VI. — Nouvelle méthode de Gyldén
Dans le § 4, Gvidén emploie encore une nouvelle méthode, fondée également sur l'emploi des fonctions elliptiques. Elle consiste à développer la solution de l'équation (1) suivant les puissances de y.
Si l'on appliquait celle méthode dans toute sa rigueur, on trouverait en première approximation, c'est-à-dire pour y = o, que p est une fonction doublement périodique de c, développable suivant les sinus et les cosinus des multiples d'un argument unique /= i' + (v, fonction linéaire de c. Dans les
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approximations siiiv;intes ou Irouverail des termes en nn> -i- rur, m et n étant des entiers quelconques.
Il s'introduirait aussi des termes séculaires où r sortirait des signes trigonométriques, mais Gyldén évite l'inlroduction de ces termes séculaires par l'artifice suivant :
Il écrit l'équation (i ) sous la forme
-T-^ -t- (l — »' ) : — 3 p'"' = — ",' COS PH-fz — «')=,
a' étant une indéterminée. Dans le deuxième membre, il substilue à la place de p, d'abord zéro, puis à la deuxième approximation la valeur de p trouvée en première approximation et plus généralement à la 7;^"'" approximation la valeur trouvée en (« — ]y'-"ic approximation. Il dispose ensuite de l'indétorminée x' à chaque approximation, de façon à faire disparaître les termes en ces/ qui lui donneraient après intégration des termes séculaires. Cet artifice est légitime.
De plus, il laisse de côté à chaque approximation les termes en wr + nw où l'entier m n'a pas la valeur ±; 1 . Ce qui justifie dans une certaine mesure celte manière de faire, c'est que les termes de la forme c + nw sont ceux où s'introduit le plus important de tous les petits diviseurs; mais on ne doit pas oublier que d'autres termes (qu'on ne rencontre pas il est vrai dans les premières approximations, mais seulement dans les suivantes), introduisent de nouveaux petits diviseurs encore plus petits, et que c'est précisément à ces petits diviseurs qu'est due la divergence des séries.
Opérer de la sorte, cela revient à déterminer g et h par les équations
(12) g" + lig' — y.g — (S'fig-li -f- - =0, II" — lilt' — 7.h — ()|î/(-^ -4- -'- = o.
Cette méthode se rapproche de celle de Delaunaj; elle n'est pas plus précise car les termes par lesquels les équations (12) différent des équations (6) ne sont pas plus grands et plus importants que les autres termes négligi's.
Il ne faudrait pas croire non plus que Ion obtient par ce procédé tous les termes en v -\- luv avec leurs coefficients exacts. En effet, il peut s'introduire à la A'"""' approximation des termes de la forme mr + «t\' (m.">i) dont la combinaison produira à la (/:-(-/))"'""' approximation un ternie v -\- mv ', si l'on néglige ces termes à la A-'""' approximation, le coefficient du terme en c -t- inv ne sera plus exact à la (A +/) )'*"'.
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Quoi qu'il cil soit les équations (12) admollent l'intégrale g' h' —3.gli pi^-/(--t- - (/( + g) = consi.
On ne peut pas en trouver l'intégrale générale; mais pour l'objet poursuivi par Gvldén, il suffit d'en connaître une solution périodique. Celle solution périodique existe et le développement correspondant converge, comme il arrive toujours pour une solution périodique.
Les développements trouvés par Gyldén dans ce § 4 sont donc bien convergents, ainsi qu'il l'annonce. Ils pourraient être très facilement obtenus par la théorie des solutions périodiques. Mais dès qu'il voudiait tenir compte des termes en me + nu', la convergence cesserait.
L'analyse de Gjldén ne nous apprend d'ailleurs rien de plus que la méthode de Delaunay. Elle n'est pas plus précise; elle n'est pas plus propre à nous renseigner sur la convergence des développements complets.
VIL — Analyse du deuxième Chapitre.
Passons au Chapitre II et au § o; Gjldén j envisage des équations plus
compliquées où figure dans le premier membre outre la dérivée seconde -t=^ >
un polynôme entier en y et -y- dont les coefficients sont des fonctions connues
de ('. Quant au deuxième membre, c'est une fonction connue de c. Toutes ces fonctions connues de v sont supposées développables en séries trigonométriques.
Gyldén commence par étudier des transformations, permettant de simplifier cette équation. Je n'expliquerai pas ici le détail de ces transformations. Il arrive page 187 à l'équation suivante :
^ -+- r, j + roj-2 + r, y= = u,
où Fi, r,, Fj, £2 sont des fonctions connues de c, toutes très petites; mais il n'énonce pas de résultats assez nets pour qu'on puisse les discuter.
A la page 142, il envisage une équation analogue, mais où Fi est très voisin de I. La discussion des transformations qu'il lui applique nous entraînerait lr.)j> loin, j'ai hâte d'arriver à ce qu'il dit page i58 d'une équation plus simple qui est son équation (Bg),
-hCh- ;i,— p3-n'')2+ %'/:'C-= '-'> V= ('~P)^"+ (1/^) (-- *' /- donnés).
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Il cherche à satisfaire à celte équation en posant
et en déterminant les V par une série d'équations qu'il appelle (47) P^ge 170 et qui sont de la forme
'^'^" -+-(i-r^,-fi3ii)v„ = Q„,
du-
Ha étant connu et H étant la partie constante de y)'-.
Laissant de côté, pour simplifier, 3 et /, ainsi que Pf et faisant (3^pour lixer les idées, nous voyons que l'équation peut s'écrire
(jjldén s'imagine qu'il obtiendra une première approximation en négligeant dans le coeflicicni de r les termes périodiques, de sorte que ce coefficient se réduise à une constante II et que l'équation (i3) devienne
(i3 6;'i) li^ + -(1-^ |l) = o.
dii-
II est important d'examiner si cela est légitime, parce que c'est le principe même de la méthode horistique.
Soit
ti = 7 COS M -H •;' C05 ( M + 0) ),
où (0 ^ CTc, (T étant petit.
L'équation (i3 bis') nous conduirait alors à une solution de la forme
; = •/. COS u -f- ■/.' COS ( « + 10 ) et alors on aurait sensiblement (à cause de la petitesse de a-)
•fl'- = 3- + I -7^ 1 = /.- -I- y.'- + i /./.' ces 0), II = /.- -t- ■/.'-.
Substituons dans les équations (i3) et (i3 bis). L'équation (i3 bis) donne
(i4) -/.{vr-^ ■/:■-) = •;, —■/ {2 a -h <j- ) + ■/.'{■/.' + y.'-) = y';
d'où Gjldén conclut que z et /.' sont limités. Mais on néglige ainsi la dillerence entre les premiers membres de (i3) et (i3 bis), c'est-à-dire
•2 -y./.' cosw = y:-/.' COS (m -i- cj 1 -+- y.- y.' eus (m — w) -1- y.'-y.cosu + y. -y. cos((< -I- 2(0).
Si (T est très petit, si y et y' sont comparables entre eux, / et /.' sont du même ordre de grandeur, ■/.-■/, z-', etc. sont comparables à y et les termes négligés sont de l'ordre de 12, c'est-à-dire des termes conservés.
6o6 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE CYLDÉN.
Du reste ou inonlre cela d'iiue fai;oa plus frnppaule en raisonnant comme il suit :
Faisons (J^ G, vr=y'; les deux équations (i4) ajoutées donnent
■)•/.■'= •;- = 2x'-'= ■;', (■/. -t- ■/.' )' = .'ly.
Mais si a = o, les deux termes de iî se conlondenl en un seul et l'on a £2 =: aycosu, d'où par la première équation (i4) (qui est alors exacte) :
résultat coutradicloire avec le précédent.
L'analyse de Gjldén no ressemble donc en rien à une approximation. Mais il faut se poser la question d'une façon plus large et se demander : Supposons que Gyidén n'ait pas commis cette erreur et qu'il ait calculé exactement ces coefficienls /.. ces coefficients auraient-ils été limités?
Soit plus généralement
U = s-;,, cos/„, /„ = u(i -h a„), a„ = s.l„,
.Nous supposons les a,, très petits, £ très petit, X„ et ;-t„ finis.
Nous voyons d'abord que z est une fonction paire de u, de telle fnçon que pour 11=^0 ses dérivées d'ordre impair s'annulent. iNous désignerons par y, y", )''^', etc., les valeurs de z et de ses dérivées successives d'ordre pair pour u:= o; et de même par 12,,, Q,',, etc., les valeurs de 12 et de ses dérivées pour u ^= o. On trouve ainsi
y + f-^r' = -". (y^^'-^ 27" + /) + (J + j") 7(7+ 2/") = o„-t- f>;. Or
l.),, -h i>"„ = — £ S-j-n [J.„, ^ '^' -t- a/' +1 = c- iz,, ,a;„
d'où
— £ 2/.;i -I- ( ix)" = S-,', £ S/.;J- ■+- i;(zu ) ïzf Zv. ■+- 2 £ S7.;jl ) = — Sy,u,
OU si £ est très petit
(Zxy' = Sv, I.(y.,j.)(Zy.y- = -I.yii,
OU enfin
Or si i-;' ^ o, cette expression devient infinie ; d faut donc que l'un des /. au
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moins devienne infini (ou pluLôl deux au moins, puisque ix := o). Les coejjicients y. ne sont donc pas limités.
Ici encore la mélhode horislitjue est en défaut.
