II. r. — VII

594 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN.

Il reste donc

La lormule de Gyldéu donnerait

(l-cî)-= "V = i.(«=-t-3:<px; + ^f3=x}).

Avec la formule de Gyldén, a est toujours réel; avec la vraie formule, c peut devenir imaginaire, el c'est ce (|ui arrive par exemple si a est positif, (3 négatif et assez grand. Les différences peuvent être tout à fait énormes; elles ne peuvent s'expliquer par l'intluence du terme en (R-) qui non seulement devrait être très petit, mais serait toujours de même signe et, étant toujours réel, donnerait toujours pour i — a une valeur réelle.

Cherchons d'ailleurs le terme principal de \\. Un calcul simple nous donne en négligeant les carrés de t et de cji el en posant (7=: i — 5 :

■ Xi COS f + X OOS/ -I- Y. COS( / — 2 (■•) -^

V^2T — q, ■+- s/'ïT-^q,

ce qui nous donne la valeur de R ; le terme le plus important de R, c'est en effet le terme en cos (f — 2 c). Le rapport du terme en cos (f — 21') au terme en cosy

\^'i'—Qi — V '■'-' + '/i /> I , 11. ■ 1

est -J— Ur le numérateur et le dénominateur sont du même

^1- — qi -H Vît + fyi

ordre de grandeur; donc R n'est pas négligeable devant p,,.

Le seul cas où R serait négligeable devant pn, serait celui où qi serait négligeable devant 7, c'est-à-dire (3x'; devant a: c'est-à-dire celui où la considération du terme en [îp'' est inutile, où les méthodes ordinaires suffisent, où celle de Gyldén est sans objet.

Gjldéa dit page 17 que R reste même dans les cas exceptionnels de l'ordre de pn (c'est-à-dire de xcosy+/i cosc), mais qu'elle devient très petite dans les cas ordinaires, à savoir lorsque la valeur absolue de w est sensiblement plus grande que l'unité [c'est-à-dire lorsque les trois racines de l'équalion (3) différent sensilîlement l'une de l'autre]. On peut se demander ce qu'il entend par sensiblement. Quand il dit que j o) | est sensiblement >i, veut-il dire que I « I — I par exemple n'est pas très petit, ou que 1 00 j est très grand ?

Dans le premier cas, il se trompe, nous venons de voir que R est du même

ordre de grandeur que p,, pour tontes les valeurs ih^ -^ c'est-à-dire pour toutes

les valeurs de w, sauf pour les très petites valeurs de

SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. SgS

Dans le deuiième cas, ce qu'il dit est exact, car si '>> esl liés grand, ~ est 1res petit, mais si ^r est très petit, l'emploi de la méthode n'a plus, comme nous

l'avons dit, aucune raison d'être.

Il semble bien d'ailleurs que sa pensée doit être interprétée de la première manière. Il sait trop bien le français pour avoir employé une expression impropre et le contexte semble plutôt favorable à celte inlerprétation.

Est-il vrai du moins que R ne peut jamais être très grand par rapport aux termes conservés de o ? Oui, si l'on suppose ■/. 1res petit, car alors nous avons

i = ■/-! cos t' -H X. nos/ + ■/.' cos ( /" — a p )

et nous avons donné l'expression du coefficient /.' : c'est le dernier terme qui représente R. Si nous posons

cette équation devient

s = ■/.! ros (.' -I- z' cos/'-t- ■/. cos(/' — a c).

On retombe donc sur une expression de méuie forme, mais où le rôle des coefficients X et x' est interverti. On peut donc indifféremment prendre / ou •/.' pour le coefficient du tonne princi|)al, ou pour celui de R; si l'on convient de reg irder toujours le plus grand des deux comme repré.senlant le terme principal, on sera certain que R ne pourra devenir très grand.

Aurait-on la même liberté si x n'étant plus très petit, on devait tenir compte des puissances supérieures de x ? ( )u aurait alors des termes en 2/ — 3 r, 2/ — r, etc., et si le coefficient de l'un de ces termes devenait très grand on ne pourrait plus employer le même artifice. Nous verrons plus loin que cela peut fort bien arriver.