II. — Analyse du Chapitre premier

Le Chapitre premier est consacré à l'équation

( I ) -^ -H ( , a) p — [îp' = - Y cos V.

Gyldén applique à cette équatiou quatre méthodes différentes dont une fondée sur l'emploi des coefficients indéterminés et trois sur l'emploi des fonctions elliptiques.

Mais avant d'aller plus loin, disons quels sont les résultats qui sont démontrés au sujet de cette équation et que Gyldén aurait dû retrouver. Si l'on applique à ré({uation( i ) la méthode de la variation des constantes arbitraires de Lagrange

D90 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÊN.

en regardant p el y comme des quanliti^s très petites, on obtient une série procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de deux arguments

1' V 1 — '■'■-*- const.

oi suivant les puissances de r; cette série où v ligure eu dehors des signes Irigonométriques est convergente pourvu que c soit suffisamment petit. Je l'appellerai la série S.

Le ternie général de la série S est donc de la forme Ar"' cos{pv + qw-\-h). Si nous réunissons tous les termes de la série S qui contiennent en facteur une des lignes trigonométii(jues d'un même arc/)i' + ^ir, ou peut en faire la somme, el celle somme a pour valeur Acos (/'c -|- y/'+ A), oùy est un nouvel argument de la forme

3- étant une nouvelle constante donnée et £ une constante arbitraire d'intégration. En groupant les termes de cette manière, on obtient une nouvelle série S) procédant suivant les sinus el les cosinus des multiples des deux arguments c et f, et ne conlenaui pas p en dehors des signes Irigonométriques. Cette nouvelle série Si est divergente, au sens que les mathématiciens attachent à ce mot; elle peut néanmoins être employée dans un butpratique pourvu quece soilavec circonspection. Elle peut donner une valeur approchée de la fonction inconnue, si l'on s'arrête à un certain terme.

Cette série S| dépend de deux constantes arliitraires ; la première est £, et figure dans/: la deuxième peut être choisie de bien des manières ; à l'exemple de Gyldén nous prendrons le coefficient du terme en cos /' et nous l'appellerons ■/.. Si l'on fait x=;o, tous les termes dépendant de /' disparaissent; la série Si ne contient plus que l'argument c, elle ne dépend plus de la constante £ ; grâce à cette réduction, la série S, devient convergente. C'est la solution périodique.

Supposons que la constante z ne soit pas nulle, mais tiés petite el négligeons les termes en x^, nous trouvons ainsi

f. = H -+- -/.Il 1 siii /' +- /. II.; siii /',

où H indépendant de x représente la solution périodique que nous venons de fléfinir et où H, Hi, Ho sont développables suivant les sinus el cosinus des multiples de l'argument unique v. Cette série représente les solutions très voisines de la solution périodique (cf. Méthodes nouvelles, Chap. IV) ; elle est convergente ; je l'appellerai Sj.

SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. J9I

Dans les diti'Hieiils leriues de S el de Si ligiirent ce que l'im appelle de petits diviseurs iairoduils par l'intégration. Parmi eux nuus distinguerons le petit diviseur y. qui s'introduit dans la sorie S quand on intégre un terme en w + «(iv — i')et qu'on retrouve dans la série Si déduite de S. Parmi les termes de S(, conservons seulement ceux qui contiennent a au dénominateur à la même puissance que ,5 ou ■; au numérateur. L'ensemble de ces ternies formera une nouvelle série S;,; cette série sera con.'.'ev^ente. C'est celle à laquelle conduit la m'uhode de Delaunay. Comment se fait-il cjue la série S;, étant convergente, la série Si soit néanmoins divergente; c'est à cause delà |)résence des petits diviseurs autres (jue a ; mais comme ces petits diviseurs ne se rencontrent que dans des termes d'ordre élevé, la série convergente S , nous donnera une valeur approchée de la fonction inconnue pourvu qu'on ne veuille pas l'appliquer pendant un intervalle de temps trop long; c'est là ce qui fait la légitimité de la méthode de Delaiinav.

Tels sont les résultats qui sont vrais de l'équation ( i ) comme des équations générales du problème des trois corps et des équations analogues.

Voyons maintenant ce qu'a fait Gjldén; il cherche à satisfaire à l'équation

en posant

p = /. cos / -f- zi cos !■ -+- H

et de façon que U soit petit par rapport aux deux autres termes. 11 désigne par -(R-) la partie constante de K-, d'où il résulte que (K^) est petit et positif et il arrive aux é(|uati()ns suivantes [éi|uations (4 I de la page io| :

— a-i- -jix;— ;- ;5[z^-l-zï-l-(H-j] =— • ■ 4 2 /-i

Remarquons pour comparer ces équations à celles de Gyldén, que c, j3, o' et i représentent ici les 3,, (3:,, i — Ç et i — cr de Gjldén.

Ces équations sont-elles exactes: il suffit pour le voir de les comparer à la série convergente Sj définie plus haut et que nous savons former.

Soit d'abord x =; o : dans ce cas la série Si ou Sj se réduit à celle qui définit la solution périodique: le terme le plus gros est le terme

p = /., COSl'.

Alors les conclusions de Gyldén sont exactes et l'on trouve bien

ôgî. SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE CYLDÉN.

ce qui est conforme à l'équation (2), puisque x est uul el R 1res petit. Cette équation (3) limite bien la valeur de xi comme tiyldén l'a remarqué, et c'est celte remarque qui a été l'origine de tout son travail, où il a vainement cherché à la généraliser. On voit l'inlluence du terme en [3p'', el une comparaison physique la fera mieux comprendre. Si ce terme n'existait pas, l'équation (i ) définirait le mouvement d'un pendule rigoureusement isochrone qui oscillerait sous l'influence d'une force périodique y cosc. Si cette force se trouve en résonance avec la période propre du pendule, les oscillations pourront devenir très grandes. Grâce à l'addition de ce terme, le jiendule n'est plus rigoureusement isochrone; s'il y a résonance pour les oscillations infiniment petites, l'amplitude croîtra d'abord, mais quand elle sera plus grande, la période propre du pendule ne sera plus la même, la résonance disparaîtra el l'amplitude cessera de croître. Les constructeurs de navires ont souvent employé un artifice analogue.

Si nous supposons au contraire y et xi nuls, l'équation (1) s'intègre très aisément par les fonctions elliptiques, on pourrait alors former aisément la première équation (2) en y faisant x, = o et négligeant R, qui est en eflel négligeable si X est petit. On reconnaîtrait ici encore que la formule de Gyldén est exacte. Observons que dans ces deux cas, il n'y a dans p qu'un seul argument, 'i' dans le premier cas, /"dans le deuxième.

Supposons maintenant que /. ne soit pas nul, mais très petit. Quelle devrait être d'après Gyldén la valeur de (T?Si x est très petit, il en sera de même de R. On aura donc

( 2 bis) c= = 1 — a — - Px; .

Cherchons maintenant la vraie valeur de tr. Soit p^ la solution périodique; et p=pj,-|-e; dans ce cas p„ est indépendant de x et £ est de l'ordre dex; nous pouvons donc négliger s-, ce qui donne

-^-l-(i-«-3[ip§)£ = o el comme p„ est sensiblement égal à xi cost», cela fait

d'i I ^ rj •. 3 ,^ „ \

-!— -H ( I — a tJx^ [ixf C0S2 f ) £ = o

dv^ \ 2 ' 2 ' /

OU

SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE CYLDÉN. ôgS

en posant

C'esl là une équation qui a fait l'objet de travaux très nombreux que j'ai résumés dans le Chapitre XVII des Méthodes nouvelles.

Soit £ ^ F('^) 1^ solution de l'équation (4) qui se réduit à i et dont la dérivée se réduit à zéro pour (' = o; on aura

cosa- = F(-).

Développons F(p) suivant les puissances croissantes do </i el de i — q- =7, il viendra

F(r) = cosc -1- ( - H- ^,' ) i' sin c -t- ^(cosc — cos3i') -H Ui,

OÙ R| contiendra les termes dépendant des puissances plus élevées de t et de (ji ; parmi ces termes, nous ne conserverons que ceux qui dépendent des secondes puissances, el qui ne s'annulent pas pour c = ;:. Or nous aurons des termes en (^sinc, en (cosr — cosSc), en (cost* — cos5i), en c-cosr; nous n'avons à nous occuper que des derniers qui sont les seuls qui ne s'annulent pas pour < ^ TT. Or Ri est donné par l'équation

—7— — h H I = ( T -H f/ 1 cos 2 (■ ) ( — h -' ) p sin r -I- -'; ( cos v — cos 3c)dv- L V-J 1 / ib' J

Nous pouvons négliger le terme en cost' — cosSc qui ne peut nous donner un terme en r^cosc. D'autre part

(x + ^1 COilv) V siii c = ( - — ) ''

'/l sni 1' -I- , i' siii 0 r,

oïl le premier terme seul peut nous donner un terme en i-cosc; il nous suffira donc d'écrire

,li--'

--l^-Hh

d'où

en n'exprimant que le terme en r'-cosc. Il vient donc

Or

cos a:t = — I H •