SUR LA MÉTHODE HORISTIQUE. 62I

même fait par plusieurs inélliodes, mais, parmi ces méthodes, les unes sont fausses, les autres ne se prêtent pas à la généralisation en question. Cela est d'ailleurs sans intérêt, puisque nous venons de voir que la méthode est fausse, même en laissant de côté les termes qui contiennent des constantes d'intégration.

En ce qui concerne l'application de la méthode horistique à la longitude, j'ai reconnu qu'il n'y avait pas de coefficient horistique, même quand on tient compte des termes du troisième ordre. C'est ce (jue j'exposerai dans un Mémoire plus étendu ( '). L'erreur, dont M. Backlund veut généreusement s'attribuer toute la responsabilité, ne lui appartient donc pas. Il s'est conformé aux principes généraux de la méthode; et s'est servi du mode de raisonnement préconisé par Gyldén, et dont ce savant avait fait d'autres apjdicalions. Ce mode de raisonnement consiste à remplacer certains coefficients périodiques par leur valeur moyenne : c'est ce qu'a fait M. Backlund, c'est ce (ju'avait fait Gyldén; si l'astronome russe s'est troin|)é, ce n'est pas qu'il eu a mal appliqué les règles, c'est que ces règles ne valaient rien.

(') Œuvres de Henri Poincaré, te Tome, p. 58-;.

Les nombres liguranl eiUio paienllièses renvoient aux Mémoires publiés dans ce Volume, conforniémenl aux numéros qui leur sont aflTeclés dans la Table des Matières.

Les did'ërents Mémoires ont été groupés pour la publication selon leur objet principal. Plusieurs liaitanl de divers sujets, il n'a pas été possible d'adopter le même giouperaenl dans ces iVotes, qui ont été réparties sous les litres suivants :

Résultats généraux ;

Masses fluides en rolulion:

Principes de Mécanique analytique ;

Séries ;

Solutions périodiques et asymptotiques ;

Intégrales uniformes ;

Invariants intégraux.

11 y a lieu pour chaque sujet de se référer à la rubrique correspoudante, quelle que soit par ailleurs dans le présent Volume la place du Mémoire où il est traité.

Résultats généraux.

II. l'oincaré a reproduit une grande partie des travaux, recueillis ici, sur les masses Jluides en rotation, dans ses Ouvrages : Figures d^équilibre d^une masse fluide, Paris (1902), et Leçons sur les hypolhêses cosmogoniques, Paris (1911), sans y introduire d'importantes modifications. F. Tisserand en fait état dans le Tome II de son Traité de Mécanique céleste, Paris (1891). Portant sur un domaine bien délimité, ils n'ont suscité qu'un nombre restreint de recheiches. On retrouvera la plupart des références que nous indiquons plus loin, et des détails à leur sujet, dans le célèbre Traité de H. Lamb, Hydrodynamics, 6' édition, Cambridge (1903) et New-York (ig^o), dont la bibliographie très complète n'omet que les propres publications de son auteur.

Des Mémoires de H. Poincaré relatifs au Problème des trois corps, l'essentiel se trouve concentré dans (21), qui constitue l'ossature des Méthodes nouvelles. A rencontre de ses autres travaux, dispersés dans des publications variées, celui-ci.

destiné au coucours ouvert par le roi de Suède, groupe des éludes exhaustives sur des sujets inédits. F. Tissbran» a consacré à ce Mémoire le Chapitre XXVII du Tome l\ de son Traité de Mécanique céleste, Paris (1896). L'Ouvrage de C. ^ . CiiARLiER, Die Mechanik des llimmels, fait une large place aux résultats obtenus par H. Poincaré. On trouvera dans Z>j'/i«/w/ca/^)'i/e/n*, New-York ( 1927), de G. Birkuoff; Treatise on t/ie Analytical Dynamics, 4° édition, Cambridge (igSô), de l". T. Wiuttaker; The analytical Foundations of Celestial Mechanics, Princeton (1941), de A. Wintner, l'exposé des travaux modernes relatifs au problème des trois corps, auquel ces auteurs ont apporté des contributions essentielles. I.e dernier Ouvrage cité contient une intéressante bibliographie historique.

On sait que les méthodes imaginées par M. Poincaré pour la Mécanique céleste n'ont pas jusqu'ici ser\i de base à de nouvelles études des mouvements des planètes. C'est la difficulté que présente la comparaison de développements faits avec des variables très dillerentes qui semble principalement s'ojiposer à l'abandon des variables traditionnelles. 11 y a donc lieu de signaler particulièrement à l'attention des calculateurs les Mémoires (24), (23), (27), (34), qui, postérieurs à la publication des Métltodes nouvelles, n'ont pas été l'objet d'une large dillusion [quoique (24) soit utilisé par Wiuttaker, loc. cit., § l'6~\. On y trouvera : d'une pail un procédé de réduction du système dillerentiel au douzième ordre qui lui conserve la forme canonique sans compliquei' l'expression de la fonction perturbatrice; d'autre part un exposé svnlhétique de tous les procédés de résolution utilisés, permeltanl de choisir celui qui se trouve le mieux adapté à chaque problème et de réaliser éventuellement le passage de l'un à l'autre.

Masses fluides en rotation.

Figures annulaires. — On remarque, au début de (2), l'absence du terme ^icoscp dans l'équation polaire de la section méridienne de la figure. Ce n'est pas là une traduction rigoureuse de la condition d'après laquelle le pôle est le centre de

gravité de la section. L'hypothèse, faite plus loin, que les termes en ^ sont négligés devant les termes en— justifie cependant cette équation : le calcul montrerait en

ellét que (3i s'exprime par une somme de termes de la forme ),' {i, / > i ), lorsque

le pôle des coordonnées est au centre de gravité. Toutefois, il est probable que la présente approximation ne puisse pas suffire pour l'étude éventuelle de la stabilité de la figure annulaire.

L'expression du potentiel V qu'on trouve dans (2) y est donnée sans justification. I^e détail des calculs figure dans (3) cl conduit à une valeur légèrement dilTérente de l'expression primitive. 11 y a donc lieu de modifier dans (2) toutes les formules qui suivent celles de l'expression du potentiel (jusqu'à ce que soit abordée l'étude du problème suivant, relatif à l'équilibre de plusieurs anneaux), conformément aux indications données dans le Mémoire rectificatif. En particulier, à la valeur donnée

dans (2) pour w-, il faut substituer l'expression 2 7î g^ log , .

L'élude lie la ligure annulaire qui esl faite au paragiaphe o de (6) n'est pas identique à celle que l'on trouve dans (2); mais on peut confronter les formules (5) et

suivantes données dans (6) avec la formule U = — log 1- . . . + U' figurant

2 To

dans (2); on constate qu'elles sont en léger désaccord, cette divergence ne pouvant d'ailleurs afl'ecler les conclusions de (6) qui sont de nature qualitative.

On verra dans un Mémoire inséré au Tome \ III des < lEavres qu'en présence d'une masse centrale et dans les conditions physiques qu'ollre l'anneau de Saluine, la figure annulaire (qui n'est évidemment pas identique à celles qu'on a considérées ici) est instable. Ce résultat est reproduit dans ( 13), avec le schéma d'un laisonnement qui doit permettre de le retrouver, et qui s'appliquerait aussi aux figures annulaires de M""' Kowalewski ; (il s'agit probablement des figures annulaires sans masse centrale; M""' Kowalewski a considéré les deux cas). Far ailleurs, II. Poincaré écrit à plusieurs reprises, dans ses Mémoires et ses Ouvrages, que les figures annulaires sont instables, sans nouvelle justification. Cette affirmation est sujette à caution. L'instabilité se déduit en ellet de la considération de deux limites pour la valeur relative de la densité de l'anneau par rapport à celle de la masse cenliale : une limite inférieure, obtenue par Poincaré, qui n'est pas douteuse (et qui peut même être améliorée); une limite supérieure, établie par J. C. Maxwell ( 0« the Slobilily oj the Motion of Satura s Itings, Cambridge, iSSg) à l'aide de raisonnements peu rigoureux ( ' ) et qui semblent supposer pour le fiuide des propriétés d'ailleurs non précisées. On ne peut donc considérer comme certain que les figures annulaires, avec ou sans masse centrale, soient instables dans toutes les conditions; un nouvel examen en serait utile. L'étude des figures terminales d'une suite de figures annulaires serait également souhaitable.

Figuies piiiforines. — V.n suivant une séiie d'ellipsoïdes de Jacobi jusqu'au premier point de bifurcation, H. Poincaré avait d'abord cru [voir dans (6) la fin du paragraphe 14] à la stabilité de la figure piriforme obtenue. Mais le principe de l'échange des stabilités, qui avait conduit à ce résultat, n'était pas valable ici, comme l'a montré K.. Schwarzschild (Inaug. Dissert., Munich, 1896). Reprenant alors le problème, G. IL Darwim {P/iil. Trans., t. 198A, 1901, p. 3oi) calcule les axes du jacobien critique pendant que Poincaré (12) établit les formules devant permettre de décider de la stabilité, calculs qu'efTeclue Darwin (Pliil. Trans., t. 200 A, 1902, p. 301 ) et qui font croire à nouveau à la stabilité. Cependant, par un procédé difiërenl, A. \AS.PO\ifiorv (Mémoires de P Académie de Saint-Pétersbourg, t. 17, 1905, p. 3) concluait à l'instabilité. C'est à J. II. Jeans que révient le mérite d'avoir tranché le débat : reprenant le calcul du moment d'inertie de la figure (/'/t//. Trans., t. 213 A, igiS, p. 27'), il constata que Darwin avait négligé des termes de Tordre de ceux qu'il avait conservés, reprit les développements, des plus laborieux.

(') En parlicuher, on déduit cette limite d'une certaine inégalité dont on néglige un terme en vertu d'une inégalité antérieure; or cette dernière a été obtenue dans un problème tout différent de celui de l'anneau fluide, et n'a a priori aucune raison d'élre maintenue ici. H. Poincaré reproduit dans ses Hypothèses cosmogoniques (>' édit., p. 33-4*^) une partie de l'analjse de Maxwell.