IX. - Examen d'une équation particulière
Passons maintenant à la page 208 ; nous y trouverons l'équation
/ ^ d-y dy
(21) -T^ -4- uy-ji- = — a sina«.
^ ' du^ ' •' du
(jyldén cherche une solution périodique de cette équation de la foime
y = S/.n sin « !jr/,
n étant entier positif ; on prend plaisir à se trouver en présence d'un problème aussi simple et aussi nettement posé. •
Gyldén cherche à déterminer les coefficients x„ et il arrive à la (in de la page 209 à une équation qu'il cherche à discuter.
« Maintenant, dit-il, on supposant que les coefficients •/•,, •/•,, .... ou connus, ou négligeables, il se comprend que la quantité Z|, qui s'obtient parla résolution de l'équation précédente du troisième degré, ne surpasse jamais une
certaine limite qui s'approche dautant plus de zéro, que la valeur de ~:7- est plus petite.
« On aura facilement des résultats semblables relativement aux coefficients xo.
6l4 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE CYLDÉN.
Pour juger ce rosiillat, développons les deux membres de (21) suivant les puissances de u, et égalons les coefficients de u, il viendra
a- [ — Sx «2 -H ij. ( Sx/i )- ] = — rt a, il'uù
(aa)
Si (j est très petit, le second memhie de cette inégalité est très grand, d'où il suit que les x ne peuvent pas être tous limités.
Dira-t-ou que la série ix est convergente, mais que la série ixn- diverge, de sorte que le premier membre de l'inégalité peut être très grand, bien que tous les X soient limités?
Non, car tant ([ue la solution périodique existe, y est une fonction analytique de u, ses dérivées d'ordre quelconque sont des fonctions périodiques de u et sont comme elles développables en série de Fourier. La série 2 | x | /i'' est donc convergente quelque grand que soit p. Soil y la plus grande des valeurs de 71* I X I , l'inégalité (22) nous donnera
ce qui montre que y croît indéfiniment avec
D'ailleurs si, commet le dit Gjldén, x^, x,,, . . . étaient « négligeables », le premier membre de (22) ne dépendrait plus que de xi et xj et ne contiendrait plus qu'un nomlire fini de termes. 1! serait donc impossible que xi et xo soient tous deux limités.
Enfin montrons plus directement encore que y ne peut être limité. Soit M le maximum de \y\. Intégrons l'équation (21 ) sous la forme
riv M . a
-~ y2 = — en? n u ■
dy
Égalons les coefficients de coso-w dans les deux membres ; dans ■— le coefficient est plus petit que tto-M, dans »•'- plus petit que ttM-; nous aurons donc
-7 M -i-nM^!->
ce qui montre que M croît indéfiniment avec
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GVLDÉN. 6l5
\. — Équations du rayon vecteur.
J'arrive an § 7, |)ai;e ■?.i'j. \ous y retrouvons l'équalion (i), avec celle différence que le deuxième membre au lieu de se réduire à un seul terme en comprend plusieurs de même forme, ilonl je désignerai l'ensemble par X. Nous avons donc
Gyldén écrit ici z au lieu de p; [j;i au lieu de ,3, et Z au lieu de i — a ; mais dans toute la première partie de son analyse, il suppose Z constant et voisin de I.
Nous aurons d'ailleurs
X = — S A „ cos G„, G„ = 9 X„ e. Gyldén, page 229, introduit deux variables nouvelles y et <h et pose
Alors l'équation (aS) est remplacée par les deux équations suivantes [équations (3) et (4) de Gyldén] :
(15) g + (,a-.^)y = (i + 0.)X + 2 Ji J' + Y,
où Y désigne un ensemble de lermes inutiles à écrire.
Quant à v-, c'est une constante choisie de telle façon que d- soit une série trigonométrique dont la partie constante est nulle.
L'équation (24) peut être remplacée par la suivante [équation (3') de Gyldén] :
(2^ bis) __f ov26 = U,
U étant un ensemble de termes inutiles à écrire.
Voici alors comment Gyldén conduit les approximations. Il fait d'abord (L =; o dans les deuxièmes membres de (aS) el (a/ibis) et il détermine à l'aide de ces deux équations y, 'h et v- ; il substitue ensuite ces valeurs des inconnues dans les deuxièmes membres, ce qui lui fournit des valeurs plus approchées de ces mêmes inconnues ; et ainsi de suite.
6l6 SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE GYLDÉN.
En première approximation, il trouve
el il a aussi page 2.3o une expression de ']> que je ne transcris pas.
Commençons par comparer avec les résultats du Chapitre premier. Dans ce Chapitre, le deuxième membre X se réduisait à un seul terme — ycosr; et (^lyldén s'efforçait d'obtenir l'intégrale générale dépendant d'une constante arbitraire appelée a;. Il obtenait ainsi l'équation (a) qui, nous l'avons vu, est fausse en général ; mais quand il se bornait à chercher l'intégrale particulière qui correspond au cas de o" = o, son équation se réduisait à
jpxi -h axx — y = o
ijui esL exacte.
Dans le Chapitre que nous citons maintenant, Gyldén ne cherche plus l'intégrale générale, mais seulement l'intégrale particulière dont il vient d'être question. Donc quand X se réduit à un seul terme, il devrait retrouver l'équation (3) à la différence des notations près.
Soit donc
X = — Al cos Gi = — Y cos V,
c'est-à-dire
Al = Y, 2X1 = I.
Les formules de la page 280 donnent alors
y = a.-icos0i, Xx = , v^ = — Ba;r, i = — -i — -— cosaOï.
Observons que d'après l'équation (8) si a et y sont très petits et (3 fini, x^ est
de l'ordre de y/y et par conséquent petit; donc x] et par conséquent <h sont
négligeables devant l'unité. On a donc
P = X = Xi cos f et 'l'^Xi -ir :îxi — Ai — o OU
- pa^v ■+- axi — Y = o.
C'est bien une équation de la forme (3); mais elle est incompatible avec l'équation (3) puisque les coefficients sont différents.
La méthode de Gyldén est donc non seulement illégitime, mais encore en contradiction avec l'un des rares résultats exacts qu'il avait obtenus antérieurement.
SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE DE CYLDÉN. 617
D'où provient celle divergence? Pour que la méthode d'approximation fût légitime, il faudrait que les termes négligés fussent plus petits que les termes conservés. Or il n'en est rien, il est aisé que constater que dans le
deuxième membre de (20) le terme ^ -f- -J- que l'on néglige est du même
ordre que le terme X que l'on conserve. El cela est vrai, bien entendu, que X se réduise à un seul terme, ou en contienne plusieurs (cf. C. R. Acad. Se, t. 138, p. 933)(').
