XVIII. — Problème des trois corps; propriétés qualitatives

[38] .Sur certaines solutions particulières du problème des trois c>rps (C, R. Acad.

Se, t. 97, i883, p. 251-252).

[92] Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps {Bull, astron.,

t. I, iS8j, p. G5-74)- [1C3] .Sur les solutions périodiques et le principe de moindre action {C . R. Acad. Se,

[167] Les solutions périodiques et le principe de moindre action {Ibid., t. 124, 1897,

[1*3] Cf. supra.

[204] Sur le problème des trois corps {Bull, astr., t. S, 1891, p. 12-24)- [278, 280] Cf. supra.

XIX. — Problème des trois corps; développements approchés et applications.

[47] .Sur une équation différentielle {C. R. Acad. Se, t. 98, 1884, p. 793-795). [97] Sur une méthode de M. Lindstedt {Bull, astron., t. 3, 1886, p. 57-61). [11b] Sur les séries de M. Lindstedt {C. R. Acad. Se, t. 108, 1889, p. 21-24). [133] Sur l'application de la méthode de M. Lindstedt au problème des trois corps

{Ibid., t. 114, 1892, p. i3o5-i3o9).

[149] Sur un procédé rie vérification, applicable au calcul des séries de la Mécanique

céleste (Ibid., l. 120, 189J, p. 57-59). [138] Sur la divergence des séries de la Mécanique céleste {Ibid., t. 122, 1896, P- 497-499)-

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. l3

[159] Sur la divergence des séries trigonométrîques {Ibid., t. Mi, 1896, p. 557-559).

[183] Cf. supra.

[208] Sur IHntégration des équations du problème des trois corps {Bull, asiron.,

[210] Sur la façon de grouper les termes des séries trigonométriques qu'on rencontre

en Mécanique céleste {Ibid., t. 13, 1898, p. 289-810). [214] Sur le mouvement du périgée de la Lune {Bull, astron., t. 17, 1940, p. 87-104). I 213] Sur le déterminant de Hill {Ibid., t. 17, 1900, p. i34-i4-^)- [2IG] Sur les équations du mouvement de la Lune {Ibid., t. 17, 1900, p. 167-204). |279] Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique céleste, t. II, Paris, i8g3.

XXI. — EoUILIDRE d'un FLIIDE EN ROTATION ET FIGURES DES PLANÈTES.

[3i] Sur Véquilibre d'une masse Jluide animée d'un mouvement de rotation (C.B.

Acad. Se, t. 100, i8S5, p. 346-348).

[SG] Id., (Ibid., t. 100, iS8J, p. 10G8-1070 et t. 101, i885, p. 307-809). [63] Sur l'équilibre d'une masse Jluide en rotation {Ibid-, t. 102, 1886, p. 970-972). [72] Sur Véquilibre d'une masse Jluide animée d'un mjuvement de rotation

{Acta Math., l. 7, i885, p. 269-380).

[94] ]d.,(Bull. astron., l, 2, i885, p. 109-118). [95] Id., (Ibid., t. 2, i885, p. 4o5-4i3).

[9G] Note sur la stabilité de l'anneau de Saturne (Ibid., t. 11, i885, p. 5o7-5o8). [108 j Sur un théorème de M. LiapiunoJJ', relatif à l'équilibre d'une masse Jluide

{C. B. Acad. Se, t. 104, 1887, p. 622-625). [III] Sur l'équilibre d'une masse hétérogène en rotation {Ibid., t. lOG, 188G,

[203] Sur la figure de la Terre (Bull, astron., t. 6, 1889, p. 5-ii et 49-Go). [212] Sur l'équilibre d'un Jluide en rotation {Ibid., t. 16, 1899, p. 161-1G9).

Le présent Volunie contient tous les Mémoires mentionnés ici, ;i l'exception de ceux portant les n"" 96, 203, 2I'4., 21."), 216, qu'on trouvera dans le Tome VIII des Œuvres. Il contient aussi ceux que II. Poincaré a publiés depuis 1901, époque à laquelle remonte son Analyse. L'ordre que nous avons adopté pour la publication est très sensiblement celui que E. Lebon a fixé dans la bibliographie se trouvant dans son Volume : Savan/s du jour : Henri Poincaré, 2'' édition, Paris, 1912; toutefois, les Mémoires qui figurent à cette bibliographie dans la Section Séries de la division Mécanique céleste sous les n"'* 10, 13, 11, 12 ont paru antérieurement dans les OEuvres : les deux premiers dans le Tome I, pages 162 et i64, les deux autres dans le Tome IV. Ils n'ont pas été reproduits, pages 585 et 588. (J. L. )

SUR

L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE AiM3IÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. 100, p. 346-3^8 (9 février i885).

Dans la deuxième édition de leur Traité de Philosophie naturelle, MM. Tail ol Thomson énoncent sans démonstration le résultat suivant, au sujet de la figure d'équilibre d'une masse (luide homogène, dont toutes les molécules s'attirent suivant la lf)i nevvtonienne et qui est animée d'un mouvement de rotation autour d'un axe. Outre les figures ellipsoïdales bien connues, il j a, d'après les géomètres anglais, une autre forme d'équilibre, qui consiste en une surface annulaire de révolution analogue à un tore.

.Fe suis parvenu à retrouver la démonstration du résultat de MM. Tait et Thomson en m'appujanl sur le principe suivant, qu'il est aisé d'établir rigoureusement :

Si un système quelconque, on équilibre stable sous l'action de certaines forces, vient à être soumis à des forces perturbatrices infiniment petites, il y aura, pour ce nouvel état de forces, une nouvelle position d'équilibre stable infiniment voisine de la première.

.J'ai cherché ensuite à déterminer les principaux éléments de la surface annulaire d'équilibre. A cet effet, j'ai choisi les unités de masse et de temps de telle façon que la densité de notre masse fluide soit égale à i et que l'unité de force soit l'allraclion nevvtonienne de deux unités de niasse à l'unité de dislance. C'est ce qui est le plus convenable dans une étude théorique.

J'appelle Ii la distance du centre de gravité de la section méridienne à l'axe

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. i5

de révolution. La section méridienne admet un axe de symétrie qui est la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur l'axe de révolution. J'écrirai l'équation de cette section méridienne, en prenant pour pôle le centre de gravite, et pour axe polaire l'axe de symétrie. L'équation s'écrira alors

p = r -H fi cos 2 o -I- Y cos 3 9 -i- . . . ,

r, 6 et y étant des constantes telles que les rapports i, , !^, -^, ... soient très petits.

Cela posé, j'ai négligé d'abord (3, y, ... de façon que la surface se réduise à un tore de rayons R et /•, et j'ai cherché à exprimer le potentiel V en un point quelconque de la surface du tore. J'y suis arrivé à l'aide des séries qui donnent les périodes K cl K.' d'une fonction elli[)tique, développées selon les puissances de A"- et de logA". < )n trouve que \^, qui ne dépend évidemment que de l'angle 9,

peut se développer suivant les puissances de ;•, de jj > de log - et de cos(p. Les

coefficients de cette série s'expriment par des intégrales définies.

Si l'on tient compte des quantités appelées plus haut j3, v, ..., on devra ajouter à V certains termes correctifs. Il faudra enfin disposer de la vitesse angulaire w et des coefficients 3 et y, de façon que l'expression

. V H ( R -I- s cos i )'-

soit indépendante de 9. (3n trouve ainsi (')

en négligeant des termes de l'ordre de ,tt, log .

On obtient de même

K étant une constante numérique qui s'exprime par une intégrale définie.

Les autres coefficients y, 5, . . . sont infiniment petits par rapport à p, de sorte que la section méridienne peut être assimilée à une ellipse dont l'aplatis-

•. 5wsement serait — — .

(') Cette formule et les suivantes ont été légèrement modillées par H. F'oincaré. lo/r ci-après, p. 23, et aux Notes, Figures annulaires. (J. L.)

i6 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

Le moment de la qunnlilé de mouvement est appioxiinalivement

2 T.'- ,-■' IV J\ log ^^ = M r R J\ log ^ ,

M désignant la masse du fluide.

La même méthode pourrait s'appliquer à une autre solution du même problème, énoncée également sans démonstration par MM. Tait et Thomson et où la masse fluide se répartit en plusieurs anneaux concentriques.

Je n'ai pu encore approfondir la question de la stabilité de ces masses annulaires. J'ai fait seulement, en passant, une remarque que je crois nouvelle.

Si la vitesse angulaire rsi est supérieure à y/27: (avec les unités adoptées), il n'y a plus pour la masse fluide aucune lîgure d'équilibre stable possible.

SUR