III. — Échange des stabilités

Considérons la forme quadratique

* =7, / . XfX/ a = \,-i h; /. =1, 2, ..., Il )

^U ri Xi dXk

contenant les n indéterminées X), X^., . . ., X„. Cette forme aura pour discriminnni A.

Pour que l'équilibre soit stable, il faut et il suflil (puisqu'il s'agit d'un (''qui-

SUR l'Équilibre dune masse fluide en rotation. 5i

libre absolu) que la ionclion des forces F soit maximum, cesl-à-dire que la forme «t soit définie négative.

Imaginons qu'on ait décomposé la forme <I> en une somme de n carrés :

<I) = So:,Y,- ^ (1=1,2, /i),

OÙ \, est une fonction linéaire des X. Supposons que parmi les coefficienls c, que j'appellerai coefficienls de stabilité, il y en ail v positifs el « — v négatifs. A sera positif si n — v est pair, et négatif si « — v est impair. A sera nul quand un des coefficients x s'annulera. Enfin il y aura stabilité si tous les coefficients de stabilité sont négatifs. 11 est inutile de faire observer que le nombre v est indépendant de la manière dont la forme <I» a élé décomposée en carrés.

Supposons que pour .rj = 3^., := . . . := x„ = o, y = o, on ait une forme d'équilibre de bifurcation, c'est-à-dire aue les n dérivées partielles -r— s'annulent ainsi que A. Je dis que nous pourrons toujours supposer que l'on a aussi

dxi dxk

En ell'et, cela revient à dire que la forme "I» ne conlieut pas de termes rectangles ; or, s'il n'en était pas ainsi, on pourrait toujours décomposer la forme *b en carrés, comme on l'a dit plus haut, c'est-à-dire qu'on pourrait, par une transformai ion linéaire, faire disparaître les termes rectangles. Les coefficienls de

stabilité sont alors -r^i -r^ , • • . - ——7 ■ Pour que A s'annule, il faut el il suffit

qu'un ou plusieurs de ces coefficienls s'annulenl. Supposons par exemple que

-T-rr s'annule et que les autres coefficienls ne s'annulent pas. Supposons enfin

(tX\

que la fonction F soit holomorphe el puisse se développer suivant les puissances de X et de y.

De l'équation-; — = 0 nous tirerons x-i en fonction holomorphe de Xt.

.Z;,, . . ■ , Xn et )'. Pour que cela soit possible, il suffit que -j-rr ne soit pas nul,

ce qui a lieu en ellél. Substituons ensuite partout à la place de Xo la valeur

dV

ainsi trouvée. De l'équation-; — = o, nous tirerons ensuite X\ en fonction holomorphe Aq X\,,x r„ et )•. Cela est encore possible parce que -r-^ n'est

pas nul. On continuera de la sorte jusqu'à ce qu'il ne reste plus que deux

variables .ri el r et une seule équation d'équilibre -7 — = o. ( )uanl à x-,.

' ' dx I ^

,r;;, r,M les autres équations d'équilibre, résolues comme on vient de le

dire, les fournissent sous la forme

(i) .(•,.= Ço(xi, r), X3= =3(j-,, )■;, ..., ,r„= 9„(j.-,, i).

les o étant liolomorphes.

Quant à l'équation y^ = o, elle s'écrira, toutes réductions faites.

0 représeiiinni uu ensemble de termes de degré supérieur au second en x, ei y. On voit que si ,ri et y sont les coordonnées d'un point dans un plan, cette équation représente une courbe à point double, ce qui montre de nouveau que la forme d'équilibre considérée est une forme de bifurcation. Nous supposerons { ' )

b- — tic > o.

Nous tirerons alors, de l'équation (2), .r^ en fonction de ^' de deux manières différentes

(3) . ;r, = 0iO'). .r, = 4'.,(/),

les ■]) étant holomorphes. Les deux équations (3) jointes aux équations ( i ) nous donnent les deux séries linéaires de forme d'équilibre.

Formons A et considérons le d'abord comme fonction de x,, x-^. ■ . . . x,, et i'.

En remplaçant Xn Xn par leurs valeurs tirées des équations (1), A ne sera

plus fonction que de Xt et de y cl l'on reconnaîtra aisément que

A = 2M{ (lu:, -+- h y ) H- Ai,

M étant le produit des n — 1 dérivées -i—^i -r-^i • • • 1 -t-t et A) étant un ensemble

de termes de degré supérieur au premier.

L'équation A =: o représentera alors une courbii A passant pai' l'origine dans lo plan des x, y et l'équation fa) représentera une courbe C formée de deux branches B (!t B'. Les équations de ces deux brandies de courbe qui ne sont autres que les équations (3) pourront s'écrire

(') Si O- — ac est nul, Im forme J'équilibre e»l eu yénunil une Inruic limite; ccponiljint. 'Ili est de Ijifuication dans certains cas exceptionnels. (.1. L.).

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 53

Y, et V.j étant des termes de degré supérieur au premier. Si dans l'expression A on remplace x, par 'L, ( )-) ou par '^^(y), on trouve

A = ± 2M \/6=— acj -H A>,

Aj représentant un ensemble de termes de degré supérieur au premier. Le signe + se rapporte à la substitution de '!),, c'est-à-dire à la branche B el le signe — à la substitution de iJ^-2, c'est-à-dire à la branche 15'.

Ainsi, que l'on suive la branche B ou la branche B', on verra A changer de signe en même temps que )■. De plus pour toutes les valeurs de )•, voisines de zéro, A a des valeuis de signe contraire, selon qu'on suit la branche B ou la branche B'. Par exemple, pour )■ positif, A sera positif sur la branche B et négatif sur la branche B'; pour }■ négatif, ce sera le conlraire, A sera négatif sur la branche B et positif sur la branche B'.

Supposons qu'à l'origine, un des coefficients de stabilité soit nul (ce qui est conforme à l'hypothèse faite plus haut), que v de ces coefficients soient négatifs et n — V — I positifs. Dans le voisinage de l'origine, il y aura toujouis (par raison de continuité) v ou v + 1 coefficients de stabilité négatifs. Si v est pair, il y en aura v toutes les fois que A sera positif el v + i toutes les fois que A sera négatif. Ce sera le contraire si v est impaii-.

Il résulte de là que, si pour y positif, on a v coefficients négatifs sur la branche B et v + 1 coefficients négatifs sur la branche B', ce sera l'inverse pour r négatif et l'on aura alors v + 1 coefficients négatifs sur la branche B et v sur la branche B'. Si au conlraire on a pour t positif, v-j- 1 coefficients négatifs sur la branche B el v sur la branche B', on aura inversement, pour j- négatif, V coefficients négatifs sur la branche B et v -f- i sur la branche B'.

Pour qu'il y ait stabilité, il faut et il suffit que tous les coefficients de stabilité soient négatifs. Si donc pour y positif il y a stabilité sur la branche B et instabilité sur la branche B', ce sera l'inverse pour y négatif. De même si pour y positif il y a instabilité sur la branche B et stabilité sur B', ce sera encore l'inverse pour i- négatif. En d'autres termes, il y a éc/iange des stabilités entre les deux branches B et B' au moment où elles se croisent.

Pour établir ce résultat, j'ai supposé, non seulement que Fêlait continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres, mais encore que cette fonction était holomorphe. Cette hypothèse n'est nullement nécessaire. Pour le faire voir, je vais reprendre le raisonnement en supposant n ^ \ .

Dans ce cas, la courbe C se réduit à une courbe i)lane el A à —, — Soit O le

. point du pian qui correspond à la l'orme d'équilibie de biliucaliou. Uu point ( ) comme centre, décrivons un -cercle R de rayon très petit. Ce cercle K rencontrera la courbe C en un certain nombre de points. Il résulte du raisonnement du paragraphe précédent, que si un arc de courbe joint deux points de C où le signe de A}' ne soit pas le même, cet arc devra couper la courbe C en un nombre impair de points: et que si au contraiic A}'a même signe aux deux extrémiiés. l'arc de courbe considéré devra couper C en un nombre pair de points. Donc si l'on envisage les différents points d'interseclion de C et de K dans l'ordre où l'on rencontre en suivant le cercle K, on verra que S^■ v sera alternalivcment positif et négatif. Le nombre total des points d'intersection est donc pair. Si n-ous supposons en particulier que deux branches de courbe seulement viennent passer au point (), nous aurons alors deux poinis d'intersection «i el a., oii y sera négatif et deux points d'intersection (3, et p^, où;;)' sera positif. La branche 0(3) devra alors être regardée comme le prolongement de la branche «lO; de même que 0^.> comme le prolongement de oi.^O. Je suppose, pour fixer les idées, qu'en a,, A soit positif. Alors d'après la règle qui précède, A sera négatif en X.,. négatif encore en S, et positif en |3^, ce qui confirme le résultat précédemment obtenu. Il serait aisé, d'après les considérations que je viens d'exposer, de voir ce qui se passerait si plus de deux branches de courbes venaient passer en O.

Nous avons dit plus haut que si en suivant une série réelle de formes d'équilibre, on voyait A s'annuler sans changer de signe, on ne pouvait affirmer que la forme correspondante fût une forme de bifurcation. Nous pouvons remarquer que A peut de deux manières s'annuler sans changer de signe. Il peut arriver ou bien que plusieurs coefficients de stabilité s'annulent sans changer désigne; ou bien que deux (ou un nombre pair) de ces coefficients changent de signe. Dans le premier cas, nous ne pouvons en effet rien affirmer; voyons ce qui se passe dans le second.

Nous supposerons pour fixer les idées que

— =o (f^Ai, -—- = ---^=(1.

rf^F d- 1- , rf2 F

r/:rr"' (/xl"""- ■■•' d^,<°-

11 arrivera alors que des n — a équations d'équilibre

dV dV dV (lx< d.r, ' ' ' d.r,, ~

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 55

on pourra tirer x-^, x:,, . . ., Xn en fonctions holoaiorplies de j"i, Xi ety. Si dans les deux autres équations d'équilibre

<1V (JV__

ft.T , (Ix-l

on substitue ces valeurs de X3, x-,, .... x,,, ces équations deviennent ( 4 ) il»! -i- 'Pî = o, <I>', -I- '!>.; = o,

où <1>| et «t'i représentent un ensemble de termes du deuxième degré en Xu ^2, )■ et <I>2 et <I>','un ensemble de termes de degré supérieur au second; (si l'on suppose comme plus haut que la position d'équilibre envisagée soit a?| ^ a:., = . . . ^ Xn=^y = 0).

Regardons X|, Xo Q^ y comme les coordonnées d'un point dans l'espace. Les deux équations (4 ) représenteront deux surfaces ayant chacune à l'origine un point conique du deuxième ordre. L'intersection de ces deux surfaces sera la courbe C. On voit que par l'origine passeront quatre branches de la courbe C, réelles ou imaginaires. IMais une de ces quatre branches est certainement réelle, puisque j'ai supposé au début qu'on a pu suivre, dans le voisinage de la position d'équilibre envisagée, une série de formes d'équilibre réelles. Il faut donc qu'il V ait une autre des quatre branches qui soit réelle. La forme d'équilibre envisagée est donc do bifurcation.

D'où la conclusion suivante :

Pour qu'une forme d'équilibre appartenant à une série linéaire réelle soit de bifurcation, il suffit, non seulement que A change de signe, mais que l'un quelconque des coefficients de stabilité change de signe.