r. - \ii

el retrouva le lésiillal obtenu par Liapounoll . ( ]^uir aussi .Ieans, Proh/enis uf Cosino- ^ony, Caniliridge, 1919, où les autres figures d'équilibre sont également étudiées, ainsi que leur évolution).

La ligure pirifonne, instable, évolue par une scission, en deux masses distinctes au moins. K. Cartan a démontré {Proc. Int. Math. Congr., Toronto, t. 2, 19241 p. 9) que la ligure devient séculairement el ordinairement instable en même temps. Le phénomène a par suite l'allure du « cataclysme » qu'avait prévu Poincaré, el il n'v a aucune raison pour que révolution conduise, comme on l'avait primitivement pensé, à un svstème d'étoile douille à laible excentricité. Au contraire, on peut voir que l'orbite relative est hyperbolique {cf. II. .1i,kfki:ys, Monlliler iS'otù es /{. A. .V., t. 101, 19^7, p. 3',9 et t. i08, 1948, p. 94).

Petit.'! mouKeinents des flinires d^équilibre. — Le procédé employé au paragraphe 13 de (6), ([ui consiste à « solidilier » le lluide, à en considérer une déformation homogène, el à chercher dans le petit volume balayé au cours de la déformation une fonction harmonique satisfaisant à certaines conditions aux limites, a reçu de nombreuses applications. Nous ne pouvons qu'en mentionner quelques-unes : stabilité du sphéroïde de Mac Laurin (Bryan, Darwin); cylindie elliptique (Love); ellipsoïde de lévolulion élastique (Vilerbi); fluide dans une sphère creuse élastique (Love); couche mince sur un noyau sphérique (llough).

Résultats dners. — Les résultats relatifs à la limitation de lu vitesse de rotiilion d'une masse fluide, (2), (6), (10), ont donné lieu à plusieurs extensions. II. Lasib

{llydrody munies, § 372) a montré (]ue la vilesse limite y'a t.o est valable (indépendamment de toute question de stabilité) que la masse rencontre l'axe de révolution ou non. U. Cridi'Ij {Ac-ad. d. Lincei, t. 19, 1910, p. 666) a lamené cette limite à y/Trp pour les volumes convexes. II. Lamb [Ioc. cit.) a le\é cette restriction de convexité.

l'oincaré a démonlié d'une façon originale dans (8) et ( 10 j que la sphère est la seule ligure d'équilibre stable absolu, propriété que Liapounoll' avail établie antérieurement. L. LiciiïENSTEi.N {Berl. lier., 1918, p. iiîo) a prouvé que toute masse lluide en rotation uniforme admet un plan de symétrie perpendiculaire à l'axe de rotation. Il en résulte (ju'une masse fluide au repos est nécessairement sphérirpie (cf. T. Carle.man, Math. Zeitschrifl , 1. 3, 1918, p. 1).

Dans (13), les résultats de la théorie sont étudiés au sujet de leurs ra[)ports avec les données de l'observation. (]elles-ci ont subi i|uei(|Me é\(jlulloM depuis 1892 :

l'origine de la variation d'éclat des l'ioiles a été rolijet de lli('-ories satisfaisantes pour toutes les classes de varialjles, sauf cependant les variables irrégulières. L'interprétation de la vaiiabililé à l'aide des formes jacobiennes est donc périmée; elle ne saurait en effet convenir aux variables irrégulières. Notons toutefois que la courbe de lumière Ai', certaines vari(djlrs à ér/z/WM est alleplée parla non-sphéricitt' accentuée qu'entraînent les forces de maiées pour les masses rapprochées ;

les observations pholométriques (Barnard, von Seeliger), photographiques (Wood) ont définitivement confirmé la stiiictuie corjiusculaire îles anneaux de

Saturne, que la Mécanique céleste faisait prévoir. Il s'agirait de gouttes de glace très dispersées;

pour raplatisseiiienl de la Terre, on admet depuis les travau.\ de Hayford (1909),

la valeur Les mesures çravimélriques modernes sont eu parfait accord avec ce

nombre, issu de mesures géodésiques. La divergence d'avec la valeur déduite par Poincaré de la précession observée a ainsi disparu.

Principes de mécanique analytique.

Les résultats exposés dans (17) sont justifiés et développés dans le Chapitre XXIX des Méthodes nome/les. Une restriction à la validité des équations obtenues pour le mouvement relatif a été faite par A. Wintxer {Sachs. Sitzber., t. 82, 1980, p. 345).

La condition nécessaire et suffisante pour qiCun changement de variables conserve la forme hamiltonienne d'un système est que l'expression 'Lj'idxi — ly'idx'i soit une dillerentielle totale. Cette propriété tient à ce que la relation dillerentielle exprimée caractérise les transformations de contact, qu'un système hamiltonien peut être considéré comme traduisant une transformation de conlact infinitésimale {voir par exemple Wiiittaker, loc. cit., § 123), et que les transformations de contact constituent un groupe. L'énoncé apparaît pour la première fois sous sa forme précise en 1897, dans (23). Le caractère suffisant de la condition a été justifié et utilisé bien antérieurement, par Poincaré lui-même et d'autres auteurs; il peut d'ailleurs se déduire d'une méthode imaginée par Jacobi {C. R. Acad. Sc.,\.. 5, 1887, p. Gi) en vue de la cunstilulion de divers changements de variables canoniques. La nécessité d'une telle relation dillerentielle n'a élé démontrée que récemment, par J. Chazï ( C. R. Acud. Se. t. 225, 1947, p. io4i et t. 226, 1948, p. 19), pour des variables dépendant ou non du temps.

L'exposé sur la Mécanique de Hertz (18) a trait à l'Ouvrage posthume Die Prinzipien der Mechanik, Leipzig, 1894. Il s'agit dans cet Ouvrage d'un examen d'ensemble des fondements de la Mécanique, première étude critique approfondie qu'on ait faite sur le sujet. La considération de « masses cachées « n'a certes pas été féconde, mais cet échec n'enlève rien à l'intérêt de l'Ouvrage; celte hypothèse n'en est pas l'objet essentiel, à l'encontre de ce qu'on pourrait croire d'après (18). La disparition prématurée de Hertz l'a empêché de parfaire ses raisonnements; on note en particulier- la faiblesse, non de Vobjection de la boule, mais de son exposé, fait par l'intermédiaire d'une définition des systèmes holonomes qui n'est ni suffisante (le déplacement de la boule de A en B peut se faire par un mouvement complexe, mais d'amplitude \/£, donc infiniment petit), ni nécessaire (on imagine facilement des systèmes simples, à liaisons solides, dont certains déplacements infiniment petits exigent un déplacement fini des éléments) pour que le principe de moindre action soit applicable.

6a8 NOTES.

Séries.

Les précédents \olunies des Œuvres contieniienl dillerenls Mémoires sur les séries rencontrées en Mécanique céleste; en particulier, sur les séries trigonométriques, voir le Tome IV.

Les travaux recueillis ici sur les séries de Lindstedt-Gyldén sont en général antérieurs au Tome 11 des Méthodes nouvelles et se retrouvent, remaniés, dans dilTérenls Cliapities de cet Ouvrage : les Chapitres XI pour (23), XVII pour (28), IX pour ("29) et (30), XIII pour le paragraphe 21 de (21). De même, sur la vérification des séries de la Mécanique céleste (31), voir le Chapitre XXIV du Tome III.

Les vigoureuses critiques [(35), (36), (37)] que H. Poincaré a émises en 1904 et 1900 oonlie la méthode horistiqiie de dyldén ne concernent que les Nouvelles recherches .... (1892). Il s'était borné dans ses éludes antérieures, mentionnées plus haut, à piéciser ou compléter certains points des théories de Gyldén. Cependant, dès 1889, il avait acquis une certaine méfiance à leur égard : les astronomes ayant été alertés [depuis (28), entre autres] au sujet de la divergence possible de leurs séries, Gyldén s'est attaché à justifier la convergence de celles qu'il obtient dans son .Mémoire du Tome IX des Acta Mathematira (1887); Poincaré, assuré qu'elles divergeaient (en général) par la façon dont elles étaient obtenues, s'est astreint, non sans mauvaise humeur, à l'examen détaillé de ce travail. On trouvera dans les curieuses lettres qu'il adresse à Miltag-Leffler les 5 février, i et 3 mars 1889, lettres publiées dans le Tome 38 des Acta Mathemaliia, le récit de ces pénibles investigations.

L'idée que l'élimination des lermes séculaires ne peut conduire à des séries uniformément convergentes aura donc mis vingt années à s'imposer, non sans difficultés [voir (32), (33), entre autres]. Les séries divergentes effrayent les calculateurs ; on s'est en général borné, depuis lors, :i utiliser celles qui avaient fait leurs preuves, et que leurs auteurs (Newcomb, Lindstedt, (iyldén, Hill) n'avaient pas hésité à introduire puisqu'ils ignoiaient celle divergence, \insi, la lumière ((ue Poincaré a projetée sur ce terrain difficile en a paradoxalement retardé l'exploration; ne s'y hasardent ])lus guèie que les chercheuis les moins avertis, sans succès évidemment.

L'équation de Gyldén-Lindsledt [étudiée dans (28) et dans le Chapitre XVII des Méthodes nouvelles; voir aussi Tisserand, loc. cit., t. III, Chap. I] est bien connue en Phvsique mathématique sous le nom Adéquation de Mathieu ou du cylindre elliptique. Renvoyons à N. W. Mac Lachlan, Theory of Mathieu functions. Oxford, 1947, et au Chapitre XIX de Modem Analysis de Wiiittaker et Watson.

Le Théorème II du deuxième paragraphe de (21), {voir aussi Méthodes nouvelles, t. I, Chap. Il), est devenu classique dans l'étude des systèmes difi'érentiels avec paramètre, qu'il permaJt d'ed'ectuer :i partir du plus simple d'entre eux. Dinférentes démonstrations nouvelles et extensions en ont été données. Voir notamment E. Picard, C. li. Arad. Se, t. 118, 189'), p. 760, et Traité d'' Analyse, t. 2, Chap. XI; et aussi K. Popoff, Mémorial de IWrtillerie française, 1925. M. Mendi':s (Annal. Obs. Besançon, t. 2, 1986, p. 69) envisage le cas où le paramètre est une fonction donnée du temps. Le théorème a permis de valider des procédés de calcul

nonjusliliés par leurs auteurs, rôle analogue à celui des travaux de Cauchy à l'égard des développements en série de ses prédécesseurs; voir par exemple H. Bateman, Partial diflerentialequations . . . , New-York, i944i P- 497» *u sujetd'une équation de l'aocoustique dont la résolution par Helmhoitz a été ainsi légitimée par C. Srhaefer.

Solutions périodiques et asymptotiques.

C'est en 1878 que paraît le célèbre Mémoire où Hill considère pour la première fois une solution périodique du Problème des trois corps. Mais il s'agit d'un cas très particulier (système Terre-Lune), et l'on doit considérer que c'est en i883, dans (19), que la théorie en prend naissance. Leur existence est établie dans (20), leur étude faite dans (21) où est introduite la notion d'exposant caractéristique. Ces travaux sont développés dans le Tome I des Méthodes nouvelles.

Les compléments théoriques aux recherches de Poincaré ont été apportés essentiellement par A. LiAPOUNOFF, dont le Mémoire, datant de 1892, a été traduit en français par E. Daval'x en 1907 [Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, (2), t. 9, p. 203-4(59] ; J. H A DAMA RD ( /. Mat II., t. 3, 1897, p. 33i); E. Picard ( Traité d^ Analyse, vol. 3); et par Poincaré lui-même {voir le Tome VIII de ses Œuvres au sujet du Théorème de Poincaré- Birliho(f').

C. Charmer, loc. cit., a discuté les orbites périodiques dans les cas les plus accessibles. J. Chazy (Bull, astron., t. l'i', 19491 P- i53), a mis en évidence les propriétés de symétrie présentées par les solutions périodiques de la première sorte. Whittaker a formé un critère applicable à la découverte de solutions périodiques du problème restreint (Monthly Notices, t. 62, 1902, p. 186 et 346).

Les solutions asymptotiques ont été étudiées par D. Bichanan ( Trans. of the Canibr. Phil. Soc, t. 22, p. 3o9) pour les mouvements de Lagrange (triangle équilatéral ), par L. A. Warrbn {Am.J. of Math., t. 37, 1916, p. 221) pour les points de libration colinéaires. K. Popoff {Bull, astron., t. 9, 1934, p. 177) a examiné le cas du problème restreint. Le principe dynamique de prolongement que Strômgren avait utilisé pour ses recherches numériques {voir plus bas) a été justifié par A. Wintner {Math. Zeitschri/t, l. Si, i93i, p. 32i et Bull, astron., t. 9, 1936, p. aSi).

Les orbites périodiques de deuxième espèce [paragraphe 23 de (21); Chapitre XXXII des Méthodes nouvelles] ont été construites par Poincaré à partir d'orbites à chocs, relatives au mouvement de trois corps dont deux sont de masse nulle. Une sphère d'activité limitant l'intluence relative des deux satellites joue un rôle discutable dans le raisonnement. P. Sémirot {Chocs et solutions périodiques dans le problème des trois corps, Thèses, Paris, 1943 ) a montré sur un exemple simple auquel le procédé de Poincaré aurait dû s'appliquer (attraction par deux centres fixes) qu'on n'y pouvait déduiie de solutions périodiques dérivant de celle qu'on obtient lorsqu'une des masses attractives est nulle. L'existence des solutions périodiques de deuxième espèce du problème des trois corps n'est pas impossible, mais ne doit pas être considérée comme établie par l'analyse qu'en a faite Poincaré.

Les orbites périodiques et asymptotiques auxquelles conduisent la théorie de la

63o NOTES.

relalivilé généralisée oui été étudiées par \'. IIac.iiiara [Jap. Joiir/i. of As/, and Geoph., t. 8, u)3i, p. fij); Wiuttakkii {/oc. cit., S 170) en cite quelques résultats.

Les travaux de G. BiiikhofI'' (foc. cit.; voir aussi Bull. Soc. Mailt. France, vol. 'kO, iç)i-!; Trans. Amer. Math. Soc, vol. 18, 1917) ont généralisé les recherches de Poincaré pour des systÙTues dynamiques plus généraux, et principalement pour les .'syxtème.'! de PfafJ. Los exposants caractéiistiques [§ 10 de (21 )] en pailiculier, ou mulliplicaleurs hatnilloniens, se présentent comme un cas particulier des multiplicateurs pfall'ietis {loc. cit., p. 89). Mais l'œuvre puissante de G. Birkhoir n'a pas encore fourni d'apport sensible à la Mécanique céleste pi'Oprement dite.

Différentes études numériques ont été faites dans le cas du problème restreint. Citons celles qui sont contemporaines des travaux de Poincaré, dues à C. Burrau (Astr. Marhr., t. 13o, 1894, p. 9.33; voir aussi T. Thiei.e, Astr. ISachr., t. 138, 189Ô, p. i);et à G. Darwi.n [Arta math., t. 21, 1897). Parmi les autres, nous mentionnerons les plus importantes : un ensemble de recherches faites par F. H. Mot'LTON et ses collaborateurs {Periodic Orbits, publication n" 161 de l'Institut Carnegie, Washington, 1920) a permis de mettre en évidence les trajectoires de nature spéciale qui séparent les dillérenles classes de solutions périodiques; dans un cas particulier du problème restreint (mo^/Wi), un examen complet des orbites périodiques et asymptotiques a été réalisé de 192'! à i933 par E. Strô.mc.ren et ses collaborateurs (à ce sujet, voir dans Bull, astron., t. 9, igSS, p. 87, un exposé de ces travaux et leurs références bibliographiques).

Intégrales uniformes.

La non-existence de nouvelles intégrales analytiques uniformes du problème restreint des trois corps est établie au paragraphe 22 de (21). L'extension de la propriété au problème général est faite dans les Méthodes nouvelles (t. I, § 8.'j). Il est à noter que le théorème de Bruns (1887) sur la non-existence de nouvelles intégrales algébriques, théorème dont Poincaré a complété la démonstration en 1896 dans (26), était au contraire relatif au problème général; sa validité pour le problème restreint n'a été reconnue que beaucoup plus tard, par C. L. Siegel, {Trans. Amer. Math. .Sor., t. 39, igSô, p. 22.5). P. PAi.M.EVf: a étendu la proposition de Poincaré en montrant (C. /?. A<ad. Se, l. 130, 1900, p. 1O99) l"'' suffisait d'imposer la condition de légulariié par rappoit aux vitesses pour entraîner la nonexistence des intégrales analytiques.

Le domaine d'application du théorème est bien plus réduit que ne pourrait le faire supposer l'énoncé qu'on en donne habituellement. La démonstration repose en elTet sur la considération d'un système d'équations dont les seconds membres sont périodiques par rapport aux variables angulaires. ^^i variables sont fonctions des éléments osculateurs des mouvements relatifs, lesquels, pour qu'il y ait péiiodicité, doivent être essentiellement supposés elliptiques. Or il n'y a en général aucun moyen de savoir si un mouvement possédant initialement celte propiiété la conserve indéfiniment. Dans l'espace à douze dimensions des coordonnées et des vitesses, il n'y a aucun volume en tous les points duquel le théorème puisse

NOTES. 63l

s'appliquer. 'I\ Lévi-Civita l'a noté pour le problème restreiut (Actti inatli., l. 30, 1906, p. 327). J. CiiAZY a mis en évidence un grand nombre de familles d'intégrales analytiques du problème général des trois corps {Bull, astron., l. 8, 1988, p. l\oZ), et a fait ressortir la diftërence qu'odre à ce sujet le théorème de Poincaré et celui de Bruns.

Invariants intégraux.

La notion d'invariant intégral apparaît dans le Chapitre II de (21) en même temps que sa théorie. On sait que J. Lioivili.e {J . Mtilh., t. 3, i838, p. 3/18) puis L. BoLTZMANN {Journal de Crelle, t. 73, 1871, p. lu) avaient utilisé pour des problèmes d'hydrocinétique une intégrale multiple qui n'est autre que le plus simple des invariants de Poincaré, l'invariant intégral de volume. Bien que ce soit celui dont l'usage est le plus courant, le champ de ses applications ne sest constitué qu'après que Poincaré Feiît redécouvert (21) en le généralisant.

La théorie des invariants intégraux, que Poincaré lui-même a approfondie dans le Tome III des Méthodes nouvelles, est aujourd'hui classique. Cilons en deux Traités (leurs auteurs lui ont apporté par ailleurs une contribution essentielle au cours de nombreuses recherches): E. Cautan, Leçons sur les rnvuri/ints intégraux, Paris, 1922; Tu. du Do.nder, Théorie des invariants intégraux-, Paris, 1927. Nous nous bornerons ici à mentionner une propriété qui peut jouer dans l'étude quantitative des systèmes d'équations diflerentielles un rôle pratique qu'elle ne semble pas avoir tenu jusqu'ici : E. Goursat a montré (/. Math., 6" séiie, t. \, 1908, p. 33i) que la connaissance d'un invariant intégral permet d'extraire d'un système donné un système d'équations plus simple dont toutes les intégrales appartiennent au système initial.

La première conséquence que Poincaré déduit de sa théorie est exprimée par le théorème I [§ 8 de (21)] ou théorème de récurrence. Les trajectoires qui y sont appelées exceptionnelles, et qui forment un ensemble de mesure nulle dans la région de l'espace à 2rt dimensions oii le théorème s'applique, ne peuvent remplir aucun continuum fini et fermé quel que soit le nombre de ses dimensions (J. Llïvï, Les approches dans le problème des trois corps, Thèses, Paris, 1943). Le théorème de récurrence est à l'origine des recherches (|ui ont conduit G. Biiîkhoff, an théorème ergodique, dont l'exposé définitif a paru en 1982 {Bull. Amer. Math. Soc, t. 38, p. 36i). Le théorème ergodique ayant été rattaché directement à la théorie des ensembles à partir de la notion de mesure de Lebesgue, il n'y a lieu ici que de le mentionner. Son utilisation pour l'étude des systèmes dillérentiels est subordonné à l'existence d'une propriété de transitivité dont il est dans le cas général extrêmement difficile de s'assurer. Une application en a été faite à divers systèmes de Mécanique céleste, à trois degrés de liberté, pouvant se ramener au mouvement d'une masse dans un champ de forces de révolution, par II. Fabre {Bul. astron., t. 10, 1987, p. 297, et t. 11, 1988, p. 17).

L'emploi des invariants intégraux avait conduit Poincaré à des résultats positifs principalement en ce qui concerne les solutions du problème restreint; il leur avait reconnu la stabilité à la Poisson. Le problème général des trois corps a lui aussi bénéficié de cette théorie, dans les travaux de J. Chazv : l'ensemble des trajectoires

issues des points iruii cerlain volume de l'espace a douze dimensions des coordonnées el des vitesses présente la stabilité à la Poisson; toutes les auties trajectoires possèdent la propriété de réversibilité , c'est-à-dire que le -mouvement relatif de deux quelconques des corps est de la même naluro (elliptique, parabolique ou hyperbolique) pour les valeurs du temps inlînimenl grandes positives et négatives (7. Mi/th., g" série, t. 8, 1929, p. 353; Bull, nstron., l. 8, igS'i, p. 408). Ces propriétés, jointes h l'élude des points singuliers du système, ont permis à J. Cliazy {voir les références dans la bibliographie donnée par Wintner, loc. cit.) une classification el une localisation lelalive de toutes les trajectoires possibles dans le problème des trois corps. Cette analyse n'a pas d'équivalent parmi celles qu'on a pu faire au sujet d'autres systèmes dillérentiels d'ordre élevé; elle doit être considérée comme le développement des résultats el des méthodes du Mémoire (21).

Dirterentes branches de la Physique mathémati(]ue, notamment la Mécanique statistique, la Théorie cinétique des gaz, la Mécanique atomique, l'Hydrodynamique, l'Electromagnélisme, font appel aux propriétés des invariants intégraux. La Mécanique analytique, grâce à eux, a été dotée par A. LiCHNÉROyvicz {C. R. Acad. Se, t. 'i\~l, 19^3, p. 660) du principe suivant : quelles que soient les forces mises en jeu. Vinté'J^rnle qui s^ écrit, avec les notations habituelles.

2 dpi dq, - ^H dt + IQ, dqi dt.

étendue à la surface balayée au cours d'un déplacement arbitraire des états le long de leurs trajectoires respectives, est nulle. Ce principe pourra dans l'avenir jouer un rôle fondamental, comparable à celui qu'a tenu jusqu'ici le principe de moindre action.

Jacques Lévy.

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