IX. — Détermination des coefficients de stabilité

Considérons un ellipsoïde fluide et homogène en équilibre sous l'action de l'altraclion newtonienne et de la force centrifuge. Supposons qu'il subisse une déformation infiniment petite, sans que son volume change, et cherchons à évaluer le travail des forces qui agissent sur le corps pendant cette déformation

infiniment petite. Soit

l'ellipsoïde envisagé et soient ;j. et v les coordonnées elliptiques qui définissent la position d'un point sur cette surface. .Soit Ç la distance de l'ellipsoïde à la surface déformée comptée sur la normale à l'ellipsoïde; soit ^ la résultante de l'attraction el do la force centrifuge en un point de la surface de l'ellipsoïde à l'étal d'('quilibro; cette résultante est comme on sait normale à l'ellipsoïde. Soit enfin d'j) un élément cpielconque de la surface de l'ellipsoïde. Pendant la déformation, une molécule quelcon((ue peut être regardée comme soumise à trois forces : à l'attraction de l'ellipsoïde supposé fixe, à l'attraction du bourrelet infinitésimal formé par la dillérencc entre la surface déformée et l'ellipsoïde, el à la force centrifuge. Si nous considérons un point matériel (pelconque de masse i et que nous appelions A sa distance à Lin éloineut (pielcon(|ue dm' de la masse de l'ellipsoïde et r sa distance à l'axe dos j; si nous posons (')

/" '//ti (')- /■'-

la variation de V mesurera précisément le travail des forces agissant sur ce point matériel et ducs à l'attraction de l'elli()soïde et à la force centrifuge, en laissant de côté l'attraction du bourrelet dont nous venons de parler.

Il résulte des hypothèses faites, (pie sur toute la surface de l'ellipsoïde, la fonction V a uuo valeur constante fpie nous appellerons V,,. Si au lieu d'un

(') On remarquera que je désigne par w la vitesse de rotation et par rfio un clément île rcllipsoïde; par \i. une des coordonnées elliptiques et par d[i. un élément du bourrelet. Il n'en peut résulter aucune confusion, puisr|uc les iliirerentielles de w el de \i. nVnlrcnt p.is rians li' calcul.

point situe sur l'ellipsoïde, nous envisageons un point M intiniment voisin de cette surface, nous abaisserons du point M sur l'ellipsoïde une normale MM' de longueur infiniment petite 1. La valeur de la fonction g au point M sera précisément aussi la valeur de la dérivée de la fonction \, estimée suivant la nt)rmali'. ( )n aura donc au point M, en négligeant les inliniinent petits du deuxième ordre

Quelle est maintenant l'énergie potentielle totale de la niasse fluide déformée ?

,,,.,,,, . , .1 rrdtndin , , ,

L énergie due a 1 attraction seule aura pour expression - // dm et dm

étant deux éléments quelconques de la masse lluide et A la dislance de ces deux

éléments. L'énergie due à la force centrifuge sera / ~r'-dm, r étant la

distance de l'élément dm à l'axe des .:. r..e double de l'énergie potentielle totale sera donc

y. \\ = // / ft'r-i/iii.

J'appellerai W,, la valeur de W dans l'étal d'équilibre, c'est-à-dire quand la figure de la masse fluide se réduit à l'ellipsoïde.

Mais nous devons distinguer parmi les éléments de la niasse fluide, les éléments de l'ellipsoïde que j'appellerai dm et dm' , et les éléments du bourrelet que j'appellerai rffjt et d[i.' . Parmi ces éléments, il j en aura de négatifs, puisque, le volume ne changeant pas pendant la déformation, on doit avoir

On a donc

,,, (Tdmdni {T dm du! (T dm d\x fP du. dii.' T „ , , C

.^V^„=ffËIIll!!!^^f,y.,.dm,

ce fpii peut s'écrire

«r -ixr H' dm' d\x r . , , /r^'!^'^.^

2 W = 2 Wo + 2 |/ ■—- -!- / to- r- d[x -^ Il ,

OU puisque

„ f" dm' (')- r-

on aura

' dix d'x'

) \N = o VV„ -I- 9 I \' d\x — Il

88 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

Considérons un élf^monl (|uelconque d(<i île la surface de l'ellipsoïde. Menons par les divers points de cet élément des iioriimles à l'ellipsoïde. Nous aurons ainsi déterminé une sorte de cylindre inliniiiienl délié et dans lequel nous découperons une tranche infiniment mince en le coupant par deux plans situés à des dislances À et >. -j- d'i. du cenlie de l'élément d(^ et parallèles au plan de cet élément. Si ')■ est compris entre zéro et i^, la tranche ainsi découpée dans ce cylindre appartiendra à notre bourrelel; co sera un de nos éléments c?p., de sorte que nous pourrons écrire

Nous écrirons de même

iNous aurons donc pour trouver 1 expression de VV à calculer les deux intégrales

' '/À (Al) li'h' </(!)'

fvdXcho et jj '■

Mais ?i étant très petit, on a comme on a vu

ce qui donne pour la première intégrale

/ Vu dix — f S '■ "'' ^"•

Le premier terme est nul; le second peut s'écrire

- \ s "'"^ / '■ "''■ ou bici] — I è> v

(fu).

Il reste à calculer la seconde intégrale. Nous remarquerons que \ et ^' étant très petits, on peut considérer A comme représentant non pas la distance des éléments dp. et rfp.', mais celle des éléments du et dw qui en didère très peu. A est alors indépendant de \ et de /.' et l'on peut écrire

fP djj. dix' ^ jV dM f/oj' ;"^^^ f^ d)'= if ''^" '^"'' '''''

Il reste donc finalement

\v w ^ r y. I , ' (rdi,idM'tX:

w = w„ --js^- ''"' + - jj — ^— ■

Avant d'aller plus loin, il faut calculer g. La force g peut être décomposée en trois composantes dirigées suivant les trois axes des x^ des y et des z. La composante parallèle à l'axe des x par exemple, est parallèle à la coordonnée x du point d'application. De mêmi' pour les >\v\\\ autres composantes.

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. fi.)

Si donc on appelle a, 5, y les cosinus directeurs de la normale cl A', A', A" trois constantes, on aura

gy. = kx, i^H = k'y, g"; = k" z. Mais l'équation de l'ellipso'ide est

ce qui donne

On a donc

Arp-: k'(p-^—ù') k"{'S^—c-)

Si nous reprenons les notations du paragraphe précédent et que nous écrivions

il viendra

K. étant nue nouvelle constante ne dépendant que de &, b et c.

Il reste à déterminer cette constante. Pour cela il suffit de calculer l'expression de ^ à l'exlrémité de l'axe des z\ dans ce cas, ^ se réduit à l'atlraclion dt^ l'ellipsoïde et peut s'écriic