XY

X étant une constante arbitraire et Y,, le v"*™" polynôme de I^egendre.

Il semblerait donc que pour les valeurs de pi différentes de — 1 la sphère

serait la seule figure d'équilibre possible, et que pour les valeurs de p, de la forme — j il v aurait une infinité de figures d'équilibre indiiî'érent. Mais les

termes de degré supérieur en x empêchent qu'il en soit ainsi.

Pour les valeurs de pf très voisines de ; — 1 il y a deux figures d'équilibre :

l'une est une sphère, et l'autre est très peu différente d'une sphère. Toutes deux se confondent pour

pi =

Il y a cependant une exception; pour v = 1 , on trouve pi = i . La densité de la sphère solide étant alors la même que celle de la couche fluide, le sphéroïde est homogène, el l'équilibre subsistera quand la surface libre, au lieu d'être une sphère concentrique à la sphère solide, sera une sphère dont le centre sera quelconque (pourvu toutefois que les deux sphères ne se coupent pas).

L'équilibre est donc indifférent. I*our pi=i, la figure formée parles deux sphères concentriques esl donc encore une figure de bifurcation, mais on se trouve dans un de ces cas exceptionnels que j'ai signalés au paragraphe IL Celte figure appartient bien encore à deux séries linéaires de formes d'équilibre. Mais il n'arrive plus, comme cela a lieu d'ordinaire, que pour chaque

70 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

valeur pi voisine lie i, on trouve dans chacune des deux scories une figure d'équilibre et une seule. Une seule des deux séries présente ce caractère; l'autre est une série de formes d'équilibre indifférent qui correspondent toutes au cas de pi ^ I .

Dans le n" 28, Laplace passe au cas où la ligure d'équilibre n'est plus assujettie à être de révolution. Dans ce cas il y a p.v + i fonctions sphériques Y^

linéairement indépendantes. Donc quand p, devient égal à — — i il y a 2v-f-i coefficients de stabilité qui s'annulent à la fois. Donc pour les valeurs de pi très

voisines de ; > il y a non pas deux figures d'équilibre peu dillérentes d'une

sphère, mais un plus grand nombre. Il y en a même une infinité, si l'on tient compte de ce fait que si Ion a une figure d'équilibre non sphérique, l'équilibre subsiste quand on oriente celle figure d'une manière quelconque.

Je pense que ces remarques suffiront pour éclaircir ce qu'il pouvait y avoir d'obscur dans le texte de Laplace.