JJ A ' J ' ' 2 " H- I

On arrive donc fiaalement à l'expression suivante pour VV :

■> ' , ' \ i ■'. Il -h l f

n est bien entendu le degré de la lonclioii de Laïué R,.

Nous pouvons considérer la foruie de la surface déformée comme définie par les coefficients A,. Les coefficients de stabilité seront alors

-'"/(^-îî^) »■.-.•■

Pour qu'un des ellipsoïdes puisse être une forme de bifurcation, il faut que l'un de ces coefficients s'annule, c'est-à-dire que l'on ait

pour l'une des fonctions R,.

D'après cela, il y a un des coefficients qui est toujours nul, c'est celui qui correspond à j = i. Cela était aisé à prévoir. En effet on peut déplacer l'ellipsoïde parallèlement à lui-même et parallèlement à l'axe de révolution sans changer l'étal d'équilibre. Si l'on imprime ainsi à l'ellipsoïde un mouvement de translation infiniment petit et parallèle à l'axe des -, et si l'on appelle Ç la distance des deux ellipsoïdes infiniment voisins comptée suivant la normale, on a eu négligeant les infiniment |)etils du deuxième ordre :

ç)2 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.

A,- étaut une consliinle. Coinnie lo> deux ellipso'idos sont des surfaces d'équilibre, il faul donc bien que le coetficicul de stabilité qui correspond à i -^ i s'annule. \ a-t-il des cas où d'autres coefficients de stabilité s'annulent '.' c'est ce que nous csaminerons dans les paragraphes suivants.

On peut arriver à l'équation (i) par une autn; voie un peu plus simple et que j'aurais même préférée si je ne me réservais d'e\amineiplus loin la f|uestion de stabilité.

Supposons que l'on ajoute à l'attraction newlonienne et à la force centrifuge qui agissent sur la masse fluide, des forces perturbatrices quelconques, mais très petites. La masse fluide prendrai alors une forme d'équilibre très peu diflerente de l'eliipso'ide. Celte forme sera unique si aucun des coefficients de stabilité ne s'annule; elle sera mal déterminée en général, si l'un de ces coefficients est nul.

Nous reprendrons les mêmes notations que plus haut et nous définirons la surface d'équilibre déformée par la valeur de t que nous développerons en série comme précédemment :

les A,- étant des coefficients infiniment petits qu'il s'agit de déterminer pour définir la nouvelle forme d'équilibre. Soit comme plus haut V le potentiel dû à l'aliraction de l'ellipsoïde et à la force centrifuge, c le potentiel dû à l'attraction du biiurrelet, i' le potentiel ilTi aux forces perturbatrices. On devra avoir sur toute la nouvelle surface d'équilibre :

Ca) V -H r -f- 1-' = const.

Mais on a, puisque X. est infiniment petit,

et de plus

■ XI dw

A étant la distance d'un point quelcon(|iie '\y\ bourrelet au |)()iul envisagé de la nouvelle surface libre; mais comme Ç est infiniment petit, on peut remplacer ces deux points par leurs projections sur l'eliipso'ide. A est alors la distance de deux points de l'eliipso'ide et l'on a

'■ =iu ^ 'J — Â — = ' "2; ■.» + , •

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 93

Nous pouvons écrire d'ailleurs

les B, t'iani des coefficienls très petits que l'on peut regarder comme donnés. L'équation (2) pourra alors s'écrire, et remplaçant^ et Ç par leurs valeurs,

If BiS.y A;M,N,^-4;ry A;R,S,M,N, ^V B;Mil\', = consl.

i ZU ^ -> n ■+- I .^W

Nous identifierons dans les deux iiiemlircs les coefficients de M,-N, et il viendra

\ .! :> n -hl /

Ces équations détermineront complètement les coetficieiits A, et par conséquent lu nouvelle forme d'équilibre, à moins qu'on n'ait

, , Kl S, R;Si

C'est donc là aussi la condition pour que l'un des coefficienls de stabilité s'annule.