IV. — Cas d'un nombre infini de variables

Les problèmes traités dans les deux paragraphes précédents ne présentent aucune espèce de difficulté. Malheureusement, lorsqu'on recherche la figure d'équilibre d'une masse fluide soumise à diverses forces, la question est beaucoup plus compliquée. En effet, la figure d'une pareille masse dépend, non pas d'un nombre fini de variables x,, x.,, .... x.,. mais d'un nombre infini de variables.

Supposons par exemple une aire piano A peu ditléiente d'un cercle ; l'équation

56 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

de la courbe tjui liuiite celte aire plane pourra s'éciire, en coordonnées polaires (p et o) :

p = r -i- [il cos z -h Pi cos 29-1-...-:- [in cos no + . . . - •;, «in 9 -t- •■;■< sin ?. ç -1-. . . -t- "j'n sin/iç -; . . . ,

les p et les y élanl très petits par rapport à /■, el la ligure do l'aire plane dépendra des coefficients ;■, 3 et y qui sont en nombre inlini.

Supposons que tous les éléments de l'aire A s'attirent en raison inverse des distances el en raison directe de leurs suifaces. 11 résultera de cette attraction une énergie potentielle W qui sera représentée par l'intégrale suivante :

cIm do)' log — )

du> et <iw' étant deux éléments quelconques de l'aire A et A la distance de ces deux éléments. On reconnaît alors que W est une fonction holomorphe de r, des (3 el des y. Je veux dire que si l'on fait varier seulement un nombre fini >i de ces coefficients, les autres restant constanls, W sera une fonction lioloinorphe des n coefficients variables.

Supposons que les [3 et y étant regardés comme très petits, ou calcule l'intégrale W en négligeant les cubes des (3 et des y. On trouvera

On pourra tirer de là la conclusion suivante :

Si l'on suppose que l'aire A soit assujettie à être équivalente à une aire donnée Txr'l de telle sorte que

et qu'en même temps (3( el y, soient assujettis à être nuls, le cercle dont le rayon est ro sera une forme d'équilibre de l'aire A. On déduit de (i) que

et en négligeant toujours les cubes des [3 el des y

Il est d'ailleurs aisé de voir que si l'on regarde W comme une fonction d'un

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. .'J7

nombre fini des coefficienls (3 et ■•, les autres coefficients restant constants, on aura

o> -TUT =-j::r =''■'• i

d%d^„ ' d[.l dfl »V«

dlit dpn ,hi d-^t 11 résulte de là que la série infinie

-^/•;ii;(;i^+v^)Q-i) («=2,3,...)

joue le même rôle que jouait la forme quadratique *t dans le paragraphe précédent, avec cette difierence, qu'au lieu d'un nombre fini de variables X,, Xo, .... X„, il y entre un nombre infini de variables (3„ et '■„■

Les coefficients de stabilité sont alors les quantités t:;;; ( — i). On voit

que tous ces coefficienls sont négatifs, de telle façon que l'équilibre est stable.

Cet exemple permet de voir comment la notion des coefficienls de stabilité peut s'étendre au cas où l'équilibre dépend d'un nombre infini de conditions.

On peut de même étendre à ce cas la notion des formes d'équilibre de bifurcation et des foruies d'équilibre limite. Supposons eu eflet que les forces auxquelles sont soumis les éléments de l'aire A dépendent d'un paramètre jk- Pour chaque valeur de y nous aurons un certain nombre de formes d'équilibre. Lorsque y variera, ces formes varieront aussi, en général d'une manière continue. On aura ainsi un certain nombre de séries linéaires de formes d'équilibre. Pour chacune de ces séries, les coefficients (3 et y seront des fonctions finies, continues, uniformes et réelles de y. Il pourra arriver alors que quand y tendra vers une certaine valeur a, deux formes d'équilibre réelles, appartenant à deux de ces séries linéaires, tendront à se confondre. Lorsque y aura dépassé cette valeur a, il arrivera, ou bien que les deux formes d'équilibre envisagées disparaîtront et cesseront d'être réelles, ou bien qu'elles resteront réelles et cesseront de se confondre. Dans le premier cas, on aura une forme d'équilibre limite. Dans le second cas, une forme d'équilibre de bifurcation. Rien n'est donc changé à ces définitions qui restent les mêmes que dans les cas précédemment examinés.

Il reste à étendre les résultats du paragraphe précédent au cas qui nous occupe actuellement. Il faut montrer que :

1 ' Pour une forme d'équilibre limite, l'un des coefficients doit s'annuler. H. p. — VII. s

58 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

a" Si l'oa suil une série linéaire de formes iJ'c([iiiIibre el si l'on voit un des coefficients de slabililé chantier de signe, la forme qui correspond à la valeur de )■ pour laquelle se fait le changement de signe est une forme de bifurcation.

3" La loi de l'échange des stabilités s'étend au cas qui nous occufie.

Nous démontrerons ces trois propositions en partant de l'hypothèse suivante :

Le nombre des variables étant infini, celui des coefficients de stabilité devra également être infini; mais je supposerai que parmi les coeflicieiits. il n^r en a qu^un nombre fini de positifs.

J'appellerai x\. x-.., . . ., x^, ■ ■ ■ les variables qui définissent la forme du système et }' un paramètre dont dépendront les forces qui agissent sur ce système. Je supposerai que ces variables ont été choisies de telle sorte que pour la forme d'équilibre envisagée el que nous appellerons A, on ail

o = >• = Xi = a:-2 = . . . = x„ = . . . .

Si dans la fonction des forces F(x, i) on fait j- ^ o, nous pouvons encore supposer que les variables jc aient été clioisies de telle sorte que l'on puisse écrire, en négligeant les cubes des quantités x supposées très petites :

l-'(x, o) = \ + 3.1X1^ y-ixi-i- .. .-t- oi.„Xf,-\- a„,.i.ï,-j^, -i- . . . -1- ■j.pxfi-h....

Nous supposerons, conformément à l'hypothèse faite plus haut, que parmi les n coefficients «f, y.^, . . . , st„ il peut y en avoir de positifs ou de nuls, mais que tous les coefficients suivants z„+i, <Z;,+'j, . . . , y.,,, . ■ . sont négatifs.

Avant d'aller plus loin, je dois faire une autre remarque. Quand nous n'avions qu'un nombre fini de variables, nous regardions la fonction F comme définie pour toutes les valeurs de x, ou du moins pour toutes les valeurs suffisamment petites de ces variables. 11 n'en peut plus être de même ici. La fonction F ne sera définie que quand une certaine série à termes positifs

(2) Àl I .i'i i -t- À2 I i-2 i -•- Xs I .-Cs I -4-. . .-f- /.„ I X„ I -<-. . .

sera convergente. Le chois des variables x étant encore arbitraire dans une certaine mesure, nous pouvons supposer qu'on les ait choisies de façon que tous les À soient égaux à 1 .

Cela posé, nous pouvons passer à la démonstration des trois propositions énoncées ci-dessus.

I" Je dis d'abord que si aucun des coeflicienti^ a n'est nul, la forme A ne

SUR l'Équilibre dune masse fluide en rotation. 69

pourra èlre une forme limite, c'est-à-dire que pour des valeurs de t très petites (mais d'ailleurs positives ou négatives), le sjstème sera susceptible d'une forme d'équilibre très voisine de celte forme A.

Pour le démontrer, je vais introduire dans le système des liaisons exprimées par les équations suivantes :

ji, J-.J, . . ., fa étant des constantes que nous regarderons comme données. Les conditions de l'équilibre du système, assujetti à ces liaisons, dépendront naturellement du choix des n + 1 paramètres y, Vi, jo, .... r„ et elles seront exprimées par les équations en nombre infini :

Dans le cas particulier où

y = Vt = )., = . . .= v„= o, l'équilibre aura lieu pour

c'est-à-dire en même temps que l'équilibre du système supposé libre. Mais il y a une différence importante entre les deux cas. L'équilibre du système libre est instable parce que parmi les coefficients «i, a.,, . . ., a,,, il y en a de positifs. L'équilibre du système à liaisons sera stable parce que tous les coefficients y.n+\i 3.11+i, . . . , ^p, ■ ■ ■ sont négatifs.

Je dis que pour les valeurs des m + 1 paramètres y suffisamment voisines de zéro, le systèm,e à liaisons sera susceptible d'une forme d'équilibre stable très voisine de la forme A. Eu d'autres ternies, si l'on fait

(3) ' .v = fi, 7i = Pi, ■•■, Jtt=8„,

on pourra prendre les [3 assez petits pour que la fonction F soit susceptible d'un maximum (en tenant compte des liaisons) et pour que ce maximum ait lieu pour des valeurs des x aussi petites que l'on veut.

Appelons en effet D le domaine comprenant tous les systèmes de valeurs des variables Xn+i, Xn+2f • • -, a?^, • ■ • qui sont telles que la série

(4) — a-n+ix'j;^, — a„^nx'^^.,— . . .— XpxJ, — . . .

soit convergente et ait une somme plus petite que e. La limite du domaine D

r.o SlIR I. ÉQUILIHRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

se composera d'un iloniaine d coiupreuaui Lous les systèmes des valeurs des x tels que la série (4) soil convei-genle el ait une somme égale à £.

Quand les )■ sont nuls, la fonction F est égale à A quand les x sont nuls, et à A- — z-'-Z quand les x appartiennent au domaine <3 (Ç étant un infiniment petit d'ordre supérieur à celui de z). Donnons maintenant aux i- les valeurs (,]). I,a fonction F étant continue, nous pourrons prendre les (b assez petits pour que F dillère aussi peu que nous voudrons de A quand les x sont nuls, et aussi peu que nous voudrons de A — £ + Ç quand les x appartiennent au domaine d. On pourra donc prendre les |3 assez petits pour que F soil plus grand quand les X sont nuls qu'en aucun point du domaine o.

11 en résulte que la fonction F prendra en certains points du domaine D des valeurs plus grandes qu'en aucun des points de la limite de ce domaine. Il faut donc conclure qu'en un certain point du domaine D, la fonction F atteint un maximum. Il est nécessaire toutefois, pour que cette conclusion s'impose, que l'on admette que la fonction F ne va pas en augmentant indéfiniment à mesure que la série (2) devient de moins en moins convergente. Il y aurait bien des objections à faire, mais on ne saurait exiger en Mécanique la même rigueur qu'en Analyse pure pour ce qui concerne l'infini.

Le principe auquel nous sommes ainsi conduits peut s'énoncer ainsi ;

Si un système mécanique quelconque, et en particulier une niasse iluide, est en équilibre stable sous l'action de certaines forces, et si l'on vient y appliquer en outre des forces perturbatrices infiniment petites, ce système prendra sous l'action de ces forces une figure d'équilibre stable infiniment peu différente de sa figure primitive.

Se ne crois pas qu'on puisse le mettre sérieusement en doute, malgré les objections dont je viens de parler et qui sont de nature à intéresser plutôt l'analyste que le mécanicien.

Cela posé, la forme d'équilibre stable du système à liaisons doit être regardée comme définie; elle le sera, par exemple, par les équations

Les fonctions (j> seront des fonctions continues des (5 el elles s'annuleront avec (3 quelles que soient les valeurs de (3i, 3^, . . . , j3„.

Si nous substituons dans F ces valeurs des a;„.i, x„+-i-, ■ ■ ■ ■ Xp, . . . , cette fonction ne dépendra plus que de (3, ^^, [3,, . . . , (3„.

11 faut maintenant chercher quelles valeurs on doit donner à p,, (3.j, . . ., |3„

SUR L EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 6l

pour que l'équilibre subsiste (saas toutefois rester stable) quand on supprime les liaisons. 11 faut pour cela que l'on ait

^ OF dV

Eu d'autres termes, il faut considérer que, les x étant délinis par les équations (5), la figure du système ne dépend plus ((ue des n variables pj, [3.,. .... p,,, et il faut chercher les conditions d'équilibre du système ainsi défini.

Je veux faire voir (jue pour les valeurs de (3 voisines de zéro, ce système admet une forme d'équilibre. Pour cela il me suffit, puisque ce système ne dépend plus que d'un nombre fini de variables, de chercher les coefficients de stabilité pour (3 = o.

Or pour 3 = o, puisque les fonctions o s'annulent, on a

'n Pô •

Z étant un ensemble de termes d'ordre supérieur au second par rapport auv |j.

Les coefficients de stabilité sont donc y,, ao y.,, et, coninie aucun d'eux

n'est nul, la forme d'équilibre considérée ne peut être une forme limite, et l'équilibre sera encore possible pour les valeurs de ^ voisines de zéro.

Ainsi, même lorsque la forme du système dépend d'un nombre inlini de variables, une ligure d'équilibre ne peut être une figure limite à moins que l'un des coefficients de stabilité ne s'annule.

2" et ■>" Il resterait à établir les deux autres propositions énoncées plus haut. Ou les démontrerait par une méthode absolument identique. On introduirait dans le système les liaisons

^6) ■'.-■. = [il, .'>.= 'fi^., ..., .?-•„= p„,

de façon que la forme d'équilibre A devienne stable. On trouverait alors que pour

y = ?, a.'i= [il, x„= j3„

le système à liaisons est susceptible d'une position d'équilibre stable définie par les équations

Si l'on suppose maintenant les x assujettis à ces équations (5), mais que l'on supprime les liaisons (6), la fonction F ne dépend plus que des (3, la figure du système ne dépend plus que de n variables, (^n est donc ramené au cas

fia SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

(J uu nombre liai Je variables, aiitjuel les propositions énoncées s'applicpienl d'elles-mêmes.

En résumé, il résulte tles considérations exposées dans ce paragraphe que les résultats des paragraphes II et [II s'étendent au cas d'un système dont la figure dépend d'une infinité de variables, et en parliculior nu cas d'une masse fluide soumise à diflérentes forces.