r- -^ = Sa;-' sin 2 G sin G = A (cos 3 G — cos G). dv dv

Il n'y a pas à retenir le terme en cosoG qui n'est pas critique; mais le terme — A cos G est critique et l'on n'a pas le droit de le négliger, puisqu'il est juste égal au terme conservé X.

Dans le cas où X se réduit à un seul terme, la méthode horistique convenablement modifiée est légitime, Jion pas pour la recherche de la solution générale de l'équation ( i), mais pour celle d'une solution particulière qui est celle que j'appelle solution périodique. Cette méthode correctement appliquée donne

tandis que la formule de Gjldén donne

7 = ^/^ cos G.

L'erreur de Gyldén est d'autant plus singulière qu'il a lui-même traité le cas où X se réduit à un seul terme, par des formules qui deviennent exactes quand on veut se borner à la solution périodique.

Ce n'est pas méconnaître les services éminents que Gjldén a rendus à la Science, que de signaler les erreurs qu'il a pu commettre et qui pourraient

"iSO SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN.

iromper ses successeurs; je crois que c'est, au contraire, rendre service à sa mémoire; aussi ne craias-je pas de formuler nellemenl ma conclusion.

Ceux qui \oudront appliquer la uiélhode horislique risquent d'arriver à des résultats fantastiques; il y a des cn>? où elle peut être inoflTen.sive; il n'y en a pas oii elle peut être utile.

On voit, a fortiori, combien est vaine l'illusion des personnes qui esjièrent tirer de la méthode horislique des développements uniformément convergents au sens géométrique du mol.

Quant à la conclusion finale de l'Ouvrage, à savoir que les termes d'ordre rdevé de la fonction perturbatrice ne peuvent jamais produire de libralion, elle est manifestement fausse.

SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN

Acla Afathematica, t. 29, p. 235-2-1 f i3 mars iQoâ).

Introduction.

Gild('<n a rendu de très grands services à la Science; il a créé un certain nombre de méthodes nouvelles qui ont pu être appliquées avec succès et dans certains cas substituées avec avantage aux anciens procédés. La plupart des méthodes qu'il a proposées dans ses premiers écrits étaient correctes; Harzer et Ih-endel en ont tiré une théorie des petites planètes. Ces méthodes, à la vérité, n'étaient pas sans inconvénient, elles donnaient lieu à une foule de complications inutiles ; au lieu do prendre le temps pour variable indépendante, elles prennent la longilude vraie, ou des variables auxiliaires peu diflérenles de celte longitude, elles introduisent une foule de variables parasites et encombrantes. Il en résulte que les équations perdent leur forme canonique, et que, si l'on veut simplement écrire |)ar exemple l'équation des forces vives, il faut se livrer à des calculs interminables. J'estime donc que ces méthodes, quelque intéressantes qu'elles aient été autrefois, n'ont plus aujourd'hui qu'un intérêt historique, et qu'on ne saurait plus en recommander l'emploi, parce que maintenant il }■ en a d'autres, comme par exemple celles de Hill et de Brown qui ont les mêmes avantages sans avoir les mêmes inconvénients.

Plus lard Gjldén est entré dans une vole nouvelle et a abouti à des résultats qu'il a rassemblés dans son Ouvrage Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, Stockholm, 1892. Moins heureux que dans ses premiers travaux, il s'est cette fois complètement trompé.

588 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE CYLDÉN.

GonsidôroQS une éi[ualion tlilîérenlielle quelconque, taisons passer certains termes dans le premier membre, d'autres dans le deuxième. En première approximation, nous rem|)lacerons dans le deuxième membre les fonctions inconnues par zéro et nous intégrerons les équations ainsi obtenues; en deuxième approximation nous remplacerons dans le deuxième membre les fonctions inconnues parleurs valeurs de première approximation, et ainsi de suite. Tel est le principe fondamental des nouvelles méthodes d'approximation de Gjldéu, comme des anciennes, et nous le retrouverons partout.

Ce principe est légitime, mais à une condition, c'est que les termes relégués dans le deuxième membre et négligés en première approximation soient notablement plus petits ou moins importants que les termes conservés dans le premier membre. Sans cela, il est clair que le développement ne sera pas convergent. Nous aurons donc à examiner si l'analyse de Gjldén satisfait à cette condition.

On sait que dans les méthodes ordinaires de la Mécanique céleste, on voit s'introduire ce qu'on appelle de petits diviseurs, de sorte (jue le coefficient de

certains termes prend la forme -^,^ p étant très petit, et deviennent infinis quand

p s'annule. Gjldén s'eflbrce de prou\er qu'un calcul plus exact doit donner

'- — , V étant une quautilé qui ne s'annule pas, de sorte que le coefficient ne

devient pas infini et reste même très petit. C'est ce qu'il appelle la méthode horistique, ainsi nommée d'un mot grec d'où vient également horizon. Il cherche à tirer de là diverses conséquences :

i" Que les séries obtenues en Mécanique céleste sont convergentes si l'on tient compte des termes horistiques.

2" Que les termes d'ordre élevé de la fonction pertnibatrice ne sauraient donner lieu au phénomène connu sous le nom de libration.

Ces conséquences sont manifestement fausses; mais j'ai cru longtemps que l'erreur provenait simplement de ce que Gjldén ne se doutait pas de ce que les géomètres appellent une série convergente et des précautions minutieuses qu'il faut prendre dans une déniousiration de convergence.

Je croyais que, si Gjldén est protégé contre la critique par son obscurité même, cette obscurité empêcherait également qu'on cliorcliàt à appliquer ses méthodes qui deviendraient ainsi inolTensives et tombeinient dans l'oubli après sa mort.

SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. àSg

Je me trompais : d'abord ses erreurs commencent, comme nous le verrons bientôt, dès le début de sou analyse; on ne peut donc le prendre pour guide, non seulement pour démontrer la convergence des développements, mais même pour eu calculer approximativement les premiers termes. De plus, certaines personnes ont voulu appliquer ces méthodes à des problèmes pratiques, et elles ont été naturellement conduites à l'erreur. D'autres entrepris les affirmations de Gjldén sur la convergence des séries et les ont présentées comme des vérités établies.

Il devenait donc nécessaire d'analyser dans ses détails l'Ouvrage cité Nouvelles recherches... et d'en discuter les conclusions. C'est là l'objet du présent travail, nous suivrons pas à ipas l'Ouvrage de Gyldén et nous en examinerons successivement chaque Chapitre.

J'aurais voulu conserver les notations de Gyldén; mais elles sont tellement compliquées et tellement changeantes que je n'en ai pas eu le courage. Je donne cependant des indications suffisantes pour que l'on puisse passer facilement d'une notation à l'autre.

Dans les citations, quand je renvoie à une page ou à un paragraphe désigné par le signe § ou n" suivi d'un numéro, il faut entendre la page ou le paragraphe de l'Ouvrage de Gyldén, Nouvelles recherches... Quand je renvoie à un paragraphe en écrivant le mot paragraphe en toutes lettres, il s'agit d'un paragraphe du présent travail. Enfin quand je renvoie à mon Ouvrage, Les Méthodes poubelles de la Mécanùfue céleste., Paris, Gauthier-Viilars, j'écris simplement Méthodes nouvelles.