VIII. — Fonctions de Lamé
Après ces longs prolégomènes, j'arrive à l'objet principal de ce travail.
Nous nous occupons de délerininer la forme d'équilibre d'une masse lliiide homogène dont toutes les molécules s'attirent d'après la loi de Newton et qui est animée d'un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe des z. Si nous ne nous occupons que des conditions d'équilibre en laissant de côté la question de stabilité, nous n'avons pas à tenir compte de la force centrifuge composée, et nous pouvons traiter le problème comme s'il s'agissait de l'équilibre absolu d'une masse ILiide soumise seulement à l'attraction nowlonienne et à la force centrifuge ordinaire.
Nous connaissons déjà plusieurs séries linéaires réelles de ligures d'équilibre, ce sont les ellipsoïdes de révolution et les ellipso'ides de Jacobi. La figure de ces ellipso'ides dépend de la vitesse angulaire de rotation w qui jouera ici le même rôle que jouait le paramètre k dans les paragraphes II, IH et IV.
Nous pouvons, sans restreindre la généralité, imposer à notre masse fluide certaines liaisons. L'axe de révolution que nous avons pris pour axe des z, peut être regardé comme fixe. Nous regarderons également comme fixe le centre de gravité de la masse. Cela ne suffit pas encore pour notre objet; si l'on se bornait là en effet, on pourrait faire tourner l'ellipso'ide de Jacobi d'un angle quelconque autour de l'axe des s sans que l'équilibre cesse. Ou aurait donc pour chaque valeur de w une infinité d'ellipso'ides à trois axes inégaux qui satisferaient à la question. Afin d'éviter cette circonstance, qui sans pouvoir causer de véritables difficultés, nous gênerait dans l'exposition, nous assujettirons notre système à une liaison de plus, en supposant que le plan des xz soit un des trois plans principaux d'inertie. 11 résultera de cette hypothèse que si un ellipso'ide à trois axes inégaux satisf;iil à la f[uestion, ses trois axes d inertie seront les trois axes de coordonnées, cl de plus le même ellipso'ide satisfera encore à la question quand on l'aura fait tourner de 90° autour de l'axe des z.
Dans ces conditions, voici les résultats bien connus de la discussion des équations d'équilibre.
Quand w'- croît depuis zéro jusqu'à 47rXo,0()3, il y a quatre ellipso'ides qui satisfont à la fjueslion, à savoir doux ellipsoïdes de révolution et deux ellipsoïdes de .Jacobi. Ces deux derniers ne dilTcrenl l'un de l'autre que par leur position, et l'on passe de l'un à l'autre par une rotation de r)o° autour de l'axe des s.
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 77
Pour 0)2= 4^1 X 0,093, les deux ellipsoïdes de Jacobi se confondeal entre eux el avec un des deux ellipsoïdes de révolution que nous appellerons l'ellipsoïde E.
Quand co^ croît de /^n x 0,0098 à 471 X 0,112, il y a deux ellipsoïdes de révolution qui satisfont à la question.
Pour co2^47'XO)'i2 les deux ellipsoïdes de révolution se confondent en un seul E'.
Pour Cl)- > 4^^ X o, I 12, il n'y a plus d'ellipsoïde satisfaisant à la question.
Pour parler le langage des premiers paragraphes, il y a quatre séries linéaires de figures réelles d'équilibre depuis w-^o, jusqu'à ci)'- = 47r X 0,09; il n'y en a plus que deux depuis to- = 4^ X 0,09 jusqu'à w- = ^n x 0,0 1 1 , et il n'y en a plus du tout à partir de cette dernière valeur.
L'ellipsoïde E' est une forme limite puisque, en faisant croître to-, on voit les deux ellipsoïdes réels de révolution se confondre a\ec E' pour devenir ensuite imaginaires.
L'ellipsoïde E est à la fois une forme de bifurcation, (puisqu'il appartient à la fois à la série des ellipsoïdes de révolution et à la série des ellipsoïdes de Jacobi et une forme limite, (puisque, en faisant croître w-, on voit les deux ellipsoïdes réels de Jacobi se confondre avec E pour devenir ensuite imaginaires).
( )utre les ellipsoïdes, on sait qu'il existe des figures annulaires d'équilibre, dont nous avons parlé dans le paragraphe V. Nous nous proposons de rechercher s'il existe en outre des séries linéaires de figures convexes d'équilibre non ellipsoïdales. Pour cela nous chercherons à reconnaître si parmi les ellipsoïdes de révolution et ceux de Jacobi, il y a des formes de bifurcation.
Pour arriver à ce résultat, il faut calculer les coefficients de stabilité de ces ellipsoïdes et rechercher dans quels cas ils s'annulent. On verra plus loin que ces coefficients dépendent des fonctions de Lamé, mais nous allons d'abord rappeler les résultats si remarquables des travaux de Lamé el de Liouville au sujet de ces fonctions.
Nous emploierons dans ce qui va suivre les notations de Liouville dans ses lettres à Brachet (/. Math, pures et appl., 1™ série, t. 11, 1846). Rappelons ces notations.
On donne à l'équation de l'ellipsoïde considéré la forme
p2 pi — 0- f- — c-
78 SUR l'équilibre d"une masse fluide en rotation.
el l'oii dëlinit la posilioii d'un point sur cet elli])S(jïc]e par les deux autres coordonnées elliptiques p. et v.
Une fonction de Lame d'ordre n est une fonction R de l'une des quatre formes
(où P„ désigne un polynôme de degré n en p) et satisfaisant à l'équation différentielle
(B étant une constante convenablement choisie).
Avant d'aller plus loin, indiquons quelles sont les diverses formes qu'il peut être utile de donnera l'équation (i).
Nous poserons
pi = y/p- — 6-, p2 = V'p- — c- ; R = pTo= p[Ti = p2T2= p, P2U0 = PP2U1 = ppi U2.
L'équation peut alors se mettre sous la forme générale
(1') (<!'-+- /"J' + 9) -^ + (^''+ PO' ^ =(lla"--t-K)V.
Dans celte équation générale, cr représente l'une des variables p, pi ou pa, et V l'une des sept fonctions R, ï ou U. On a d'ailleurs
a = 2, Il = «(/i + i) si V = R;
ï = 4, H = „(„H-,)2 si V = T; a = 6, Il = /i(/i-i-i) — 2 si V = U.
D'autre part
/> = — (6-+C-), q = b'-c'- si <T = p ;
p = ib- — C-, q =— b-{c-— b'-) si 'j=pi;
p = 2C- — b-, q = c'-{c-^b'-) si a = po.
Si par exemple cr = p, on obtient :
^ = p, si V = R,
'^ = p — le'-. si V = Ti,
p = 3/), si V = U.
Enfin on trouve
K=— B, si V = R, !i = p;
K= — (B — c2), si V = T|, " = ?;
K=-(B-9), si V = Uo, a==p;
K = — [H -+- n(/î -Hi)^2], si V = R, 1 = pi,
Pour achever de définir la fonction R, nous supposerons
lira — = I pour p = 00.
A chaque fonclion R correspondent deux fonctions M et N que l'on obtient en changeant dans R, p. y/p- — b- et ^p'- — c- en p., ^p.- — b- et y/C- — fx-^ en ce qui concerne M, et en v, y/6'- — v-', y/c- — v'- en ce qui concerne N.
A chaque fonclion R correspondra en outre une fonction S de p définie par l'équation
et satisfaisant comme R à l'équation (i). Liouville pose de plus
P est la distance du centre de l'ellipsoïde au plan tangent. Liouville trouve ainsi les équations suivantes :
rrl'WW d<,y' 4-RSiVlN
Dans celle équation (2) on considère deux points de l'ellipso'ïde ayant pour coordonnées elliptiques p, }!., v et p, p.' et v'; M, N et / sont les fonctions définies plus haut de [x et de v; M', N' et l' sont des fonctions correspondantes de p.' et de v'; A est la distance des deux points p, v et p.'', v'; rftij' est un élément de la surface de l'ellipso'ïde ayant pour centre le point p', v' et l'intégrale est étendue à tous les éléments diJ de l'ellipso'ïde.
Liouville trouve encore (3) /J'/Mi\M,Nir/oj = o,
où (io) est un élément de l'ellipsoide; /, M, N, Mi et N, les fonctions définies plus haut des coordonnées p. et v du centre de cet élément. M et N sont deux fonctions de Lamé conjuguées; Mi et Nj sont deux autres fonctions de Lamé également conjuguées, mais qui doivent être différentes des premières.
Liouville démontre de plus que la fonction R est constamment positive et croissante quand p varie depuis +c jusqu'à +00. Pour les valeurs p = o,
p = ±6, />= i:c, une des deux fonctions R ou -7-\/'{^'- — b-) (p'-' — c'-') doit s'annuler.
8o SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
Il me reste à parler des équations qui diitcrminent la conslanle 15.
CKerclioas quelle est la condition pour que l'équation (i') soit satisfaite par un polvnome de degré A, (où X = «, si V = R; ou n — i si V = T; on n — 2 siV = U).
Posons à cet effet
\' = a^ -I- Y i a'~- -H y» s'"'' -H • . • + ".'x cr^'"-"-
Nous prendrons X^2/. si 1 est pair et À = 2/. + i si A est impair. Nous trouverons alors en substituant ce polynôme à la place de V dans l'équation ( 1') et idenliliant les deux membres
il> = ( ), — 2 £ — 2 ) ( À — 2 J -t- a — 3 ) — H (4) { I [i\ (' = 0, I, 2, ...,x).
L'équation (4) est une sorte de relation de récurrence qui permet de calculer. de proche en proche les coefficients y, en parlant des valeurs initiales "u^ ', Y j^o. On trouve ainsi yt sous la forme d'un pol ynome de degré i en A". Comme on doit avoir -'x* 1 ^ o, la valeur de k (et par conséquent celle de B) se trouve donnée par une équation algébrique de degré x + i.
Nous avons vu plus haut que la fonction R peut prendre l'une des quatre
formes
A ces quatre formes correspondront quatre équations en B qui seront respectivement de degré
si n est pair, et de degré
et
— et —
si n est impair, et (jue j'appellerai pour abréger (Ej), (Eo), (E;,) et (E..,). Pour former l'une de ces quatre équations, on formera l'équation (i') de façon que la fonction V doive être un polynôme entier et l'on en déduira les équations (4) correspondantes. Il est à remarquer que chacune de ces quatre équations peut être ainsi construite de trois manières différentes. En ellel,
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 8i
pour chacune de ces quatre formes de la fonclionRon peut écrire l'équation (i) de trois manières différentes, selon que l'on choisit pour variable indépendante p, Pi ou P2.
Lamé a démontré que ces quatre équations (E) ont toutes leurs racines réelles. Liouville, en rappelant ce résultai, ajoute que la méthode de Sturm y aurait conduit plus rapidement. Comme il ne donne pas d'autre détail, il ne sera peut-être pas inutile d'éclaircir sa pensée par quelques explications.
Si l'on revient aux équations (4), on verra que le coefficient O y est toujours négatif et le coefficient 0 toujours positif. Si donc on suppose que q soit négatif, les fonctions y,- qui sont, comme on l'a vu, des polynômes entiers de degré / en B, jouissent de la propriété caractéristique des fonctions de Slurm, c'est-à-dire que, quand •-, s'annule, y,+i et yi'-i sont de signes contraires. On voit de plus que si le coefficient de /.' dans yj est positif, le coefficient de A'*' dans y,Hi sera négatif et réciproquement. On peut donc appliquer le raisonnement de Sturm à la suite yx+i, yx, • • •> '{-i, yii yn- Mais on peut toujours supposer que q est négatif; il suffit pour cela de prendre pi pour variable indépendante. C'est ainsi que la méthode de Sturm est applicable aux équations qui nous occupent.
D'ailleurs, si q est négatif, et si l'on élimine les y entre les équations (4) par le moyen d'un déterminant, l'équation (E) ainsi obtenue aura la même forme que « l'équation en S » que l'on rencontre quand on recherche les axes principaux d'une surface du deuxième ordre.
Voici une autre démonstration du même théorème, que je crois nouvelle et qui pourra nous être utile.
Dans le cas de h- = c-, on a ainsi que Liouville l'a montré :
( p'- — c" )- rf'+"(p2— c')"
~ ln{2n —\) . . .{n — ' -(- i ) rt'p'+''
Dans le cas de b- = o, on a
j(^ (pl-^c-y di+"{fl-\-c"-)
iniyin — :)...(« — f-Hi) f/p' *-"
Ainsi pour 6-= c^ les racines des équations (Ei) et (E,-, ) sont
/l(/l-Hl)c-, [«(« -hl) — 4]c-, ..., [«(« H- i) — 4^"-]c- (2A-^«),
H. p. — VII. II
/03fc7
ei celles des équations (E^) el (E;, ) soûl
( /)(« -H O — i]c-. f n(«, H- i) — i)|c- I /M n -H r 1 — (■iA- -+- I )■- |c- (■> /i -h i -:^ n).
Ainsi si l'ou envisage seulement les équations (Ei) et (E^) par exemple, les racines de ces deux équations seront toutes réelles et se sépareront mutuellement.
Faisons varier b- d'une manière continue depuis su limite supérieure cjusqu'à sa limite inférieure zéro. Les racines des deux équations (E,) et (Ej) varieront d'une manière continue. Pour qu'elles cessassent d'être toutes réelles, il faudrait que deux racines de (Ei) ou deux racines de (E,) devinssent égales. -Mais pour que cela fût possible, il faudrail d'abord que les racines des deux équations cessassent de se séparer mutuellement. Pour qu'elles cessassent de se séparer, il faudrait (|ue l'une des racines de (E| ) devint égale à ime des racines de(Eo:).
Or je dis que cela est impossible. Soit en ellét B une racine que nous supposons appartenir à la fois à (E,) et à (Ej) et envisageons l'écjuation (i) correspondante.
Celte équation admeltia deux intégrales, l'une de la forme 1',,, l'autre de la forme \/ o- ^ c- l'/,^i. Soient 11 el lii ces deux intégrales. On peut former uue équation linéaire du troisième ordre, à coefficients rationnels et admettant pour intégrales les cari-és des intégrales de (i). Un système fondamental d'inlégrales sera R-, RRi et R^. Cette équation admettrait donc comme intégrales deux polynômes entiers R- et Pif essentiellement distincis.
Mais l'équation (i) admet, oulre l'intégrale R, l'intégrale S définie plus haut
el qui est telle que
liniSp"'' = i pour i = x.
L'équation du Iroisiéuie ordre dont nous venons de parler .ulmeltra donc comme système fondamental d'intégrales R-*, RS, S-. Si nous convenons de dire qu'une fonction F de p est de degré/» en p si le rapport de F à p'' tend vers une limite finie quand p croit indéfiniment, il résulle de ce qui précède que les trois intégrales R-'. RS el S- sont respectivement de degré 2/(, — i et — (2/1 + 2). Une intégrale quelconque de l'équation du troisième ordre sera uue combinaison linéaire de K-, RS et S'-'; elle sera donc, à moins d'être identi- •juement nulle, de l'un des trois degrés 2 n, — 1 et — (2/4 + 2).
Or R- — -RJ qui est une de ces intégrales, ne peut être ni de degré — 1 , ni de degré — (2/1 + 2) puisque c'est un polynôme entier; ni de degré 2/i, puisque
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 83
le premier terme de R- esl p-" de même ((ue le premier Icrme de R^, de sorte que les termes de degré 2.11 disparaissent dans R- — R^. Il faut donc que
li^— h; = o (.11 U = Ki,
ce tjui esl impossible et contraire aux h\potliéses faites plus Laul. Nous devons donc conclure que les racines des écpiations (E,) et (E2) sont toutes réelles et se séparent mutuellement, (pielle que soit la valeur dt^ b-.
Cela va nous permettre de distinguer les unes des autres les diverses fonctions R.
Nous écrirons R,*,. L'indice supérieur /, sera égal à 1, 2, 3 ou 4 selon que R sera de la forme
P„, ou \ p'- — 6-P„-i, ou v'p" — «-''-r',,— 1, ou y/(p- — 6'-,)(p- — c-)l'„2.
L'indice n indiquera le degré de la fonction R, cnlin l'indice / devra être choisi de telle sorte que R,,,- se réduise à
A (p- — c- )- U''+" ( p- — c- )" pour b" = c-,
A désignant un coefiicient constant dont on Irouvera plus haut la valcm-, et le signe D'^" exprimant qu'on doit elVecluer « '+ 71 dilVérentiations par rapport à p. On voit aisément d'après ce qui précède que la fonction R',f| est parfaitement déterminée. Pour b- ^ o on trouve
Ht,V,= A(pS-c-^f D/+''(pi + c=)",
oii j a une valeur que nous allons déterminer.
On voit aisément que i est pair si A' =1 ou 4 et impair si A" =^ 2 ou 3; tandis que j est de même parité que n, si A = i ou 2 et de parité différente si k = 3 ou 4- De plus, pour une même valeur de A", les valeurs dey devront croître quand celles de i décroîtront. On a donc :
si A' = I ou 3 : 1 -t-y = « ; si A: = 2 ou \ : i -h J = n -+-i.
Nous pouvons déduire de là quelques propriétés des fonctions R. Combien l'équation
(5) iv/;',= o
[où le preuiier membre est supposé débarrassé du facteur radical y'p- — b', y^p- — c- et y/(p^ — ^^) {p^ — (^')' qu'il pourrait contenir, ainsi que du fadeur p
84 SUR l'équilibre dune masse fluide en rotation.
s'il Y 1* lii'iij auia-l-elle de racines réelles et conimenl ces racines seront-elles distribuées? Nous prendrons pour inconnues p- et non pas p. Faisons d'abord 6'=c-. Ou verra que l'éiiualion admettra l racines égales à c- et n racines comprises entre zéro et c'-.
Si nous faisons ensuite b'^o, on verra que rétiualion admelira ï' racines égales à zéro et yj' comprises entre zéro et c-'.
Les valeurs des nombres 5, t), ^' et r/ noiis seront données par le tableau suivant, où la première colonne donne la valeur de /.', la seconde le reste de n à 2 et les ([iiatre autres les valeurs des quatre nombres : i — ai;, n — i — 2/),
/ — 2^', n—j — in.
:>.. o, I, I. ■<, ci;
Ce tableau montre que l'on a toujours
Qu'arrive-L-il maintenant pour les valeurs de b- comprises entre zéro et c^ ? Pour une pareille valeur, l'équation ne peut avoir de racine multiple, car si
pour une certaine valeur de p, R et -3- s'annulaient à la fois, le coefficient
de —7^ dans l'équation (1) devrait être nul également, ce qui entraînerait
(j- = /;- ou C-.
D'autre part aucune des racines de l'équation ne peut être égale à zéro, à b'^ ou à C-; car si l'on forme l'équation déterminante de l'équation (i) pour les points p = ± 6, p =± c, on trouve que les racines de cette équation déterminante sont zéro et -• D'ailleurs, comme on a supposé qu'on enlevait dans
l'équation (5) le facteur p s'il s'y trouvait, il ne pourrait arriver qu'il y restât ensuite, que s'il y entrait au carré avant qu'on ne l'eût enlevé. Or nous venons de voir que cela ne peut être.
On doit donc conclure que lorsque b- décroît depuis c- jusqu'à zéro, l'équation (5) aura ci racines réelles entre zéro et />- et /)i racines réelles entre 6^ et c^ et que ces deux nombres ^j et yj, demeureront invariables.
l'oiir 6-^ c-', il arrivera que les rn racines comprises entre b- et c- deviendront égales à c-; on pourrait supposer aussi qu'un certain nombre de racines d'abord imaginaires, ou non comprises entre 6- et c- tendent aussi vers cquand h- tend vers c-, de sorte qu'on aurii
Quant aux l, racines comprises entre zéro et b-, elles resteront comprises entre zéro et c'; on pourrait supposer toutefois que quelques-unes d'entre elles se réduisent à r-'; on aura donc
Supposons maintenant que b- tende vers zéro; il arrivera que les tj racines et peut-être d'autres tendront vers zéro, et (pie les rn racines resteront comprises entre zéro et c-, quelques-unes d'enire elles pouvant se réduire à zéro. ( )n aura donc
Mais si d'autre part un observe que l'on a on verra qu'on doit avoir constamment
'^ii — ; — ^ r 41 — ç = r,.
Il en résulte que l'équation (5) a toujours toutes ses racines réelles et comprises entre zéro et c-; quant au nombre de racines comprises entre zéro et 6-, ou entre //- et r- . il est donné par le tableau précédent.
Si pai' exemple n est pair, l'équation RJ/!=o aura — — racines comprises
entre zéro et b- et - comprises entre 6-' et c- (').
Je ne veux pas, pour le moment du moins, m'étendre plus longtemps sur les propriétés générales des fonctions de Lamé; je me bornerai à rappeler les deux résultats suivants qui sont bien connus.
En premier lieu, B est toujours compris entre zéro et n(n -+- i)c'-.
En second lieu, une fonction quelconque de y. et de v, pour les valeurs de v comprises entre zéro et b- et pour celles de p. comprises entre b- et c-, peut
C) Ces résultats ont clé donnés par M. Klein, i|ui y a été conduit par des considérations un peu diOrérentes.
luijoiirs l'-tro (ltWelop|)(^e en une séri(> de la forme iA,M,N,, où A, désigne nii coeflicieul constant, pendant que M, et N,- désignent doux fondions de Lamé conjuguées de fx et de v.
