II- du

4rpv/p^-6HV-'^^ /

\ [ p- — c- -I- ( c- — 6- ) u- ] ( p'- — c2 H- c- u- ) D'ailleurs on trouve aisément

Il vient donc, par une transformation simple de l'intégrale,

La fonction \/p- — c- est une fonction de Lamé que nous appellerons R, ; c'est d'ailleurs la fonction que nous avions désignée dans le paragraphe précédent par la notation plus compliquée : R',",- Nous chercherons à éviter les triples

1)0 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

indices toutes les fois qu'il ne seront pas nécessaires et nous rangerons les fonctions de Lamé dans un ordre quelconque; nous les appellerons R|, U.j R, Nous poserons donc

Si d'autre part, nous envisageons la fouclion Si conjuguée de Ri, nous aurons

iîi = 3 V -/- — c- / . •

On a donc à l'extréinilé de l'axe des ; :

et comme nous avons vu plus haut que l;1 est une constante, nous pourrons conclure que gl conserve celle valeur sur toute la surface de l'ellipsoïde.

Développons maintenant ^ qui est une fonction de ;j. et de v en une série

convergente de la forme suivante : 2A,M,N,-, A, étant des constantes et M,, >i, des fonctions de Lamé. Cela est loujonrs possible, comme nous l'avons dit à la lin du paragraphe précédent. Nous aurons donc

C = i;\,Mi,-.N,-, et de même

On tire de là

j g ';^ rfo) = 2] T" y é'^' ''"' -^'^ ^'f -*-]^ A ,■ A <. ^ gn Ck,^ M, N, Mi N;(.

y,ç--^%/io=2^'^l'MSiy/M?!Vfrf<o-^2A(A*|;:R,S.y/MiN,MiNx^/w. Si l'on observe que

il reslc

Cg^di^i^ ^rRiS.SA;- /"mfN,-^/a).

ou

ou

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. On Iroiive d'autre pari

JE4^ = ..v.u/

A lus Jeux indices i et A pouvaiU cire égaux ou dillerenls. Mais on a

On a donc

Si « esl différent de A", on aura

Il reste donc