4) et la première équation (5) permettent de calculer les X et v'- et donnent pour ces quantités des valeurs limitées.
Il est évident qu'on n'a le droit d'opérer ainsi qu'à la condition que les
termes négligés dans les seconds membres de (2) et ( j) soient plus petits que
ceux dont on tient compte. Or, nous avons, dans le second membre de (2), un
terme pour lequel il peut y avoir doule et qu'il convient de discuter; c'est le
dh dy terme 2-7- -7-; on trouve dv dv'
Nous ne retiendrons que les termes critiques, c'est-à-dire ceux o\x le coefficient de i' est voisin de i . 11 suffit pour cela de prendre
(1,+ Gy — G„ ou G; — Gy-+-G/i.
Soient a une quantité de l'ordre de A„, etcr une quantité de l'ordre de 2^„ — i . Deux cas sont à distinguer : ou bien c' est grand par rapport à ^01.-, et alors x
est de l'ordre - et v- de celui de -^^ > et le terme général de (6) est, au plus, de l'ordre de
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. 585
généralement petit par rapport à x ot même, dans certains cas, par rapport à a; dans ces cas, la méthode horistique est applicable, mais alors elle est inutile, puisque le terme dit horistique v- est très petit par rapport à ^'K\ — i . Ou bien a^ est petit par rapport à (3(z^, ou est du même ordre; alors x est de
l'ordredet /s; le terme général de (6) est alors (si l'on prend >,H-^/,G,+ G,— G„)
de l'ordre de ^x'' = a.
11 est donc de même ordre que X, c'est-à-dire que les termes dont on lient compte.
Si nous supposons que X se réduit à un seul terme — AcosG, et que nous supposions fj négligeabli' devant c^ ; il vient
i' = :j;cosG, -r: = T, — ;> v"-=-x-,
•il = ^^ cos 2 G, -T- = — c sin G, — i- = — : sin 2 G,
i ' dv dv 1
