VII. — Stabilité de l'équilibre relatif

Il est très facile de trouver les conditions de stabilité de l'équilibre absolu d'un système matériel rapporté à des axes fixes; pour qu'un tel équilibre soit stable, il faut et il suffit que la fonction des forces soit maximum. Mais le problème de la stabilité de l'équilibre relatif d'un système matériel rapporté à des axes mobiles est infiniment plus compliqué. Cette théorie n'a jamais, à ma connaissance, été convenablement traitée que dans le Treatise on Natural Philosophy de MM. Tait et Thomson. Elle repose sur la distinction de la stabilité séculaire et de la stabilité ordinaire; j'en vais rappeler les principaux résultats, en donnant sur un point des compléments qui me seront utiles dans la suite.

Supposons que la position du système envisagé par rapport aux axes mobiles soit définie par n variables j"i, x^. . . ., x,,, choisies de telle sorte que l'équilibre ait lieu pour

j;i = xo = . . . = ,r„ = o.

.Si l'on dérange très peu le système de sa position d'é(|uilibre, les valeurs de Xi, x^i^ . . ., .r„ seront très petites et, si \\n\ néglige les carrés de ces quantités, les équations dilférentielles qui en définiront les variations seront linéaires.

On irouvera donc

x,='^A,„[i, m Je'".' 1 i = 1, ■}, ..., n; m = i, 2, .... 2«).

Dans celle formule les A„i sonl des constanles d'intégration, les [i, m] el Ics/.„i sont des constantes qu'il esl aisé de déduire des équations difTérenlielles du problème.

Si tous les ).„, sonl purement imaginaires, il v a stabilité. Si tous les }.„, ont leur partie réelle nulle ou négative, il y a encore stabilité (et ce cas peut se présenter si l'on tient compte des résistances passives, telles que la viscosité des liquides). Si enfin un des l„i a sa partie réelle positive, il y a instabilité.

F^es X„, sont donnés par une équation algébrique de degré 2n, de sorte que pour trouver les conditions de stabilité, il suffit de discuter cette équation en 1.

Nous supposerons que toutes les forces réelles auxquelles le système est soumis sont les actions mutuelles de ses parties, de telle sorte que le moment de la quantité de mouvement du svstéme soit constant. Parmi ces forces réelles, nous distinguerons les forces indépendantes de la vitesse qui devront admettre une fonction des forces dépendantes de la vitesse, c'est-à-dire les résistances passives dues à la viscosité. Le travail de ces dernières forces doit toujours être négatif.

Outre les forces réelles, le système sera soumis à deux sortes de forces apparentes : la force centrifuge ordinaire, indépendante de la vitesse, el la force centrifuge composée, dépendante de la vitesse; le travail de celte dernière est toujours nul.

Soit T la demi-force vive el U l'énergie potentielle due à toutes les forces indépendantes de la vitesse, y compris la force centrifuge ordinaire. Si nous négligeons, comme il convient de le faire, les puissances supérieures des x el si nous supposons que U soit nul dans la position d'équilibre, T sera une forme

quadratique par rapport aux a:'-=^ —j^ et U une forme quadratique par rapport aux Wi-

Nous poserons selon l'usage

de sorte que les équations différentielles s'écriront

dpj^ __d\} >hri dT

lù ~~ dxt'^ " ~dt ~ dfi'

Uaus CCS cqualioos les \i représenlenl renseiiible des ternies provenant des forces dépendantes de la vitesse. Si l'on néglige les puissances supérieures des X, les V slm-ouI linéaires par rapport aux p. Les équations difiérenliellos seront donc linéaires.

Dans le cas de l'équilibre absolu, c'est-à-dire si le mouvement de rolalionest nul, il faut et il suffit pour la stabilité que la fonction des forces soit un maximum, c'est-à-dire que la forme quadratique U soit définie positive.

Celte condition est encore suffisante, mais elle n'est plus nécessaire, s'il y a un mouvement de rotation. Ainsi, pour parler le langage des paragraphes précédents, si tous les coefficients de stabilité sont négatifs, il y aura certainement stabilité, mémo dans le cas d'un mouvement de rotation.

Dans un très grand nombre de problèmes, on peut négliger la viscosité; si dans cette h^-pothèse l'équilibre relatif est stable, il y aura stabilité ordinaire; si l'équilibre reste stable quand on tient compte de la viscosité, il y aura stabilité séculaire.

Il peut y avoir stabilité ordinaire sans qu'il y ail stabilité séculaire; il arrive alors, si la viscosité est très faible, ce qui est souvent le cas, que la figure du système se maintiendra pendant fort longtemps, mais finira toujours par être bouleversée.

Pour qu'il y ait stabilité séculaire, il faut et il suffit que la forme U soit définie positive, c'est-à-dire que tous les coefficients de stabilité soient négatifs.

Les conditions de la stabilité ordinaire sont beaucoup plus compliquées. Bornons-nous à dire que celle stabilité ne pourra jamais avoir lieu si le nombre des coefficients de stabilité qui sont positifs est impair.

Tels sont les résultats très précis que l'on trouve démontrés dans l'Ouvrage de MM. Tait et Thomson. Il y a toutefois une importante restriction à faire et sur laquelle je désirerais attirer l'aUention. L'argumentation de MM. Tail et Thomson repose tout entière sur cette hypothèse que le travail de la viscosité est toujours négatif (et non pas nul) pour tous les mouvements possibles. Il n'en est pas toujours ainsi.

Supposons par exemple une masse fluide isolée dans l'espace. Si cette masse se déplace sans se déformer, ce mouvement ne sera contrarié par aucune résistance passive analogue à la viscosité. Le travail de la viscosité sera alors nul et non pas négatif. Nous devons donc, si nous voulons appliquer le théorème de MM. Tail et Thomson, supposer qu'on a introduit dans le système des

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 73

liaisons telles que la masse fluide ne puisse se déplacer sans se di'^former. Si l'on fait cette hypothèse, la proposition est applicable, et l'on peut dire que les conditions de stabilité sont les mêmes si l'on tient compte à la fois de la viscosilé et de la force centrifuge composée, ou bien si l'on néglige à la fois ces deux forces.

Avant de terminer ce qui concerne cette stabilité de l'équilibre relatif, je dois examiner un cas parti-culier. Supposons qu'à l'état de l'équilibre relatif, le système envisagé affecte une figure de révolution autour de l'axe des z. Pour simplifier l'exposition, nous supposerons qu'à l'état d'équilibre, toute la matière du système soit uniformément répartie sur n circonférences parallèles dont les rayons seront ri, rn, ..., Vn- Soit m une molécule appartenant au parallèle de rayon r,-. Supposons que l'on déplace cette molécule de telle façon que sa distance au plan des xy augmente de s,-, sa distance à l'axe des z augmente de a,- et qu'enfin le dièdre du plan mOz avec le plan xO z augmente de — '• Si les quantités ?<,-, Zi et r,- sont les mêmes pour toutes les molécules

d'une même parallèle, le système adeclera encore, après cette déformation, une

figure de révolution. Si l'on suppose de même que —r^ = u\

sont les mêmes pour toutes les molécules d'un même parallèle, la demi-force vive totale du système a pour valeur

A(, A2, ..., A„ étant n constantes que nous regarderons comme données. Enfin l'énergie potentielle U ne dépendra que des u et des 5, tant que les quantités m,-, c, et Zi conserveront la même valeur tout le long d'un parallèle. Les équations du mouvement seront alors, en supprimant toute viscosilé :

r/-ui d\} ,'/•'/ , <^I'-Vi . dui , d-Zi d\i

^'~rrr =— Zi iKiW-j-i A,— ^— = 2 A, (0—7-, A,— ;— = j-t

dl- diii dl dt- dt dr- dzC

w désignant la vitesse angulaire de rotation due au mouvement d'entraînement. Ces équations sont linéaires en «/,, c, et Zi. On y satisfera en posant

Ui=aiCOS/.t, ;,= 6,cos?. ;, (',= 2 a,- r- sin Xz

et une condition nécessaire pour qu'il y ait stabilité, c'est que les valeurs de 1

qui permettent de satisfaire de la sorte à nos équations différentielles soient

toutes réelles. On voit par ces équations que si les conditions initiales du mou-

ditj I dvi I dzi

~dt '^'^''~dt~^'''dt

^4 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

veinent sont toiles que «,-, c,, :;/, u\ , v\ , z\ soient les mêmes toul le long d'un parallèle, il en sera encore de même au bout d'un lemps quelconque et le système restera de révolution.

On [)ourra trouver pour >, un certain nombre de valeurs distinctes que j'appellerai ±: ).i, ± Xj, ... el l'intégrale générale des é([uations proposées en supposant ijue le système reste de révolution sera

Ui= 2,^P"'P COS(Apt-\-Ef,),

:,■ = V B;, 6,7, cos ()./,/-!- £/,)>

<■/ = 2 <o^ B,, Y^ ?iii ( >v' ' + £/>)>

les B/, et les s,, étant 2/) constantes d'intégration. Mais on doit avoir

C étant une constante. Il est facile de voir que si U n'est pas une forme définie positive, on peut choisir les conditions initiales du mouvement de telle sorte que la constante C ait le signe que l'on veut. On trouve

T = Do-f- 2Dpros2(X^Z + £,,) + S D;,^ cos[(X,, -1- X,)< + £^-4- E,]

(j = Eo+ 2E^ cos2().p« H- i,,)-h S(E/,^ ou E^,./ ) cos [( À,, -4- 1^)1 -+- ip±s^].

On a donc

Do + Eo = G, D,, -+- E^ = o, Dp^ -h iip.f = o, D^„, + E^„^ = o.

On trouve d'ailleurs en faisant attention à la nature des formes T et U et à la forme des équations (i) :

D„= ^BJ-ï^p, p

2 Eo = 2 B/, A , ( 'i.'j, afp + XJ, bfp -\- \ m"- afp ).

SUR l'Équilibre dune masse fluide en rotation. 76

On lire de là

(2) DoH-E„-2B;,(D,,h-E,,) = SB^A,/.M«,>+6,7.),

el d'autre pari

Do+ E„- SB^(D,,-i- E^) = C.

Les coefficients A,- sont essentiellement positifs. Si donc les l^ sont tous r(^els, le second membre de (2) est essentiellement positif. Mais nnus avons vu que C peut devenir négatif à moins que la forme U ne soil définie positive. Si donc cette forme n'est pas définie positive (au moins tant que le système est assujetti à rester de révolution) il ne peut y avoir stabilité.

Cette démonstration se trouve, sauf la forme et les notations, dans la Mécanique céleste de Laplace (Livre i\', Chap. II, n° lA).

On doit donc conclure que si un système affecte, à l'état d'éijuilibre relatif, une figure de révolutiou, cet équilibre ne jouira pas même de la stabilité ordinaire, si l'équilibre du système n'est pas stable quand on supprime la force centrifuge composée et qu'on introduit des liaisons assujettissant le système à rester de révolution autour de l'axe des z. II faut toutefois observer à quelle condition ce théorème de Laplace est applicable. II pourrait se faire que l'un des 1 fût nul et alors le raisonnement précédent tomberait de lui-même. Il pourrait y avoir encore stabilité en ce sens que la figure extérieure du système demeurerait toujours très peu différente de la figure primitive; mais les divers parallèles tendraient à tourner avec des vitesses différentes.

Il reste à examiner si les théorèmes établis dans les paragraphes précédents subsistent encore dans le cas de l'équilibre relatif. Le premier d'entre eux, d'après lequel, si un des coefficients de stabilité change de signe quand on suit une série linéaire de figures d'équilibre, la forme correspondante est de bifurcation, subsiste évidemment, car le mouvement de rotation et la force centrifuge composée ne changent pas les conditions d'équilibre et n'ont d'influence que sur les conditions de stabilité.

Quant au second théorème, c'est-à-dire au principe de l'échange des stabilités, il subsiste encore en ce qui concerne la stabilité séculaire dont les conditions ne sont pas non plus changées par la force centrifuge composée.

Il subsiste même en ce qui concerne la stabilité ordinaire, mais seulement à la condition qu'un seul des coefficients de stabilité s'annule à la fois. Nous avons vu en effet qu'il ne peut y avoir même stabilité ordinaire quand un seul coefficient de stabilité (ou plus généralement un nombre impair de ces coefficients) est positif et les autres négatifs.

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