II. — Équilibre de bifurcation

Considérons d'abord le cas où il s'agit d'un équilibre absolu et d'un système dont la position est définie par n quantités x^^ x^. . . ., x„. Supposons qu'il y ait une fonction des forces F(:ri, x-2, . . . , x,,) de façon que l'équilibre ait lieu quand toutes les dérivées de celte fonction s'annulent et qu'il soit stable quand cette fonction est maximum. Je supposerai qu'outre les quantités Xi, Xo, .. ., Xn, il entre dans la fonction F un paramètre variable y, de telle sorte que les" valeurs des x qui correspondent à l'équilibre dépendent de ce paramètre j'.

Supposons que y ait une valeur déterminée; les équations d'équilibre :

dxi dxi ' ' ' dxn

auront un certain nombre de racines; quand on fera varier y^ (si P' est une fonction holomorphe des x et des >', ce que nous supposerons d'abord), ces racines varieront d'une manière continue. Nous aurons ainsi un certain nombre de séries linéaires de racines :

.ri = ?ii(/), 2-2= 9/c2(.k), ..., ar„ =(?<•„ (7).

Dans chacune de ces séries linéaires, x,, x-i, ...^Xn sont des fonctions continues du paramètre y. Pour certaines valeurs de y, deux ou plusieurs racines peuvent se confondre. Quelle est la condition pour qu'il en soit ainsi ?

boit A le déterminant (onclionnel des n dérivées —, — -, -7—1 ■■■i—, — par

ax\ dxi ax„ '

rapport aux n vari;ibles Xi. x^, • . -jX,,, ou, en d'autres termes, le hessien de

{') Œuvres de H. Poincaré, ce Tome, p. 17.

la fonction F par rappori à ces n vai'ial)les. La condition nécessaire et suffisante pour que deux ou plusieurs racines se confondent, c'est que A soit nul.

Supposons que pour une certaine valeur a de r, pour laquelle \ s'annule, p racines des équations (i) viennent à se confondre, ou en d'autres termes, qu'une même racine appartienne à la fois à p séries linéaires. Parmi les p racines qui appartiennent à cesyj séries linéaires, il j en aura 2^ qui seront imaj^inaires et /> — 2q qui seront réelles pour j)- < a ; il j en aura d'outre part 2 ;• qui seront imaginaires et/> — 2/' qui seront réelles pour^>- y..

Si/? = 2, <jr = /■:= o, les racines des deux séries linéaires sont réelles, et l'on a ainsi une racine c|ui appartient à la fois à deux séries réelles.

.Si /> = 2, (yf ^ o, /= I , les racines sont toutes deux réelles pour j- < a, et toutes deux imaginaires pour j' >■ a. Quand j)' en croissant atteint et dépasse la valeur a, deux racines réelles se confondent, puis deviennent imaginaires.

Si /> =: 3, ^ = /■ := I , il y a pour y ■< « et pour j' > a, une racine réelle et deux imaginaires, de sorte que la racine qui correspond à j' = a n'appartient qu'à une seule série réelle. Mais il est aisé de voir dans ce cas que A s'annule sans changer de signe.

Il est inutile de citer d'autres cas particuliers, j'arrive tout de suite au résultat général que j'ai en vue. Soit

(2) •'■1= 9lO'). ^2=92(7), •••, Xn=^n{y)

une série linéaire de racines; tpi, cp», . . . , <p„ étant des fonctions continues et uniformes de j'. Supposons de plus que pour les valeurs de y voisines de a, qu'elles soient inférieures ou supérieures à cette quantité, les fondions cp,, 9.,, ..., On restent réelles. Si l'on substitue dans A(.ri, a;.), . . . , :r„ ; r), 0\, 92, ...,0n à la place de x^,.x-2, ■■■, Xn, cette fonction A ne dépendra plus que de y. Je suppose que pour j' = a, la fonction A(j') change de signe. Je dis alors que la racine 91 (a), 90(0:), . . . , o„(s£) appartiendra non seulement à la série (2) mais à une autre série linéaire de racines réelles.

Avant de démontrer ce résultat général, donnons quelques exemples. Soit

Y ■= kx\+ -xl — y'^X', — a.rx-.

Il vient pour les équations d'équilibre :

iCi = o, .Tî = zh />•■- -t- X T ; d'où

A = 1 A ^2 = =h 4 '^ vO" + ^y-

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 45

Pour les valeurs de y comprises cnlre zéro et — a les valeurs de x-2 sont imaginaires; elles sont réelles pour les autres valeurs de y. Pour y^o, et pour y = — <x, les racines passent du réel à l'imaginaire ou réciproquement; c'est aussi pour ces mêmes valeurs que A s'annule.

Faisons en particulier : ar=o; il y aura deux séries linéaires de positions d'équilibre :

(2) Xi=0, .i-2=7

et

(3) ^1 = 0, Xi = — y.

Considérons la première de ces séries; pour chacune des positions qui lui appartiennent on aura

A = 4 Av.

Quand y variera depuis — oo jusqu'à + oo , les valeurs de x, et de x» resteront réelles, mais quand y passera par zéro, A cliangera de signe. Donc en vertu du principe que je viens d'énoncer, la position d'équilibre qui correspond à la valeur jK^ G, c'est-à-dire

Xi = O, X-i = o,

appartiendra non seulemenl. à la série (a), mais encore à une autre série linéaire de positions d'équilibre. Il est aisé en effet de constater qu'elle appartient également à la série (3).

Soit maintenant