VIII. — Équations de la longitude
Jusqu'ici Gjldén a (mvisagé surtout les équations dont il se sert pour la détermination du rayon vecteur. Dans le § 6, il envisage plus particulièrement celles qui lui servent à déterminer la longitude. L'examen de la méthode horistlque dans ce dernier cas est d'autant plus important qu'on a fait des tentatives pour l'appliquer, ce qu'on n'a jamais cherché à faire pour le rajon vecteur.
Un astronome tout à fait éminent, M. Backlund, trop confiant dans les résultats de Gjldén, s'est même un instant laissé entraîner à des conclusions inexactes qu'il a rectifiées depuis. M. Stockwell avait déterminé par les méthodes ordinaires certaines inégalités de la précession ; M. Harzer avait calculé par les méthodes de Gjldèn une inégalité de la longitude d'IIécube ; j'entends par les premières méthodes de Gjldén et non par la mélhode horistique. M. Backlund appliqua à ces deux cas les formules horistiques de Gjldén, et ces formules lui donnèrent des coefficients trois ou quatre fois plus petits que ceux qu'avaient obtenus ses devanciers. {Bulletin de V Académie de Sainl-Pétersbourg., mai igoo.)
Les équations de la longitude, de même que celles de la précession, peuvent être ramenées à la forme
-j-; = S a sin {nt -\- v) -\- 'iLb ûnpt,
où sin(«^-(-i') est l'un des termes à courte période et où s'xnpt est l'un des termes à longue période. Pour plus de simplicité, je n'envisagerai qu'un terme de chaque sorte et j'écrirai
{ 13) -j-; =^ a 9'\n{nl -i- v) -\- b in\pt.
Je supposerai que a et n sont petits, mais b cl p beaucoup plus petits, de
sorte que - soit beaucoup plus grand rpie , , et que p- soit comparable a — ■
Posons alors (10) , = a 5111 ( ni ■+■ l'u )
6o8 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN.
et
En ni'gligeant le carré de £, on trouve
(17) -J-; = «£ COS(/(/ -f- l'o 1 -(- 6 Slll///.
Dans les anciennes méthodes (Stockwell et Harzcr) on néglige le premier terme (jui est à courte période et l'on écrit
£ = sin pt.
\ oici maintenant ce que donne la méthode horistique appliquée par M. Backlund. On trouve sensiblement
« . ,, , , rt . ,
Cn = un ni, a ou cos («/ + (•,■) = cos«^ H sin-/i^.
L'équation ( i-) devient ainsi
—-— = c a cos lit H siii -nt 1 + u sm iit
dV- \ n- j '
ou, si Von conserve seulement la valeur moyenne du coefficient de s :
d-i a- , . „ , ù b'in 11/
-7— = E -i- 0 ^111 ///, a OLi £ = — • •
al- 2/i- '1-
Telles sont les deux analyses entre lesquelles il s'agit de décider; cela est facile, puisque les équations (16) et (17) peuvent s'intégrer exactement et que Gjldén lui-même a souvent intégré des équations de même forme dans le cours de ses recherches.
Cette intégration montre que le terme en sinpl qui est le seul sensible est
réduit à
h sinpl,
ce (fui est conforme aux résultats obtenus par les anciennes méthodes {Cf. C. lî. Acad. Se, t. 132, p. 50) (').
Backlund revenant sur la question [(J. /t. Acad. Se, t. 132, p. 291) découvrit le point faible de l'analyse qu'il avait d'abord suivie; mais il voulut généreusement prendre la faute tout entière sur lui et disculper fîyldén, sa
Cj C)Euvies de Henri l'oincarè, l. VIll.
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. 609
conduite dans celte circonstance montre que son caractère est digne de son talent.
« Gyidén, dit-il, considère dès le début des approximations l'équation
(18) —r- = az coi( nt -+- l'o) ae- sin(n« H- Cn) — -r «£' cos( nt -h Vo) -+- b ain pt
dt- 2 6
(c'est-à-dire qu'il néglige s' et non £-) et il arrive pour le terme en sva.pt à
Il ■ b i\wpt , ,, , , , . (7- .
1 expression — ^) ou v- est sans doute beaucoup plus petit que — -i mais
n'est cependant pas nul. »
Backlund reconnut ensuite [Bull. Aslr., t. 19, p. 433) que la même objection s'applique non seulement au cas de la précession, mais aussi au cas d'Hécube, el il ajouta qu'il serait très désirable qu'une analyse plus approfondie conduisit à la détermination de v'-.
Ce qui résulte de l'analyse précédente, c'est-à-dire de l'intégration exacte de l'équation (17), c'est que v- s'annule avec b. Voyons comment Gjddén traite notre équation (18), qui joue un rôle analogue à celui de son équation (12) de la page 189 {voir p. 189 à 199).
Par une série de transformations assez compliquées, il la ramène à la forme
Y représentant un ensemble de termes connus; c'est son équation (16) de la
page 198. Gyidén réduit ( ;t- ) à sa valeur moyenne, qui est une constante
positive, quitte à faire passer les termes négligés dans le deuxième membre et à les confondre avec Y. Son équation prend alors la forme
-iH; — ^y — — Q [équation (17) de la page 198J,
où p est une constante positive et oiî Q est connu. C'est ce terme en ^y qui
permet d'éviter les petits diviseurs et qui joue le rôle de « terme lioristique ».
C'est toujours le même procédé qui consiste à remplacer une des fonctions
qui figure dans nos équations par sa valeur moyenne, et dont nous avons à
plusieurs reprises reconnu l'illégitimité. Mais ici le terme en \-t-) ne joue qu'un rôle secondaire, car ( -r- ) est beaucoup plus petit que h-,. C'est donc le
terme en h^y qui est le principal terme lioristique ; comment s'est-il introduit dans les équations de Gyidén? Nous le voyons apparaître à la page 189. H. P. — VII. 77
6lO SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN.
« D'rtbord, dit Gyldéu, nous en rclranchons le terme dépendant de la partie constante de V], tonne <|ui se réiniit iininédi.ilenionl avec la fonctiou Z„. »
Voici ce que cela veul dire; reprenons notre équation (là); en posant comme nous l'avouN fait c = (•„ -j- £, el négligeant £', elle peut s'écrire
■ ^ -*-~jP = a s\\i{/it -\- Vo) -+■ «£ cos( lit -+- t'o j
cic- sml^nl H- l'n) — c'^^" cos (nt -h f o) -{- o sin pt.
Nous avons vu comment cette équation peut se scinder en deux pour donner les équations (i6) et (18); mais Gyldén ne fait pas tout à fait la même chose; il scinde l'équation de la façon suivante :
( :fi bis) —j-r = " ( i ) sin ( nt -+- i'„ ;,
(18 bis) -v4 — aecos{nt + i'(i)]= — -«(£'-—/() iin{ iit + c,,)
T-cos(«/ -H Vo) -h o iinpt,
la constante h (jni joue le .rôle de /tj l'iant la valeur moyenne de la fonction périodique £-.
L'équation (^18 Ois) ne dillere que par les notai ions de l'équation (ly) de la page 189 de Gyldén. Dans celte équation (12) nous voyons la constante /i-^ figurer deux fois; à savoir dans le deuxième et le troisième terme. (.]et h-, qui ligure dans le troisième terme, finit dans la suite des transformations par aller se perdre dans les termes connus Y ; le terme « horistique » de l'équation (l'i) de Gyldén provient donc uniquement du second ternie de l'équation (12), c'est-à-dire du terme en Vi. Les lenncs eu s- — /( et en ;', dans la suile de l'analyse de Gyldén, finissent par se confondre dans les termes connus \ .
Voici donc, en dernière analyse, eu quoi consiste la méthode de Gyldén. En première approximation on remplacera £-' — /t el £ ' par zéro dans le deuxième membre de [iHbis) et Ion intégrera (t(ibis) et (iSbis). Dans (lôbis) on donnera à h une valeur positive quelconque de l'ordre de £-. En deuxième approximation, on remplacera dans le deuxième menihri' de (iSbis), e- — h el £^ par leur première valeur approchée; qnani à // on le remplacera dans {idbis) par la valeur moyenne de la fonction périodi(jue £- obtenue en première approximation; el ainsi de suile.
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. 6ll
Cette méthode serait légitime si le terme
(ig) — — sin(/i;-)-('o)
dont on tient compte était plus important que le terme (20) (£-—/() sin(n< -F i>o)
que l'on néglige. Or le terme le plus important de i est un terme en sin/?^, soit donc
g = /f i\\\pt.
Le terme (19) dont on tient compte est
— sin( n/ -\r l'o).
Le terme (20) que l'on néglige est
ak- . , ak- H 5- siii(«; -I- ipt -+- l'o) H ;— siii(/i< — ipt + l'o).
Les coefficients sont du même ordre, les arguments sont à peu près les mêmes puisque p est beaucoup plus petit que «; l'intégration ne peut introduire de petit diviseur ni en ce qui concerne (19), ni en ce qui concerne (20). Il n'y a aucune raison pour tenir compte de l'un des termes plutôt que de l'auli-e.
L'analyse de Gyldén ne peruiet donc pas de trancher la question. Il s'agit de déterminer le coefficient de iinpt. D'après les anciennes théories il sérail
sensiblement --■ D'après Gyldén il serait -■ où v serait lui-même de
l'ordre de — • Il faut dune faire le calcul en considérant b et w comme très
petits et de telle façon que — ; soit fini : c'est-à-dire développer suivant les
puissances de b et conserver seulement parmi les termes en b" ceux qui contiennent p-" au dénominateur, c'est précisément ce que l'on fait dans la
méthode de Delaunay ; si nous trouvons — ; pour le coefficient, Gyldén aura
tort, si nous trouvons une fonction de — : oui ne devient pas infinie avec -rj Gyldén aura raison.
Appliquons donc la méthode de Delaunay ; posons y z=nt-\- c, de sorte que
notre équation devient
—~ = a sin X. -t- " iiupt.
6l2 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDEN.
Nous pouvons alors écrire, en introduisant une variable auxiliaire );' :
</y' di . b
— ^ = asiii/, -J^ T=i ■/ cospl.
dt '■ dt ''• p '
Posons (en introduisant deux nûu\elk's variables auxiliaires z et u)
F = - x'"- - - X.' cos; + a cosx. + pu, nos équations prendront la forme canonique :
dV
d/ dV
dz dV
du
dF
dt
dt ~ d/; '
dt = du =^''
dt "
,lz
AppIi(juons la méthode de .lacobi.
Soit une fonction S de la variable -/^ et du paramétre W définie jjar l'équation
Posons ensuite
Nous voyons :
i" que
</x' r/W J ^2(9— rtCOSX.)
i^ a cos /^ = ç ( W ) ;.
2" que x'<^% — Wû?n' est une différentielle exacte ;
3" que y[, cos;^ et sin;^ sont des fonctions doublement périodiques de tv ; nous pouvons choisir la fonction cp(W) de façon que la période réelle soit 27r, et que /;', cos;^ et sin;^ soient développables suivant les sinus et cosinus des multiples de w.
Il vient alors
F = 9 ( W ) -*- /»a /' cos z
et les équations conservant la forme canonique s'écrivent
dt ~ dw' dt " ~ rfW ' dt ^ '''
\a fonction F est développable suivant les cosinus et les sinus des multiples de w et de z. Pour appliquer la méthode de Delaunay, il faul ne conserver dans F que les termes « à longue période » c'est-à-dire ici ceux qui ne dépendent pas de iv, mais seulement de z. Pour cela nous n'avons (|u'à
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN. 6l3
réduire '/ à sa valeur moyenne qui est une fonction de W que j'a])pelle ;»;'„, de sorte que
d'où
d'où
F = ;(W)+/)« — -x'ocos;,
ofW dw b dx'o <lz
w = const., z=pt, iv = — <s'(W)h r-T^sinni.
On voit que w contient un terme en — sin^f qui devient très grand si — ^ est
très grand ; or ■/, d'après nos hypothèses, est une fonction de ci' qui augmente de 27r quand iv augmente de 271. S'il y a dans w un terme périodique d'amplitude très grande, il y en aura également un dans ;^.
Le phénomène « horistique » ne peut donc se produire comme l'avait cru Gyldén.
