VI. — Exemples d'équilibres de bifurcation

Dans les n"" 27 et 28 du Livre III de la Mécanique céleste, Laplace Iraite le problème suivant : Une sphère solide de densité p et de rayon c est recouverle d'une couche fluide homogène de densité i. Quelle est la figure d'équilibre de cette couche fluide? Quelle sera à l'état d'équilibrt; la forme de la surface libre de celle couche ?

Une des formes d"é(|uilibre est évidemment une sphère concentrique à la sphère solide, auquel cas l'épaisseur de la couche fluide est uniforme.

On peut se demander s'il y en a d'autres. Pour cela appelons

r= «(l-Haj)

la distance au centre d'un point quelconque de la surface libre. On développera j^ en série de fonctions sphériques

y = Yo-H Y,-i-. ..-H Y,-H-. . .

(') mCuvri-'s de H. Poincaré, ce Tome, p. 17.

el réquation d'(W]iiililu-i', comme riiidiquc Ijaplace, page 8- (édition de 18-8), s'écrira

pourvu loiitetois que l'on néglige le carré de oe.

Quant à l'énergie potentielle, elle a pour expression

W = A -^-:<-^y" [(p,-i )YÎ+ (p,- ^) Yi+. . . j rfo

en négligeant le cube de oc. A est une constante et l'intégrale est étendue à tous les éléments c/w de la surface sphérique {Cf. Résal, Mécanique céleste., i", édition, p. 238).

J'ai posé pour abréger

Cette expression de W montre qu'on a une forme d'équilibre quand tous les Y s'annulent, c'est-à-dire quand l'épaisseur de la couche lluide est uniforme. Les coefficients de stabilité sont

Pi — Il pi — 7' •••) pi — ; — ■' ■•••

L'un d'eux s'annulera si l'on a

pi =

V étant un entier positif. A chaque valeur de pi correspond une forme d équilibre parfaitement définie qui est la sphère. Ces sphères formeni une série linéaire de figures d'équilibre réelles. Si donc l'un des coefficients de stabilité s'annule, c'est que la sphère correspondante est une forme d'équilibre de bifurcation.

Etudions d'un peu plus près ce qui se passe. Dans le u° 27, Laplace suppose que la couche fluide considérée est assujettie à conserver une figure de révolution autour de l'axe des z. Dans cette hypothèse, la fonction sphérique Yv se réduit au •>'"""' polynôme de Legendre, de sorte qu'il n'y a qu'un seul coefficient de stabilité qui soit égal à p, ; ( )n est ainsi ramené au cas le plus

simple, celui où un seul coefficient de stabililité s'annule et où la forme de ijifurcalion appartient à deux séries linéaires de forme d'équilibre réelles.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 69

Laplace semble dire qu'il ne peut y avoir en général ([u'iine seule forme

d'équilibre lorsque l'on n'a pas

pi =

el que lorsque celte relation a lieu, il y a deux formes d'équilibre, puisque xy est susceptible de deux valeurs, dont l'une est donnée par la supposition de y = o, el dont l'autre est donnée par la supposition de )• égal au v'"'""' polynôme de Legendre.

Ce passage a dû paraître obscur à plus d'un lecteur. En effet Laplace ayant négligé les puissances supérieures de a, ce coefficient n'intervient plus dans l'équation d'équilibre (i); il semble donc qu'on puisse le choisir arbitrairement, et alors on n'aurait plus deux figures d'équilibre, mais une infinité, qui seraient comprises dans l'équation générale