XI. — Analyse du troisième Chapitre
Enfin, dans le Chapitre III, Gyldén cherche à appliquer au problème des trois corps les principes établis dans les deux premiers Chapitres; comme nous avons vu que ces principes sont faux, il paraît superflu d'en discuter les applications. Un mot seulement sur la conclusion la plus importante. Les termes les moins élevés de la fonction perturbatrice peuvent donner lieu au phénomène connu sous le nom de libralion ; mais il n'en est pas de même des termes d'ordre élevé; pour ceux-ci, en effet, les termes horistiques prennent une influence prépondérante et s'opposent à la libralion.
La fausseté de cette conclusion est manifeste. J'ai établi, en effet, par des démonstrations rigoureuses dans les Méthodes nouvelles :
i" Qu'à chaque terme de la fonction perturbatrice, quelque élevé qu'en soit l'ordre, correspond un système de solutions périodiques de la deuxième ou de la troisième sorte ; ces solutions sont développables suivant les puissances des masses et les séries convergent pourvu que les masses soient assez petites (Chap. III).
2" Que parmi ces solutions périodiques il j en a autant de stables que d'instables; que les solutions très voisines d'une solution périodique stable oscillent autour de cette solution périodique, ce qui donne lieu à la libralion, que par conséquent un terme quelconque de la fonction perlurbatrice engendrera une libralion, à moins que les exposants caractéristiques correspondants ne soient tous nuls (Chap. IV).
3" Que d'autre part on ne saurait prétendre que pour les termes d'ordre suffisamment élevé, ces exposants sont nuls. Il suffit pour s'en convaincre de
(') Œuvres de Henri Poincaré, ce Tome, p. 583.
6l8 SUR LA METHODE HORISTIQUE DE CYLDÉN.
former les expressions approchées des termes d'ordre élevé de la fonction per inrbalrice par la méthode de Darboux (Chap. VI, en particulier n° 102).
La conclusion de Gyldén est donc fausse; où s'esl-il trompé? Je ne puis le dire exactement; il s'appuie sur ce qu'un certain coefficient a est négatif pour les termes élevés, page aija ; doù tire-t-il cette affirmation, il m'a été impossible de le découvrir; il la déduit sans doute de quelque proposition antérieure qu'il néglige de rappeler. Quelle est cette proposition, est-ce une de celles dont nous avons reconnu plus haut la fausseté; est-ce une autre qui m'a échappé et qui serait alors également fausse, puisqu'elle conduit à une conclusion inexacte? Je ne puis le savoir.
En résumé, de tout ce grand effort, il ne reste rien.
Quelques-uns des résultats sont manifestement exacts, mais on aurait pu y arriver par une voie beaucoup plus rapide ; un plus grand nombre sont manifestement faux ; la plupart sont énoncés d'une façon trop obscure pour qu'on puisse décider s'ils sont vrais ou faux.
