V. Discussion de la méthode précédente

Jusqu'ici les conclusions du i^ 2, d'ailleurs contradictoires avec celles du § 1, sont correctes, mais Gjldén veut pousser plus loin l'approximation et tenir compte des termes négliges. Il écrit donc les équations (avec d'autres notations)

(il) lig' — y.g — K^'i>g-h + ^- = M', — lih' — 3.h — (>'fih-g -H -^ = M',

où M' et N' représentent l'ensemble des termes d'abord négligés, et il les intégre par approximations successives.

J'aurais à faire au sujet de ses conclusions la remarque suivante. Ayant résolu correctement les équations (6), il constate qu'elles conduisent dans certains cas à des solutions asjmptotiques.

« Mais, ajoute-t-il page 67, nous verrons dans ce qui suit que la solution asjmptotique n'appartient pas à notre problème; elle est due uniquement à la manière d'aborder les approximations. . . ».

Il est évident qu'Ici Gjldén se trompe. Les équations approximatives (6) admettent un système de solutions asymptotiques et par conséquent une solution périodique pour laquelle les exposants caractéristiques sont réels et dilTérents de zéro. Si les équations approximatives admettent une solution périodique, il en sera de même des équations exactes, qui en diffèrent fort peu; car si l'on fait varier un système d'équations différentielles d'une manière continue, une solution périodique ne peut disparaître que quand l'un des exposants caractéristiques est nul, ce qui n'est pas le cas; de plus cette solution périodique aura encore des exposants caractéristiques réels, puisqu'ils différeront très peu de ceux qui correspondent aux équations (6); et l'existence des exposants caractéristiques réels entraîne celle des solutions asymplotiijues. Tous ces points sont hors de doute et je les ai établis d'une façon très simple et rigoureuse dans mes Méthodes nouvelles.

Gyldén cherche à nous donner la démonstration promise d'abord page 71, puis page nS; il ciierche d'abord à montrer qu'on peut diriger les approxi-

SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDEN. 6oi

mations de façon à ne plus rencontrer de solution asjmptolique. Pour cela il écrit les équations (i i) sous la forme suivante :

( 1 1 bis )

■■ît'fi' — (x-^ i)h — Ç)'iff/e--h i = N'— e/(,

et il intègre par approximations successives en faisant d'abord les deuxièmes membres égaux à zéro, remplaçant ensuite les inconnues dans les deuxièmes membres par les valeurs trouvées en première approximation et ainsi de suite.

Il choisit £ de façon à éviter la solution asymptolique el il se llatte de pouvoir conduire les approximations suivantes en évitant l'introduction de cette solution et en aboutissant à une série convergente.

Pour juger cette prétention, il suffit de comparer à un exemple simple.

Soit

ai>-

Nous voyons que si [3 := i , l'équation ne comporte plus de solution périodique et que (' sort des signes trigonomélriques. Croira-t-on que l'on peut échapper à cette conséquence par l'artifice qui consiste, p étant égal à i , à écrire l'équation sous la forme

■~ -t- ( I + £ ) p = COS P -H £ p ?

Nous trouvons en première approximation p = o, puis p -- — --, puis

2C0SI' . îcosc . .~ ,.

p= ) puis p= — ; — j suite manifestement divergente.

Eh bien, (jjldén fait absolument la même chose. H j a page 72 quelques lignes sur l'ordre de grandeur des quantités introduites. Ces lignes, trop concises pour être claires, tendent évidemment à prouver que la série obtenue sera convergente, ou du moins que les termes iront en diminuant.

Or cela n'est pas exact; car si nous supposons M'^N'^o, les équations (11 bis) se réduisent aux équations (6) et nous savons, Gjldén l'a démontré lui-même, que ces équations admettent des solutions asymploliques. La série en question est donc divergente, puisque si elle était convergente, ces solutions n'existeraient pas.

La série converge-t-elle dans d'autres cas ? Les deuxièmes membres de (i I bis) peuvent-ils être assez petits pour qu'il en soit ainsi? Cela n'a pas lieu,

H. p. — VII. ,6

()02 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE CYLDÉN,

nous venons de lo voir (juaiul M' el N' sonl nuls; cela nu poiii rail donc être vrai que si M' el N' doliiiisaieni les lernu-s les plus iiuporlanls de eg el de e/i. Or il esl évident ([u'il ne peut pas en cire ainsi (juels ifue soient M' el M'. Eli liien, dans le raisounemenl de Gjldén, il n'est fail aucune hypothèse sur M' el J\ (ou ce qui revient au même sur ce qu'il appelle M el N). Son raisonnement esl donc inexact.

Gyldén cherche ensuite à montrer que la solution asjmptotique ne peut pas servir de point de départ à une véritable approximation (p. 70, 199) parce que le deuxième terme du développement esl susceptible de devenir infini.

G'esl comme si l'on disait que quand a est petit, \ z n'est |)as une valeur approchée de y x + a, sous prétexte que si l'on développe suivant les puissances

de x. le deuxième terme du développement est - — el devient inlini pour /. =^ o.

Dans le § 3, Gjldén applique une nouvelle méthode qui ne diffère de la précédente que par quelques complications nouvelles. II néglige les termes M' et N' de sorte que les équations (11) se réduisent aux équations (6); nous venons de voir que ces équatii^ns s'intègrent très aisément par les fonctions elliptiques. Je n'ai pu arriver à comprendre pourquoi il aljorde ainsi par une méthode ai^proximative el compliquée un problème qu'il a lui-même résolu par une méthode rigoureuse el simple.

11 n'y a qu'un passage où il ne dit pas explicitement qu'il néglige M' et IN', c'est celui de la page gS; mais on doit remarquer qu'il y regarde W comme une fonction périodique de l'argument unique w, ce qui ne peut s'expliquer que de deux manières; ou bien s'il néglige M' el M' comme dans le reste du §, ou bien s'il réduit M' et N' aux termes — g" c^ — /'" qui sont négligés dans les équations ((i). Dans ce dernier cas, on retomberait sur les équations (12) du paragraphe suivant, sur lesquelles nous reviendrons.