MÉCANIQUE CÉLESTE
XVII. — Généralités sur les équations de la Dynamique et de la Mécanique céleste [164, 166, 183, 187, 278,280].
Les équations de la Dynamique présentent des propriétés remarquables qui ont été mises en évidence par Jacobi dans ses Vorlesungen.
Quelles sont les conséquences plus ou moins immédiates de ces propriétés? Quel parti peut-on en tirer pour la mise en équation des problèmes de Dynamique et en particulier des problèmes de Mécanique céleste? Telle est la première question dont je veux parler ici.
J'ai été amené à passer en revue les principales propriétés des équations canoniques [183,278]. Les propriétés sont classiques; et je n'ai eu qu'à perfectionner certains détails; en me servant surtout du caractère bien connu qui
(') On n'a reproduit ici que les extraits de celte Analyse qui concernent les matières traitées dans le présent Volume. Les Mémoires figurent sous les numéros qu'ils portent dans la bibliographie qui suit l'Analyse. (J. L.)
permet de reconnaître si un cliangemenl de variables conserve la forme canonique des équations.
Ce genre de transformations facilite la mise en équation du problème des trois corps; c'est ce que j'ai montré [164, 187]. On sait que dans le procédé classique on rapporte toutes les planètes à des axes mobiles passant par le Soleil L'inconvénient est que la fonction perturbatrice n'est pas la même pour toutes les planètes. Un autre procédé consiste à rapporter chaque planète au centre de gravité du système formé par le Soleil et toutes les planètes inférieures à celle (]ue l'on considère. L'inconvénient est évité, mais la fonction perturbalrice est un peu plus compliquée. J'ai proposé un troisième procédé, dans lequel les coordonnées de chaque planète sont rapportées au Soleil, et sa vitesse à des axes fixes.
Malgré les travaux dont les équations canoniques ont été l'objet depuis Jacobi, toutes leurs propriétés ne sont pas connues, ou plutôt on n'a pas insisté sur toutes les formes que peuvent revêtir ces propriétés et qu'il peut être utile de connaître. Si par exemple ou étudie les équations aux variations des équations de la Dynamique, c'est-à-dire les équations qui définissent une solution infiniment peu différente d'une solution donnée, on rencontre des propositions importantes sur lesquelles j'ai attiré l'attention [183, 278].
D'un autre côté, j'ai été amené à introduire une notion nouvelle, celle des invariants intégraux [183, 280]. Ce sont certaines intégrales définies simples ou multiples qui demeurent constantes, quand le champ d'intégration varie conformément à une certaine loi définie par une équation différentielle. Si par exemple on envisage les équations différentielles relatives au mouvement d'un fluide incompressible, le volume est un invariant intégral.
Les équations canoniques de la Dynamique possèdent des invariants intégraux remarquables et l'existence de ces invariants jette une grande lumière sur leurs propriétés.
Pour en finir avec ces généralités sur les équations de la Dynamique et le problème des trois corps, je signalerai un dernier travail [lG(i]. On sait que Bruns a démontré que le problème des trois corps ne saurait admettre d'autre intégrale algébrique que les intégrales classiques. Malheureusement dans sa démonstration subsistait une lacune grave et particulièrement délicate à combler. J'ai été assez heureux pour mettre la belle et ingénieuse démonstration de M. Bruns à l'abri de toute objection.
XVIII. — Problème des trois corps ; propriétés qualitatives [38, 92, 163, 167, 183. 204, 278, 280].
Ce qui va suivre est le développement naturel des méthodes dont il a été question plus haut au paragraphe V et leur application à la Mécanique céleste.
J'ai montré de diverses manières [183, 278] qu'en dehors des intégrales classiques le problème des trois corps n'admet pas d'intégrale analytique et uniforme, et il en résulterait que la plupart des séries proposées jusqu'ici pour l'intégration de ce problème, de même que celles dont il sera question dans le paragraphe suivant ne sont pas convergentes et ne peuvent être utilisées que dans un calcul approché.
D'après ce qui précède, il semble qu'il soit impossible en général d'exprimer les dislances mutuelles des astres par des séries purement trigonomélriques convergentes. Mais il est des cas particuliers où les séries aux(|uelles on est conduit ne contiennent qu'un seul argument et où leur convergence est évidente. En effet, j'ai démontré [38, 92] (jue, dans le problème des trois corps, on peut choisir les éléments initiaux du mouvement de telle façon que les distances mutuelles des trois niasses soient des fonctions périodiques du temps. On est ainsi amené à une solution particulière du problème, que l'on peut appeler périodique.
Ces solutions périodiques sont de trois sortes : dans les unes, les inclinaisons sont nulles et les excentricités très petites; dans d'autres, les inclinaisons sont nulles et les excentricités finies; dans d'autres, enfin, les inclinaisons sont finies et les excentricités très petites.
Je suis revenu [183, 278] sur ces solutions périodiques et je les ai étudiées en détail. Les procédés dont je me suis servi pour démontrer leur existence sont très simples et se ramènent au calcul des limites.
Mais on peut arriver à cette démonstration par une voie toute différente, qu'il pourra être souvent utile d'adopter, mais dont je n'ai pas encore tiré tout le parti possible. Supposons par exemple que l'on recherche les géodésiques d'une surface indéfinie présentant la même forme générale cju'un hjperboloïde à une nappe. On sera certain alors qu'il doit y avoir une géodésique fermée (correspondant à une solution périodique) parce que, parmi toutes les courbes fermées que l'on peut tracer sur la surface et (pii en font le tour, il doit y en avoir une qui est plus courte que toutes les autres.
Los mômes principes sont susceptibles d'êlre appliqués à divers problèmes de Mécanique, grâce au principe de moindre action que l'on peut employer soit sous la fornif que lui a donnée Hamllton, soit sous celle que lui a donnée Mauperluis. Je n'ai fait qu'esquisser celle méthode dont il y a sans doute encore beaucoup à tirer.
Outre les solutions périodiques, les équations du problème des trois corps admettent aussi d'autres solutions remarquables que j'appelle asymptotiques [ 183, 278]. Ce qui caractérise ces solutions c'est qu'elles se rapprochent indéfiniment d'une sûluliou périodique, ou bien qu'elles s'éloignent sans cesse d'une solution périodique dont elles sont infiniment rapprochées pour < =^ — oo.
D'autres solutions remarquables sont plus difficiles encore à apercevoir [280]. Je citerai d'abord les solutions périodiques de deuxième espèce, caractérisées par ce fait que deux des corps se rapprochent périodiquement de façon à presque se choquer.
Nous avons encore les solutions périodiques de deuxième genre; si l'on fait varier d'une manière continue un des paramètres dont dépend le problème, par exemple l'une des masses, on voit une solution périodique du premier genre se déformer d'une façon continue, sa période restant égale à T. A un certain moment, cette solution se dédouble pour ainsi dire, ou plutôt se détriple, je veux dire qu'à un certain moment on a trois solutions périodiques très peu différentes; l'une d'elles a encore pour période T, les deux autres ont pour période un multiple de T. Ce sont les solutions périodiques du deuxième genre.
Je parlerai enfin des solutions doublement asymptotiques. Pour <= — oo , elles sont infiniment voisines d'une solution périodique, puis elles s'en éloignent beaucoup, ensuite elles s'en rapprochent de nouveau, de telle sorte que pour i =+ 00, elles en sont encore infiniment voisines.
Pour étudier les propriétés et les rapports de ces différentes solutions, je me suis servi des invariants intégraux. Ces rapports sont très compliqués, de sorte que celte étude est éminemment propre à mettre en évidence la difficulté du problème des trois corps.
Je n'ai pu résoudre rigoureusement et complètement le problème de la stabilité du système solaire, en entendant ce mot dans un sens strictement mathématique. L'emploi des invariants intégraux m'a cependant permis [183, 280] d'atteindre certains résultats partiels, s'appliquant surtout au problème dit restreint, où les deux corps principaux circulent dans des orbites sans excentricité, pendant que le corps troublé a une masse négligeable. Dans ce cas, si
on laisse de côté certaines trajectoires exceptionnelles, dont la réalisation est infiniment peu probable, on peut démontrer que le système repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa situation initiale. C'est ce que j'ai appelé la stabilité à la Poisson.
XIX. — Problème des trois corps ; développements approchés et applications [47, '.l7, 115, 133, 119, 15S, 159, 1«, 208, 210, 214,
Tous les théorèmes dont il a été question dans le paragraphe précédent ont un caractère commun, ils sont rigoureus. Ceux dont je vais parler maintenant ne seront en général qu'approchés et auront par conséquent avant tout un intérêt pratique. Ce sont cependant les seuls dont les astronomes fassent et puissent faire elTeclivement usage.
Dans quelles conditions ces séries divergentes peuvent-elles cire utilisées avec succès ? C'est ce que j'ai cherché à éclaircir ([279], Chapitre intitulé Calcul formel). J'ai montré dans quelles limites cet emploi est légitime, comme l'est, pour citer un exemple célèbre, celui de la série de Stirling, et j'ai fait voir que les règles du calcul de ces séries sont les mêmes que celles de séries ordinaires.
J'ai justifié ainsi l'emploi que font les astronomes de ce genre de développements; et en particulier des développemenis trigonoméiriques. J'ai cherché en outre à perfectionner les méthodes qui permettent de les former.
Rappelons en quelques mois comment le problème se pose.
On ne peut résoudre le problème des n corps que par approximations successives, et la première idée qui s'est présentée a consisté à développer les coordonnées des astres en séries ordonnées suivant les puissances des masses. C'est sur cette idée qu'est fondée toute la Mécanique céleste ancienne. Mais quels que soient les services qu'aient rendus autrefois ces anciens procédés et qu'ils soient capables de rendre encore, on n'a pas lardé à s'apercevoir de leur insuffisance et de leur impuissance à donner une approximation indéfinie. Dans les développements auxquels ils conduisent, on voit en efl'et le temps entrer non seulement sous les signes sinus et cosinus, mais en dehors de tout signe trigonométrique. Ce fait suffit pour démontrer que le champ où les anciennes mélhodes conservent leur efficacité, quelque étendu qu'il puisse être, est certainement limité.
C'est ce qui explique les efforts qu'ont faits les géomètres pour remplacer
les séries anciennes par des développemenls purenienl Irigonométriques. Dans ces derniers temps, ou a proposé deux méthodes remarquables qui paraissent atteindre complètement ce but. La première esi celle de M. Gjldén, qui est fondée sur l'emploi des fondions elliptiques; la seconde est celle de M. Lindsledt, dont je me suis surtout occupé.
Dans celle dernière méthode, un artifice ingénieux permet à chaque approximation de faire disparaître les termes séculaires qui peuvent s'être introduits. Il est aisé de voir que cet artifice réussira toujours s'il n'y a qu'un lei'me à faire disparaître; mais il n'en serait plus de même s'il s'était introduit à la fois deux termes séculaires. Il est facile de vérifier d'ailleurs que, dans les premières approximations, on n'a à se débarrasser que d'un seul terme; mais on peut se demander s'il doit en être toujours ainsi. Un examen superficiel pourrait faire croire le contraire, et même M. Lindsledt était disposé à penser que sa méthode ne réussirait que s'il n'v avait entre les arguments aucune relation linéaire.
Je suis parvenu à démontrer que le terme séculaire qui peut apparaître à chaque approximation est toujours unique et que, par conséquent, la méthode de M. Lindsledt est toujours applicable [07]. Pour cela, j'ai eu recours à un théorème qui semblait ne se rapporter eu aucune façon à la question, c'està-dire au théorème de Green.
J'aurais pu également, comme je l'ai fait ensuite [llo, 133], employer les invariants intégraux ou bien me servir des théorèmes de Jacobi sur les équations de la Dynamique.
La méthode de M. Newcomb est fondée sur les mêmes principes; mais elle s'applique plus naturellement aux cas les plus généraux du problème des trois corps. J'y ai apporté de notables perfectionnements [183, 279, 208]. La même question se posait que pour la méthode de M. Lindstedl. On pouvait disposer de certaines arbitraires pour faire disparaître les termes séculaires; mais il y avait deux fois plus de termes à faire disparaître que d'arbitraires. Heureusement chaque fois que Ton fait disparaître l'un de ces termes, un autre disparaît spontanément. Je me suis servi de la méthode de Jacobi [279] pour démontrer celte disparition spontanée et la possibilité du développement. Une fois celle possibilité établie, j'ai donné ([279], Chapitre XIV) le moyen de former effectivement et directement les séries.
Il y avait là toutefois un grave inconvénient, puisqu'il fallait dans deux analvses entièrement séparées démontrer la possibilité du développement et en calculer les coefficients. Ayant remarqué qu'une certaine expression devait être
difféienlielle exacte, j'en ai profité pour modifier la mélhode ([279], Chap. XV). Gerlaines intégralions peuvent être évitées et remplacées par des diflerenliations ou des opérations algébriques; il en résulte d'abord que la possibilité du développement devient presque évidente. De plus les calculs sont simplifiés. La partie la plus pénible du calcul, bien qu'elle ne présente aucune difficulté théorique, est en effet la substitution des valeurs approchées des variables dans les deux membres des équations difi'érentielles. La mélhode nouvelle permet de diminuer de près de moitié le nombre de ces substitutions.
Mais on peut aller plus loin encore dans celte voie. C'est ce que j'ai montré plus tard [208J. Je me suis servi d'une expression différentielle exacte analogue à celle dont je viens de parler et j'ai pu diminuer encore le nombre des substitutions et des intégrations. On remarquera que le théorème de Poisson (invariabilité des grands axes en tenant compte du carré des masses) devient presque intuitif.
Tous ces procédés se trouvent en défaut quand les moyens mouvements sont près d'être commensurables. 11 faut alors employer une méthode dérivée de celle do Delaunay. Dans l'invention première de celle méthode, j'ai été devancé de quelques jours par M. Bohlin, mais j'y ai apporté divers perfectionnements on me servant toujours des mêmes principes. Je me bornerai à dire que cette mélhode permet de discuter les cas singuliers dits « de libration » où il y a commensurabilité exacte entre certains mouvements moyens.
Quelle relation y a-t-il entre toutes ces méthodes et avec les anciens procédés? Telle est la question que je me suis posée [210], et j'ai montré qu'on pouvait envisager certaines séries qui embrassent pour ainsi dire toutes ces méthodes. En groupant les termes d'une certaine manière, on retombera sur les anciennes méthodes. Avec d'autres modes de groupement, on tombera sur la méthode de Newcomb, ou bien encore sur celle de Bohlin.
Tous ces procédés s'appliquent naturellement à la Lune. Dans la théorie de cet aslre, ils sont même plus nécessaires que partout ailleurs. C'est dans les théories lunaires les plus récentes, comme celles de Hill et de Brown, que l'on voit le mieux l'importance des solutions périodiques dont j'ai parlé plus haut. J'ai donné [214] une mélhode pour déterminer le mouvement du périgée de la Lune qui diffère de celle de Hill. Mais j'attirerai plutôt l'attention sur un autre Mémoire [216] où j'applique à notre satellite les procédés du Mémoire [208]. Ces procédés seraient surtout utiles pour obtenir un dévelop-
pement purement littéral des coordonnées de la Lune. J'ai signalé eu passant diverses circonstances curieuses et presque paradoxales.
Toutes les séries tlont je viens de parler ne peuvent être employées qu'au point de vue du calcul formel et par conséquent du calcul approché. J'ai insisté à diverses reprises sur ce point important [ 183, 278, 279, 158, 159].
Toutes ces méthodes si diverses peuvent être employées pour se servir mutuellement de vérification, sans trop de calculs supplémentaires. Je citerai surtout un procédé de vérification fondé sur l'emploi des invariants intégraux [l-i9).
XXI. — Équilibre d'un flmde en rotation et figure des planètes [54, 56,63, 72,91, ',i5, 96, 108, 111, 203,212].
Je me suis occupé également d'une autre question de Mécanique céleste que l'on peut énoncer ainsi :
Une masse fluide homogène ou hétérogène est animée d'un mouvement de rotation autour d'un certain axe. De plus, ses molécules s'attirent d'après la loi de Newton. Quelles sont les formes d'équilibre qu'elle peut affecter?
C'est là un problème qui a beaucoup occupé les géomètres depuis plus d'un siècle et demi, et dont l'importance se comprend sans peine.
Dans le cas de l'homogénéité, auquel nous nous restreindrons, deux solutions étaient depuis longtemps connues : l'ellipsoïde de révolution et l'ellipsoïde à trois axes inégaux de Jacobi. Mais les conditions de stabilité de l'équilibre n'avaient pas été étudiées.
On ignorait s'il y avait d'autres formes possibles quand M. Mathiessen et, après lui. Sir W. Thomson, annoncèrent l'existence de figures annulaires d'équilibre. Mais la démonstration donnée par ces deux savants n'était pas parfaitement rigoureuse; d'ailleurs, M. Mathiessen supposait a priori que la section différait très peu d'une ellipse. J'ai montré [63] que cette hypothèse, légitime quand la section de l'anneau est très petite, est erronée dans le cas général, ce qui rend très douteuse l'existence de certains anneaux très aplatis que le savant de Rostock avait appelés anneaux p.
J'ai donc cru nécessaire de faire une étude plus approfondie de ces figures [S4, 94, 95]. J'ai mis à l'abri de toute objection la démonstration de leur existence et montré comment on peut en déterminer les principaux éléments avec une approximation indéfinie.
Pour la détermination de ces cléments, j'ai fait usage d'une méthode que M"° Kowalevski avait déjà employée dans son Mémoire sur l'anneau de Saturne et qui est fondée sur le développement des périodes d'une fonction elliptique en séries ordonnées suivant les puissances croissantes du module.
Il convient d'observer que ces anneaux sont des figures d'équilibre instable.
Dans un Mémoire plus étendu [72], j'ai repris la même question, en développant les résultats obtenus dans deux Notes antérieures [56]. Une première difficulté se présentait sur ma roule. Quand il s'agit d'intégrer de simples équations difTérenlielles, la méthode des approximations successives est parfaitement justifiée, parce que l'existence de l'intégrale a été tout d'abord rigourement démontrée. Il n'en est plus de même dans le problème actuel qui est beaucoup plus compliqué; il peut rester au sujet de la légitimité de celte méthode quelques doutes qu'il s'agissait d'abord de dissiper. Pour démontrer rigoureusement l'existence des diverses solutions du problème, j'ai employé un procédé tout à fait analogue à celui dont j'avais fait usage dans mes recherches sur les solutions périodiques du problème des trois corps et où je prends pour point de départ un théorème de M. Kronecker.
On reconnaît d'abord que les diverses figures d'équilibre d'une masse fluide forment des séries linéaires; dans une même série, ces figures dépendent d'un paramètre variable. Telles sont la série des ellipsoïdes de révolution et celle des ellipsoïdes de Jacobi. Mais il peut arriver qu'une même figure appartienne à la fois à deux séries différentes. C'est alors une C\^\ire à^ équilibre de bifurcation.
A chaque figure est attachée une suite infinie de coefficients, que j'appelle coefficients de stabilité, parce que la condition de la stabilité est qu'ils soient tous positifs. Quand un de ces coefficients s'annule, c'est que la figure correspondante est de bifurcation.
Ainsi, si en suivant une série de figures d'équilibre on voit s'annuler un des coefficients de stabilité, on saura qu'il existe une autre série de formes d'équilibre à laquelle appartient la figure de bifurcation.
Un autre résultat, c'est que les deux séries linéaires dont celte ligure fait partie échangent leur stabilité. Si, en suivant l'une des séries, on ne rencontre que des équilibres stables jusqu'à la figure de bifurcation, on n'y trouvera plus ensuite que des figures instables. Les figures stables appartiendront à l'autre série.
Ces principes, appliqués à divers problèmes déjà traités par Laplace, m'ont permis d'en compléter la solution.
H. P. — vit. 2
Poiii- li'oiivor li's fornii's d'cHiuilibre d'une masse tluide on rotation qui diffèrent peu d'un ellipsoïde, il faul rechercher si, parmi les ellipsoïdes de révolulioa et ceux de Jacobi, il y a des (igurcs de bifurcation. Pour cela il faut calculer les coeflicients de stabilité de ces ellipsoïdes. On trouve que ces coeflicients dépendent des fonctions de l^amé.
J'ai donc dû faire de ces fonctions une étude approfondie. J'ai démontré d'une manière nouvelle que ces poljnomes ont toutes leurs racines réelles et j'ai étudié la manière dont ces racines se répartissent.
En égalant à zéro les divers coeflicients do stabilité, on obtient des équations qui sont transcendantes, mais qui peuvent néanmoins se discuter d'une manière complète. Cette discussion montre que, parmi les ellipsoïdes de révolution, comme parmi les ellipsoïdes de Jacobi, il j a une inimité de figures de bifurcation.
Il résulte de là qu'il y a d'antres formes d'équilibre que les ellipsoïdes et les anneaux. Ces figures nouvelles sont en nombre infini; elles sont convexes et ont toutes un plan de symétrie. Quel([ues-unes n'en ont qu'un; d'autres sont de révolution; d'autres enfin ont plusieurs plans de symétrie passant par l'axe.
Il restait à étudier les conditions de stabilité de l'équilibre. J'ai distingué, à l'exemple de Sir W. Thomson, la stabilité séculaire, qui subsiste lorsqu'on tient compte de la viscosité, el la stabilité ordinaire, qui n'a lieu que lorsqu'on néglige celle résistance. En ce qui concerne la première de ces stabilités, j'ai montré qu'elle appartient aux ellipsoïdes de révolution, moins aplatis que celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi, et que les ellipsoïdes de Jacobi, qui satisfont à une certaine condition, en jouissent également. Les autres ellipsoïdes sont instables et il en est de même des figures annulaires. Quant aux autres figures nouvelles que j'ai découvertes, elles sont toutes instables, à l'exception d'une d'entre elles qui est pour ainsi dire pirifcirme.
J'ai donné aussi une méthode pour déterminer les conditions de la stabilité ordinaire, mais je n'en ai fait qu'une application partielle qui permet, toutefois, de reconnaître que cette stabilité peut subsister quand la stabilité séculaire a cessé.
.le ne puis d'ailleurs mieux résumer tous ces résultats qu'en faisant l'hypoihèse suivante :
Imaginons une masse fluide se contractant par refroidissement, mais assez lentement pour rester homogène et pour que la rotation soit la même dans
loules ses parties. D'abord 1res voisine d'une sphère, la figure de celle masse deviendra un ellipsoïde de révolution ([ui s'aplatira de plus en plus; puis, à un cerlaiu moment, se transformera en un ellipsoïde à trois axes inégaux. Phis tard, la figure cessera d'élre ellipsoïdale et deviendra piriforme, jusqu'à ce qu'enfin In masse, se creusant do plus en j)lus dans sa partie médiane, se scinde eu deux corps distincts et inégaux.
L'hypothèse qui précède ne peut certainement s'appli(juer au système solaire. Quelques aslronomcs ont pensé qu'elle pourrait être vraie pour certaines étoiles doubles, et que des étoiles doubles du type de (3 de la Lyre présenteraient des formes de transition analogues à celles dont nous venons de parler.
Dans un de ces Mémoires [9i]i j ai montré qu'aucune forme d'équilibre stable n'est possible si la vitesse de rotation dépasse une certaine limite.
On peut faire de ce principe une application aux anneaux de Saturne. Clerk Maxwell a démontré que ces anneaux ne peuvent être solides et que, s'ils sont fluides, leur densisé ne peut dépasser les 3/ioo de celle de la planète. D'autre part [96], je démontre que, si les anneaux sont fluides, ils ne peuvent être stables que si leur densité est supérieure au 1/16 de celle de Saturne. L'analyse semble donc confirmer l'hypothèse de M. Trouvelot, qui considère les anneaux comme formés d'une multitude de satellites extrêmement petits et ne croit pas pouvoir expliquer autrement certaines apparences observées.
J'ai donné [108] une démonstration plus simple d'un théorème de M. LiapounofT, en vertu duquel la sphère correspond au maximum de la fonction potentielle, et je suis encore revenu à diverses reprises sur des questions analogues [111, 212] en donnant quelques égalités et inégalités curieuses.
M. Radau avait remarqué qu'aucune hypothèse ne peut rendre compte à la fois de l'aplatissement adopté et la valeur observée de la précession. Dans deux articles consacres à la figure de la Terre [203], j'ai confirmé la conclusion de M. Radau.
