Les équations d'équilibre deviennent
Xi = o, xl = y'-
Il n'y a qu'une série de positions d'équilibre réelles, à savoir :
xi = o, A-.. = y,
et l'on voit que ces positions restent réelles quand y varie de — oo à +oo. Aucune de ces positions ne peut donc appartenir à plusieurs séries de positions d'équilibre réelles comme cela avait lieu tout à l'heure. Cependant
A = 6 Xy''
s'annule pour j' = o, mais sans changer de signe.
Pour démontrer ce principe que je viens d'énoncer et d'illustrer par quelques exemples, je supposerai que « = i, de telle façon que je n'aie plus que
46 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
deux variables : x qui djlinit la position du syslèine et le paramétre y. On aura
^ dx^
el l'équation d'équilibre sera
L'équation F'(a;,j') = o jiourra être considérée comme représentant une courbe plane C. Soit a? = cp(}') une fonction uniforme, réelle, finie et continue de j' qui satisfasse à l'équation
L'équation x^o[y) représentera alors une des branches B de la courbe C. Soit M(x =: a, y^ (3) un des points de celte branche de courbe. Supposons que lorsqu'on suit cette branche de courbe, on voie d changer de signe au moment où l'on franchit le point M. Je dis qu'il passera par le point M une autre branche de la courbe C.
Soient en effet P le point de la branche B qui a pour ordonnée y = P — £ et Q le point qui a pour ordonnée jk = (3 + 6 (e étant très petit). Ces deux points sont réels, puisque par hypothèse s(j') est une fonction réelle àe y. Je suppose
par exemple qu'au point P, -j-;:^ = A soit positif, et négatif au point Q.
Par les points P et Q, je mène des parallèles à l'axe des x et je prends sur
dx
r^ncifif* (^Inn/^ Cl If» nnint P pcï ni-iA? vnicin fia F* In nApiv/^a nr
dxdx
ces parallèles deux points P' et Q' à gauche de P el de Q. Au point P, -7- est
fi- P
nul et -j—^ positif; donc si le point P' est assez voisin de P, la dérivée première
■y sera négative. On verra de la même façon que si le point Q' est assez
voisin de Q, -7- y sera positive. Allons du point P' au point Q' en suivant une
courbe qui s'éloigne très peu de la branche B, mais qui ne coupe pas celte
dF branche; cela est toujours possible. Nous verrons -r— changer de signe; il faut
1 ' . • dF , , ,
donc qu a un certain moment-^ s annule et par conséquent que nous traversions une branche de la courbe C. Il y a donc une seconde branche de cette courbe qui vient passer par le point M.
En d'autres termes, ce point M est au moins un point double delà courbe G; je puis même affirmer que c'est un point multiple d'ordre pair.
Il est à remarquer que dans la démonstration précédente, nous n'avons pas été obligés de supposer que la fonction F est holomorphe, mais seulement
SUR l'Équilibre d"une masse fluide en rotation. 47
qu'elle est fmie et continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres. II j a un cas particulier sur lequel il est nécessaire d'attirer raltenlion. Soit
Nous avons une première série de positions d'équilibre réelles qui nous sont données par l'équation :c = o. Comme A s'annule avec j, il doit passer parle point x^y =^0 une seconde branche de la courbe C et en se reportant à la
valeur de -;- ) ou voit nue cette seconde branche n'est autre chose que la droite
y ^o. Cette droite ne représente pas une série linéaire de positions d'équilibre analogue à celles que nous avons rencontrées jusqu'ici. C'est une série de positions d'équilibre indifférent; car si y s'annule, l'équilibre subsiste quel que soit x.
Supposons maintenant que la fonction F ne contenant toujours qu'une seule variable x, dépende non plus d'un seul paramètre j', mais de deux paramètres yi et jKa- Nous pourrons regarder :r, j'i et i'2 comme les coordonnées d'un point dans l'espace; alors l'équation
rfF
dx
représentera une surface S dont chacun des points correspondra à une position
d'équilibre.
L'équation
représenlera une seconde surface S'. Supposons que l'on considère une nappe N de la surface S représentée par une équation
oîi cp est une fonction finie, continue et réelle de j'i et à^ y.,. Supposons que cette nappe soit coupée par la surface S' et de telle sorte que A change de signe quand on traverse la surface S' en suivant la nappe N. Alors la courbe d'intersection de N et de S' est une courbe double (on multiple d'ordre supérieur, mais pair) de la surface S, par laquelle vient passer une autre nappe N' de celte surface S.
11 suffit en effet pour être ramené au cas d'un seul paramètre, de supposer entre j'i et j-., une relation linéaire
)•, = ay«-\- h
48 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
ou eu d'autres lertnes, de eouper les surfaces S el b' par un plan quelconque parallèle à l'axe des x.
Ou arriverait iWideuiuienl à un ràsullal analogue dans le cas où l'on aurait p paramètres )',, t-j, . . . ,yi,.
Supposons maintenant n = i; de telle façon que nous ayons deux variables X\ et Xj définissant la position du système, et un seul paramétre^'. Je regarderai alors Xi, x-î et r comme les coordonnées d'un point dans l'espace. Les
équations d'équilibre :
r/F dV
représenteront alors deux surfaces Si el Sj dont l'intersection sera une courbe gauche C. Soient
(4) ■■'•1= 9iO)' oc,= a.,{y)
deux fonctions finies, continues el réelles de r et supposons que ces équations (4) représentent une branche B de la courbe C. Soit M un point de cette branche B; supposons ([ue si l'on suit la branche B dans le sens des y croissants, on voie A changer de signe au moment où l'on franchit le point M. .Soient P et Q deux points de B ayant pour ordonnées j' ^ [3 — i, y ^^ -\-e; (l'ordonnée du point M étant J' = (3). Au point P, A sera par exemple positif, et négatif au point Q.
S'il en est ainsi, je dis qu'il passera par le point M une seconde branche de la courbe C.
En eflet, par les divers points de l'arc do courbe PQ faisons passer des plans parallèles au plan des XiX-i et dans chacun de ces plans décrivons une circonférence de rayon ;• ayant son centre au point correspondant de l'arc PQ. Ces diverses circonférences engendreront une certaine surface ^ qui sera doublement connexe et limitée par les deux circonférences K et K' qui ont pour centres les points P et Q. De plus, d'après ce mode de génération aucun point de la branche B n(^ peut se lrouv(!r sur la surface i.
Pour trouver le nombre des points d'inlerseclion de celte surface S avec la courbe C, il faut maintenant chercher ce que M. Kronecker appelle [Berliner Monatsberichte, mars 1869) la caractéristique du système des surfaces 2, S et Si. Le nombre des points d'inters(!clion de ces trois surfaces (ou si l'on vent de la surface i et de la courbe C) qui satisfont à certaines conditions, diminué du nombre des points d'intersection qui ne satisfont pas à ces mêmes conditions, est ligal d'après le Mémoire cité de M. Kronecker à une certaine
intégrale. Celle intégrale est prise le long des limites du doniiiine —, c'està-dire le long des deux circonférences K et K'.
L'espace pourra être regardé comme partagé eu quatre régions a, b, c, d
suivant le signe des deux fonctions -; — et -r— • Dans la région a, par exemple,
les deux fonctions seront positives: dans la région b, -r- sera positif et -;—
' ^ ' aXi, ^ r/x-2
négatif, etc. A étant positif nu point P, on rencontrera en suivant la circonférence K les quaire régions dans l'ordre circulaire abcd, pourvu toutefois que /■ soit suffisamment petit. Nous supposons qu'on ait parcouru R de façon à laisser à sa gauche le domaine i. L'intégrale de M. Rronecker le long de K. est alors égale à i . A étant négatif au point Q, on renconlrera en suivant R' les quatre régions dans l'ordre circulaire adcb, si l'on décrit cette circonférence dans le même sens que R. Mais si l'on veut laisser le domaine — à sa gauche, il faut décrire R' en sens contraire et alors les quatre régions se succèdent dans l'ordre abc/. L'intégrale est donc encore égale à i et l'intégrale totale est égale à 2.
Le nombre des points d'intersection de 2 et de C est donc au moins égal à 2 ; et aucun de ces points ne peut appartenir à B. 11 faut donc que par le point M passe une seconde branche de la courbe C. c. o. f. d.
(Dans le cas où le théorème de M. Rronecker s'applique à une multiplicité
à deux dimensions et à deux fonctions X et Y, et où par conséquent son intégrale doit être prise le long d'une courbe fermée, on voit aisément que cette
iniégrale est égale à la demi-différence du nombre de fois que .. saute de — 00
à +00 et du nombre de fois que ,. saute de 4- 00 à — 00 . )
Le résultat s'étendrait sans peine au cas où nous aurions un plus grand nombre de variables. Le théorème de M. Rronecker serait en effet encore applicable.
Résumons les résultats de ce paragraphe.
Les formes d'équilibre du système considéré sont données par les «équations
d.r, d.v-i ' ' ' dx'„
Ces 71 équations auront un certain nombre de solutions réelles et quand y variera d'une façon continue, ces solutions varieront elles-mêmes d'une façon continue Je manière à former diverses séries linéaires de formes d'équilibre . H. p — vu.
5o SUR L'EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.
11 pourra d'ailleurs arriver qu'une uièine forme d'équilibre apparlienue à la fois à deux ou plusieurs séries linéaires. Nous dirons alors que c'est une fo?' me de bifurcation. On peut, en eflel, pour unu valeur de )• infinimenl voisine de celle qui correspond à celle forme, trouver deux formes d'équilibre qui diffèrent infiniment peu de la forme de bifurcation.
Il peut arriver également que deux séries linéaires de formes d'équilibre réelles viennent, quand on fait varier y, à se confondre, puis à disparaître, parce que les racines des équations d'équilibre deviennent imaginaires. La forme d'équilibre correspondante s'appellera aXovs forme limite.
Une forme d'équilibre ne peut être une forme de bifurcation ou une forme limite qu'à la condition que A soit nul. Il résulte de là que si les équations d'équilibre admettent pour une certaine valeur de i' une solution pour laquelle A ne soit pas nul, elles en admettront encore une et inliniment peu différente de la première, pour les valeurs de y suffisamment voisines de celle que l'on avait considérée d'abord. En effet s'il n'en était pas ainsi, la forme d'équilibre qui correspond à la première solution serait une forme limite, ce qui exigerait que A fiit nul.
Si l'on suit une série linéaire de formes d'équilibre réelles en faisant varier 7et que l'on voie A s'annuler et changer de signe, la forme d'équilibre correspondante ne peut être une forme limite puisque les formes d'équilibre très voisines qui appartiennent à la série linéaire sont supposées réelles. II résulte de ce qui précède que c'est toujours une forme de bifurcation.
Si, enfin, en suivant une série linéaire de formes réelles, on voit A s'annuler, mais sans changer de signe, on est sûr, pour la raison que je viens de dire, que la forme correspondante n'est pas une forme limite. Elle peut être une forme de bifurcation, mais il n'en est pas toujours ainsi.
