V. — Première application
MM. Tail et Thomson ont annoncé sans démonstration que, paiini les ligures d'équilibre dont est susceptible une masse fluide animée d'un mouvement de rotation, il y a une figure annulaire de révolution.
On peut démontrer ce résultat en appliquant les principes exposés dans les trois paragraphes précédents.
Je considère une masse fluide homogène égale à M et animée d'une vitesse de rotation &) autour d'un axe quelconque que je prendrai pour axe des z. Je suppose que toutes les molécules de cette masse s'attirent conformément à la loi de Newton. Je choisirai les unités de telle façon que la densité du fluide soit égale à i, et que l'attraction de deux unités de masse à l'unité de distance soit égale à l'unité de force.
Je puis assujettir la masse fluide à afl'ecter la forme d'une figure de révolution. Si l'équilibre a lieu en tenant compte de cette liaison, il arrivera, en vertu de la nature même du problème, que l'équilibre subsistera encore quand elle sera supprimée. Cette liaison ne change pas les conditions d'équilibre, elle n'inllue que sur les conditions de stabilité dont nous ne nous occuperons pas pour le moment.
Soit R la dislance à l'axe du centre de gravité de la section méridienne et -ri; l'aire de cette section. On aura
Le plan des xy sera le plan perpendiculaire a l'axe et passant pur ce contre de gravité. J'assujettirai encore, pour simplifier un peu les calculs qui vont suivre, la (igure de la masse fluide à rester symétrique par rapport au plan des xy- H est clair que si l'équilibre a lieu avec cette liaison, il subsistera encore sans celte liaison.
l'onr définir la section méridienne, je me servirai des cooidonnées polaiies p
et cp, en |)i'enaiil le pôle au centre de gravité et l'axe polaire dans le plan des xy. Soit
p = /• H- |j l COS Cf + p2 COS 2 9 - ... -H [j,, COS /t ç ~r . . .
l'équation de la section méridienne.
Ecrivons que l'aire de cette section est égale à Trr,^, il viendra
Écrivons que le centre de gravité de cette section est au pôle, il viendra
(3) '--.31 + r(Pifi5-i- [i2p3-i-...+ (3„p„+, -i-.. . ) -+- S = o,
S étant une série convergente dont les termes sont homogènes et du troisième degré par rapport aux ,3.
J'ai à rechercher s'il existe une ligure d'équilibre peu différente d'un tore. Je dois donc supposer que les j3 sont très petits par rapport à r.
Je supposerai de plus que les rapports r- et par conséquent -^ sont très petits, ainsi que sj.
Cela posé, soit I le moment d'inertie de la masse fluide par rapport à l'axe. Soit
( ■ dm il III
l'énergie potentielle duo à l'altraction nevvtonienne (où dm et dm' sont deux éléments quelconques de la masse et A la distance de ces deux éléments).
Soit - I l'énergie potentielle due à la force centrifuge. L'équilibre aura lieu
quand la variation première de l'expression
sera nulle.
iVous allons encore introduire une liaison nouvelle. Nous supposerons que /o et par conséquent R sont assujettis à conserver des valturs données. Cette liaison, à la différence des précédentes, change les conditions d'équilibre. Posons
Il viendra ('), eu tenant compte de {2).
B -- C -H ^^^^ ( a ri IV' -+- - H rj ) -^ w^ D.
Dans cette équation, A désigne une conslanic lumiérujue qu'il est inutile de déterminer davantage: B est un ensemble de termes contenant ri en facteur: G est un ensemble de termes de degré supérieur au second par rapport aux ,3; enfin D est un ensemble de termes s'annulant avec les 3.
Nous donnerons à A la même valeur dans les é(|uations (4 ) et (5). Il viendra alors
On trouve aisément
1 = - / U-'o- (/s -h 1',- / H-p-' coso i/z -h - - 1 Hp* cos-ç ''r + ~^ 1 p-'cos^ çt/ç. ^11 «-Il "' *^ii ^ it
Mais les équations (2) et (3) peuvent s'écrire
/ p= (/ç. = 2 K ;• j , / p-' cosç c/o = o,
de sorte qu'il reste simplement
D = ^-R I ( pi — rj j cos- 9^/0-4-^ / ( p-' — r^ ) cos= ç c/i. JNous prendrons
de sorte que V sera désormais déterminé.
Comme r„ et R sont provisoirement regardés comme des constantes, le maximum de U aura lieu en même temps (|ue celui de V, de sorte que l'équilibre de notre système à liaisons aura lieu dans les mêmes conditions que si V était la fonction des forces.
.Supposons que dans V, on fasse r„^= o, il viendra
,, i ^ „/i \ G 1 7t"-oj'^ -^ -ov- r/pf N
^ = 4 ^ --^H" -T^ ÂTTiï ^ :î — -" î — ./ (fe -T"^"^ ''^
('; ^''y(/■ aux .Nolub, iiguici n/uiit/uiix's.
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 65
Si nous faisons encore to ;= o, il viendra
Si l'on lient compte de l'équation (3), il vient
E étant un ensemble de termes du second degré au moins par rapport à yo, ys, — On peut donc écrire
F étant un ensemble de termes du troisième degré au moins par rapport
à ys) T3j • • • •
Cette équation prouve que si l'on fait co ^= /„=; o, la fonction V est susceptible d'un maximum ([ui est atteint quand tous les y s'annulent. Les coefficients
de stabilité sont
Comme aucun de ces coefficients n'est nul, la forme d'équilibre correspondante ne pourra être une forme limite, c'est-à-dire que pour les valeurs très petites de r^ et de w, le système à liaisons considéré sera susceptible d'une forme d'équilibre, pour laquelle les y auront des valeurs très petites. On aura alors pour cette forme d'équilibre
(6) yu= ?/,('-o, w),
(B„ étant une fonction continue de i\ et de u s'annulant avec ces variables.
Il reste à chercher quelle valeur il faut donner à ro pour que l'équilibre subsiste encore quand on supprime la liaison que nous avions provisoirement introduite, et quand on n'assujettit plus /"o et R à avoir des valeurs données.
Supposons qu'on remplace dans U les y par leurs valeurs (6) et R par sa valeur tirée de l'équation (i). Alors U ne sera plus fonction que de /'o et de w, et l'on aura la condition pour que l'équilibre subsiste après la suppression de la liaison, en écrivant . ^ dl]
Je dis que pour les valeurs très petites de w, il y aura toujours une valeur H. p. — VII. Q
66 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
très potite de l'o pour laquelle celle coiulilion (y) sera remplie. Nous pourrons écrire
(8) U = Ar5log~^ + — P + C.
Les lelires A, a et B désignent des constantes ne dépendant que de M et C un ensemble de termes très petits par rapport aux deux premiers quand To et co sont très petits. Inutile d'ajouter que les lettres A, B et C n'ont plus la même signilîcation que dans la première partie de cette démonstration.
Soit s une quantité très petite que nous regarderons comme constante et qui sera telle que
aAs log — — 3 As = o.
Nous allons faire varier ;'o depuis 2S jusqu'à zéro. Pour r« ^ 2S, les deux premiers termes de l'expression (8) se réduisent à
4A.- logg^ + 3^ A.- log - - - A.-= — A.- log - + S,.
Pour rii = 5, ces deux mêmes termes se réduisent à
..1 « ii„i « 3.„ 4**„i <5f f.
AsMog— + - A.ç= log - — - As"-= — sMog ^ -I- So.
Enfin pour /-q^ o, on a U =; -f- 00 . Dans ces égalités, Si et Sa désignent des
termes très petits par rapport a s- log - • On a donc :
pour /•„ ^ 25 :
pour r„ = s
pour r,i^ o
U— ^-— 5Mog-= v"^ '"?
2i et 2j sont des ensembles de termes très petits par rapport à 5'- log — > et qui n'influent pas sur le signe de l'expression
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 67
Celte expression est donc posilive pour /o ^ 25, négative pour ro= .y et positive pour /■o= o. Elle s'annule donc deux fois quand l'o varie de 2S à zéro; sa
dérivée -; — doit donc s annuler une fois dans le inème intervalle.
Ainsi pour une valeur donnée très petite de w, on peut trouver un système de valeurs de r„ et des y qui satisfasse aux conditions d'équilibre, et cela après suppression de la liaison que j'avais d'abord provisoirement introduite.
11 en résulte qu'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation est susceptible d'une forme annulaire d'équilibre, qui d'ailleurs est probablement instable.
J'ai donné une esquisse de la présente démonslralion dans le Tome 2 du Bullelin Astronomique ('). J'ai donné également dans ce même Volume une façon de calculer approximativement les éléments de celte figure annulaire. L'analyse que j'ai employée pour déterminer ces éléments présente les plus grandes analogies avec celle dont M™" Kowalevski a fait usage dans ses recherches sur lanneau de Saturne;.
