IV. — Emploi des fonctions elliptiques
Dans le ^; 2, Gyldén appli(jue une seconde méthode, fondée sur l'emploi des fonctions elliptiques; nous allons voir qu'elle ne; dilTère pas de la méthode de Delaunav et qu'elle permet par conséquent d'obtenir correctement une première approximation. Nous verrons ensuite l'usage que Gyldén cherche à en faire pour les approximations suivantes.
Posons
f, = g(i'^-\- he-''', Y cos (• = f (e''' ■+- 'i-'").
Substituons dans l'équation ( i) et égalons dans les deux membres les coefficients de <?"* et e^"'. Nous aurions aussi (i(!s termes en e^'"', mais nous ne
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. 597
nous en occupons pas parce qu'ils ne sauraient donner naissance à de petits diviseurs. INÎous obtenons ainsi les deux équations
(5) ,^"-<-2(y= 2^ + 3;i^2/i— J^, h"~2i/i'^xh-h'ipff/r-—l,
où g', g" désignent les dérivées successives de g par rapport à c.
Dans g et h nous ne conserverons que les termes à longue période qui seuls peuvent donner lieu à de petits diviseurs; mais alors nous pouvons négliger^" et A" devant »' et /«', et il reste
(6) 2îy= 7.^-1- 3[i^-^/i — J, — 2ï7t'= :</( -hîTié'/iS— X.
da d~t
dF
dv
dV
Multiplions par /;', et g' , ajoutons et intégrons, il viendra
(7) ^gh-^ -?^-^Aî— ;^(/(+^) = const.
On peut ensuite achever l'intégration par les fonctions elliptiques. Telle est, aux notations prés, la deuxième méthode de Gyldén. Comparons avec la méthode de Delaunay. Posons
F= i(p"^+p'-)— %^- ^p'-t-Ypcosf' + «,
p' désignant la dérivée de p par rapport à i', et u une variable auxiliaire. L'équation (i) peut être remplacée par les équations canoniques
-^ =— -^ =(i a)p + [îip^— vcosc;
dt ~ 'dïi~ ' lit ~~' ~dv'
Posons p = ^2^cos'j), p'^ ^2^sinti); d'où
F=Çh-;< — y.\ cos- co — [î |- cos* to -+- v y's Ç cos v cos 0),
les équations conserveront avec les variables ^, w ( t c, u la forme canonique. Si, conformément à la méthode de Delaunaj, nous ne conservons que les termes à longue période; si par conséquent nous laissons de côté les lermes en C0S2W, cos4w, cos((' — co), il restera
F = f -+- (^ — - ? — 3 p|2+ I .. ^/^ cos(c ^ 0)). 2 8 2
Soit
il viendra
(9) F = L E — - SE-+ -v v^coss
')98 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN.
el les équations, devant rosier canonujiies, deviendiont
de
dF
dt ~ dl "
dt
,h dF
</: dF
dt "~ f /; ~ ' ■
dt ~ di>
'Bf -■■'="'
Si nous posons
on retombera sur les équations (6), d'où il suit que la deuxième méthode de Gjldon, étant identique à celle de Delannaj, nous donne une première approximation correcte.
Un voit sans peine que g' el h sont des ('(inclions doublement périodiques de f. On peut alors construite les équations correctes ((ui lient les quantités appelées plus haut x, /., et 7; ces équations sont transcendantes et elles n'ont par conséquent aucun rapport avec les équations (2). A ce point de vue les conclusions du § 2 sont en contradiction directe avec celles du § ! .
Dira-t-on au moins que les formules concordent quand x est très petit non seulement dune façon absolue, mais par rapport à X| ? Nous allons voir que non, et l'analvse que nous venons de donner dans le paragraphe II suffisait d'ailleurs pour que nous en fussions sûrs d'avance.
Nous allons développer g- el h suivant les puissances de x, et écrire
g- = g-„-h gt-i- ff2-h---, A = A„ -t- /m -H /ii -I- . . . .
où /;„ représente l'ensemble des termes de l'ordre de x". Nous trouvons d'abord
g,.= /,„ = const., z^'ii-t- 3 .1^2= ~ et ensuite (lo) 2ig\ = ix-h6l-i^l)gi-h:i{-is'l/i,, —■>(■/(', =(xH-6pé'5j/i,+ 3pl//5^|.
Ce sont des équations linéaires à coefficients constants; nous jiourrons y
satisfaire en posant
^i = xe-''"'', //i = x'e-'"'',
ou bien
^1 = x'e'"'', //, = zeN'''.
Ou bien encore en faisant la demi-somme de ces deux solutions particulières; on obtient ainsi
ç = ■? ga '■'<> f -t- X COS /■ -4- ■/.' CO? ( /■ — 2 f ),
avec
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. Ogcj
et en substituant dans les équations (lo), on trouve,
Mais c! + 6S o-Jj est ce que nous avons appelé plus haut z, et S^o-J est ce que nous avons appelé r/i ; il vient ainsi
x(2!; — T)= --qi/.', ■/.'(— 2^ — -) = \q\-'-;
d'où
Il et y- V2T — y,— y-i-^lj,
Ces formules sont en concordance avec les résultats du paragraphe 11 et en désaccord avec les équations (2), c'est-à-dire avec les équations de Gyldén. Cherchons encore les termes constants de ;:j^-< et lin. Nous avons
— iih'n — {:i.-k-ii\isl)S-^— 3pi'o/'2=6H^o^■l/^l-^- 'i'^^goli].
Nous cherchons seulement les parties constantes de ^2 et h^', nous devons donc faire g'.,^= h'., = o, g-2-= h^, et remplacer o'j/ti, g] et /;, par leurs parties constantes. Or nous avons
ou
1 ^. .V /. jV
, , y-ypartie constante ff[ = partie constante /(i= - )
, ■/.- + "/.'partie constante ^i/(i = ; —
Or nous allons avoir, non plus x.i = 2 go comme dans l'approximation précédente, mais
Zi = 2^0-*- 2^4-2.
Comparons avec la seconde équation (2) qui peut s'écrire
-«■/.,- ^[îv-î - -.'îy.,(x=-t- ■/.'■-)=- 7 4 ' 2 ' '
en remarquant que x'- n'est pas autre chose que ce que Gyldén appelle (R-). En première approximation, nous avons
axi + - px} = -;, X| = 2gu.
6oo SUR LA METHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN.
Soit X| = 2^o+2â, de sorle que â devrait être égal à ^j. Cela fera en
négligeant o-, ôx-, o/.'- :
OU reconnaît déjà que la formule est erronée.
