X. — Discussion de l'équation fondamentale
Nous avons maintenant à rechercher si l'équation
où p- est rincoiinue admet des racines comprises entre + lï- et +00. Parlons d'abord de l'équation plus générale
Ht Si RiS,-
n et m étant les degrés des fonctions R, et R^. Le premier membre F tend vers zéro quand p croît indéfiniment, car les fonctions R^Sa et R,Sj sont de degré — i en p, comme on l'a vu dans le paragraphe précédent. Si Ra et R, contiennent en facteur y/p- — r-, F s'annule encore pour p- = c^. On a d'ailleurs
F ^ St 1 Ri' ^ __!
R^. R/, ^m-hi Kl R,- 2/? -t-i"
Les racines de l'équation
qui sont siipéi-ieures à c- soni le> nuMiics que celles de l'équation (a); en ellel R* peut s'annuler pour &-'= c-, niais jaumis pour p- > r-.
Si nous voulons séparer les racines de l'équalion (3), il suffit d'appliquer le ihéorénic de RoUe et d'écrire que la dérivée du premier uicnibrc de (3) est nulle. On olilieni aiu'-i l'é<[ualion
d Si IV y Si S,- V H"
da ( ■> m -+- I ) Ux- R| rfp (-.'n -hi ) H, (-.ui -h i ) H, f/p H'i ~
-Mais on a, d'après la définition uicuie des fondions b : (/Si — 1 ,/ S, — I
rh (2 m -I- I ) Ha k^ V ^?- — ^-MP' — c- j "'? ('• "~'> ''"' H r v/ (p- —b-^) (i2 — C-)
Il reste donc
ce qui e.\j)rinie que le rapport —- passe par un tuaxiniuiii ou minimum, car S ne peut s'annuler.
Nous pouvons donc énoncer le résultai suivant :
Les racines de l'équalion (a) supérieures à c-, en laissant de côté la racine csi elle existe, sont séparées par les racines de l'équation
dp R| - "' ce qui peut encore s'écrire
où
(jherclioiis luainlcnnnt à séparer les racines de l'équation (4) elle-iiicmc. Pour cela annulons la dérivée du premier membre par rapport à £. 11 viendra
où
iMais l'équation ( i ) du paragraphe VUl peut s'écrire
en ce qui concerne 1«, cl
l'i'^, = \ rni m -t- i)p- — Kx | li/,
en ce qui concerne R/,. L'équation (5) devient ainsi, en supprimant le facteur lîjli/, qui ne peut s'annuler pour les valeurs supérieures à c- ;
(6) \ n(n -hi) — /«(/// -t- i)]p-~ 13,+ B/,.= o.
Il est clair qu'une pareille o(jualion no peut avoir qu'une racine supérieure à c'^. L'équation (4) aura donc au plus deux racines égales ou supérieures à c-, et l'équation (2) aura au plus trois racines supérieures à c- (sans y comprendre la racine c- si elle existe, mais en y comprenant la racine 00 ).
Si l'équation (4) n'a aucune racine supérieure à <■-, le rapport |^ est toujours croissant ou toujours décroissant quand p' croît de c- à l'infini. Supposons par exemple qu'il soit toujours croissant. On aura alors
7i^nj>"' ''^'" '7pR|<°'
l'expression ki est donc toujours décroissante etcomme elle tend veis zéro [imir
p = 00, elle doit toujours être positive. On a donc F > o. Revenons en particulier à l'équation ( 1 ) et supposons
Kt= K,= v'r--
Supposons d'abord que 1'», contienne ou lacleur yp- — c-, nous pourrons écrire
o étant un facteur qui pourra être p, p \' p" — ■ b- ou y p-* — b- et F, étant un polynôme entier en p-. L'équation P,=:o n'est autre que l'équation [S) du paragraphe VIII, débarrassée des facteurs que nous sommes convenus tle lui enlever. Nous avons vu que cette équation a toutes ses racines réelles et
(|u'elles sont comprises entre zéro et c'-. L'équation ' ^ o aura donc aussi
toutes SOS racines réelles et comprises entre zéro et c'-' ; d'où il résulte ([ue, pcroissant de r-' à + 00 , P,- sera constamment croissant. Il en est de même de p
et de \/p^ — b- et par conséquent de o et de 7-^ = cp P,-. 11 en résulte que si R,
contient ^p^ — c' en facteur, l'équation (i) n'a aucune racine supérieure à cet que son premier membre est toujours positif.
Supposons maintenant que R, ne contienne pas y/p^ — c^ en facteur. Quand
0 est très grand, on peut regarder - comme un infiniment petit du pi'emier ordre.
gfi SUR L'ÉQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.
On a alors en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre :
HiSi=R(S/=-) d'où — = -\ô~- "■
Le premier membre de ( i ) est donc toujours positif, à moins que n ne soit ésral à i .
Pour p-=zc-, Ui S| s'annule et par hypothèse R,S; ne s'annule pas; le premier membre est donc négatif. Ainsi-la substitution de p-:=r'-' et d'une valeur de p- |)ositive et très grande donne des résultais de signe contraire; le nombre <lcs racines de l'équation ( i ) supérieures à r- et finies sera donc impair.
Ornons avons vu (juc le nombre des rarines supérieures à r- étail au plus égal à ô. en y comprenant la racine p-'i=a) ; si l'on ne tient pas compte de cette racine, le nombre des racines sera au plus égal à 2; et comme il doit être impair, il faut qu'il soit égal à i .
Nous avons laissé de côté le cas où /i = i auquel correspondent deux fonctions R/, à savoir
Il est aisé de voir que quand p^ croît depuis r- jusqu'à +00, les rapports
et ' vnni toujours en décroissant. On doit donc conclure que
l'équation ( i ) n'a aucune racine finie et plus grande que c-, et que son premier membre est toujours négatif.
Voici donc en résumé quel est le nombre des racines de l'équation ( i ) finies et supérieures à c- :
R, divisible par y/p- — c-'; pas de racine; premier membre positif; R, non divisible par \/p- — c^ ; « > i ; une racine;
Ri non divisible par yp- — c^; n = i; pas de racine; premier membre négatif.
Revenons maintenant au cas général, et cessons de supposer que R/= R( ; qu'arrive-t-il alors de l'équation (2) ?
Soit d'abord « > to, et supposons que R, soit divisible par ^p- — c- et que R/, ne le soit pas. On voit alors tout do suite que F est positif pour p"= c'- et pour p^ très grand et positif. L'équation (2) n'a donc pas de racine finie et
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. 97
supérieure à c-, ou bien elle en a deux. Quant au rapport jr-') il est nul pour
p-^c' et infini pourp- = co ; il est donc croissant pour les valeurs de p^ très peu supérieures à c- et pour les valeurs très grandes. Donc dans les cas où l'équation (2) a deux racines, il doit en être de même de l'équation (4) elle
rapport 5^ doit présenter un maximum et un minimum.
Supposons maintenant que R/, soit divisible par y p- — c^ sans que R, le soit. Alors pour p- ^ c-, on a
pour p- positif et très grand,
il y a donc un nombre impair de racines, et comme ce nombre ne peut dépasser 2, il faut qu'il soit égal à i .
Supposons maintenant que R^, et R/, soient tous deux divisibles par y/p- — cou ne le soient ni l'un ni l'autre; on aura alors pour p- = c- :
Il est possible que cette même équation (4) puisse avoir une autre racine supérieure à c'-, mais elle n'en peut avoir qu'une. Pour qu'elle en ait une, il faut d'abord que l'équation (6) en ail une, c'est-à-dire que
(7) • B,-— Bi> [«(rt -Hi) — m(m + i)]c^
Cette condition est d'ailleurs suffisante. Si cette condition est remplie l'équation (2) pourra avoir une racine. Dans le cas contraire elle n'en aura aucune. D'ailleurs il en est encore de même si, la condition (7) n'étant pas remplie, R, est divisible par ^p- — c- sans que Ra le soit.
Dans le cas de 71 := //i, qu'il nous reste à examiner, l'équation (6) qui se
réduit à
B,-Bi,= o
ne peut avoir aucune racine. L'équation (4) ne peut donc en avoir qu'une et l'équation (2) en aura également une au plus.
Si de plus R, et Pi/, sont tous deux divisibles par y/p- — c-, ou ne le sont ni l'un ni l'autre, le premier membre de (4) s'annule pour p'-=:c- et ne peut avoir d'autre racine. L'équation (2) n'en a donc aucune.
Si R, est divisible par yp- — c- et que R* ne le soit pas, il peut y avoir zéro ou une racine. Il n'y en a pas si ~ est plus petit que i pour p positif et très H. P. — VII. ,3
98 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
grand. 11 v eu a une dans le cas contraire; car alors pour les valeurs très grandes de p, F est négatif, et pour p'-^c-, on voit aisément que F est positif. En résumé on a
si rt > /« : R/ div. R<- non div. o ou 2 racines;
si n > m : R, non div. R^ div. i racine;
si n > m : Rj div. R^ div. o ou i racine;
si n > m : R; non div. Rj non div. o ou i lacine;
si n = m : R( div. R^ non div. o ou i racine;
si n = m : R, non div. Ri div. o ou i racine;
si n = m : R/ div. R^; div. o racine ;
si n = ni : R/ non div. Rj non div. o racine.
XL — Ellipsoïdes de révolution.
Parmi les ellipsoïdes aplatis de révolution qui sont des figures d'équilibre de notre masse fluide, j en a-t-il qui sont des figures de bifurcation ?
Pour étudier ces ellipsoïdes nous prendrons pour variable indépendante
\/e-' — c-* que nous appellerons A" à l'exemple de Liouville et non plus p^i, afin d'éviter l'indice 2. Nous prendrons c pour unité de longueur, de telle sorte que
c- = I . On aura alors
Rj „= A(A:-+ i)'-D/+"(A-+ i)", où (-(-y'=/i ou /i-ni,
A étant une constante et D un indice de dérivation par rapport à A". A une même fonction
correspondent en général deux fonctions de Lamé distinctes, à savoir : R/'/-/',»i et RJ+,y^„ si /--(-" est pair
et
R«-/,n et R^+i/^„ SI J -t- n est impair.
A chaque fonction (i) correspondront donc deux coefficients de stabilité que j'appellerai pour abréger By„ et Cy,„. Il y a exception quand j = o. Dans ce cas en efTet, à une fonction (i) ne correspond qu'une seule fonction de Lamé R,' „ si n est pair et R^ ^ si n est impair, et par conséquent ne correspond qu'un seul coefficient de stabilité.
Quand on fait croître w depuis zéro jusqu'à une certaine valeur w,,, on trouve comme figures d'équilibre deux ellipsoïdes de révolution qui se con-
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotatIdn. 99
fondent pour w = W(, et disparaissent pour (•> > 0)0. A chaque valeur de w < wo correspondent donc deux valeurs de k el il est aisé de voir que pour to = o, ces deux valeurs sont A" = o el A' = 00. Pour co = coq, ces deux valeurs se confondent en une seule, Ao. 11 j a donc deux séries linéaires ^ et -' de formes d'équilibre réelles, la série i comprenant les ellipsoïdes tels que A<;A"o, el la série ^', les ellipsoïdes tels que A > Ao-
L'ellipsoïde A =: A'o est une forme limite.
Si l'on fait varier A depuis zéro jusqu'à + ao , on voit l'ellipsoïde, d'abord infiniment aplati, se rapprocher ensuite indéfiniment de la sphère. En même temps w croît d'abord de zéro à Uq et décroît ensuite de to„ à zéro.
Si en suivant la série i ou la série i', on voit un des coefficients de stabilité changer de signe, l'ellipsoïde correspondant sera une forme de bifurcation. Les deux coefficients de stabilité Bj^n et Cy,n que je viens de définir sont toujours égaux entre eux. Quelle est la condition pour que ces coefficients s'annulent ? L'équation By n=o n'est autre que l'équation (i) du paragraphe précédent. D'après la discussion de ce paragraplie, on voit que le coefficient Bj^n s'annulera pour une certaine valeur de A, si j -+- n est pair et si n est plus grand que 1, et ne s'annulera jamais si celte condition n'est pas remplie. Cette même discussion montre que ce coeHicient change de signe en s'annulanl. Donc l'ellipsoïde correspondant est de bifurcation.
Ainsi à tout système de nombres j et n tels que (2) y = '* (moda), n>i
correspond une valeur de A qui annule deux coefficients de stabilité et par conséquent un ellipsoïde de bifurcation.
Il v a exception pour le système
L'ellipsoïde correspondant est l'ellipsoïde oj ^ co„. A" = Ao dont nous avons parlé plus haut. C'est une forme limite et non une forme de bifurcation. Un autre système intéressant est le suivant :
L'ellipsoïde correspondant est celui qui appartient à la fois à la série des ellipsoïdes de révolution el à celle des ellipsoïdes de Jacobi.
Soient deux nombres y el n quelconques, satisfaisant aux conditions (2); soit Ky,„ la valeur de A qui annule le coefficient By,,, et iîy„ la valeur de co correspondante.
tOO SUR L EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.
Faisons mainionaul
£ élanl une quantité iufiniiuoni petite; à cette valeur de w correspondront deux formes d'équilibre, nu ellipsoïde de révolution E et une figure <!> très peu différente. Eludions de plus près colle lîj^ure <I>. Nous définirons cette figure de la fitçon suivante : menons à l'ellipsoïde E nue normale quelconque. Nous définirons le point lie l'ellipsoïde qui esl le pied de celte normale par deux coordonnées o et ^; cp sera l'angle formé par le plan qui passe parle point considéré et l'axe des z avec le plan des xz, et p. sera la deuxième coordonnée elliptique comprise entre 6- = o et c- == i . Je prendrai sur cette normale une longueur Ç. La position d'un point dans l'espace sera ainsi définie par les trois coordonnées Ç, fx (!t ©, et c'est dans ce système de coordonnées que je vais écrire l'équation de la figure •!•. Au système de nombres y* et n correspondent deux fonctions de Lamé ainsi ([u'on l'a vu :
RI .111 3 p. [(• .lU i.
auxquelles il faut adjoindre leurs conjuguées :
/ Ml "u :) pt M- "" *.
^ ' ) N' "!' ■•' et N- "" *■
Les deux fonctions M sont égales cuire elles et s'obtiennent en remplaçant
dans la fonction R correspondante A' par \/i — p.-, et les deux fondions N sont égales, l'une à cosjw, l'autre à siny'cp.
L'équation de la figure >b pourra alors s'écrire
Ç = /(A,M,N,-+- AîMîN.,)
en négligeant les infiniment petits du deuxième ordre (s étant du premier ordre). Dans cette équation / a le même sens que dans le paragraphe VIII; Ml, N,, M2 et No sont les fonctions (3); A, et A., sont dtiux constantes infiniment petites du premier ordre et dont le rapport est arbitraire. Posons
A| = Ooos),, A«=0.sinX,
0 étant une constante infiniment petite dépendante de £, et 1 étant une constante arbitraire; il viendra, en remplaçant M,, N|, M^ et N-, par leurs valeurs :
(4; ï = o/cos(y?-/.)M,
la fonction M s'oblenant comme je l'ai dit plus haut.
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. ioi
Si l'équation (4) élail, l'équation exacte de la (igure «I», celte équation prouverait que la figure «ï» jouirait des symétries suivantes :
1° Si y := G, la figure •& serait de révolution autour de l'axe des z.
2° Sij n'est pas nul, la figure <I> ne changerait pas quand on la ferait tourner
autour de l'axe des z d'un angle ^"; elle admettrait y plans de sjmétrie passant
par l'axe des -, de façon que l'angle dièdre de deux de ces plans de symétrie
consécutifs soit -"-•
3° Goinmey-l-rt est toujours pair, le plan des x)' serait aussi un plan de symétrie.
4° Enfin si y est pair, l'axe des z serait un axe de symétrie, et l'origine un centre de symétrie.
Mais l'équation (4) n'est qu'une équation approximative de la figure <I>. Pour l'établir, nous avons négligé les infiniment petits du deuxième ordre; de sorte qu'on peut se demander si ces diverses symétries subsisteront encore quand on étudiera l'équation exacte de la figure <I> et qu'on tiendra compte des termes d'ordre supérieur. La réponse à cette question doit être affirmative.
Pour s'en assurer, voici quel artifice on doit employer. Supposons qu'on introduise dans le système des liaisons auxiliaires et qu'on assujettisse la masse fluide à présenter les symétries que nous venons d'énumérer. Je dis que, même avec ces liaisons supplémentaires, l'ellipso'ide qui correspond à la valeur lS.j,n de /{ et à la valeur i2y „ de w sera encore une forme de bifurcation.
En elTet nous avons vu au paragraphe IX qu'une surface très peu différente de cet ellipsoïde peut être définie par la dislance Ç d'un point de cette surface à l'ellipsoïde (comptée sur la normale à l'ellipsoïde) et que cette dislance Ç elle-même est donnée en fonction des coordonnées elliptiques sous la forme d'une série convergente
Mp et N/, étant des fonctions de Lamé, de telle sorte que la surface en question sera déterminée par la connaissance des coefficients A^. INons avons vu ensuite dans le même paragraphe que l'énergie potentielle totale W pouvait s'écrire, en négligeant les cubes des coefficients Ap :
(5) W=\V„+i:A;,Bp,
les Bp étant les coefficients de stabilité; de plus, avons-nous dit, pour que
102 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.
l'ellipsoïde soil une figure de bifurcation, il faut et il sulTil que l'un des By, s'annule.
Qu'arrive-t-il maintenant quand on introduit des liaisons dans le système?
Supposons d'abord qu'on assujettisse la masse fluide à être de révolution autour de l'axe des z et symétrique par rapport au plan des xy. Comment ces conditions s'exprimeront-elles analytiquemenl? Elles signifieront que tous les coefficients A^ sont assujettis à être nuls, sauf ceux qui correspondent à une fonction Mp dont les nombres caractéristiques ji et n, satisfassent à la
condition
j\ = o, /ii==o (mod2).
Que faut-il maintenant pour que l'ellipsoïde soit de bifurcation quand on envisage l'équilibre d'une masse fluide assujettie à ces liaisons? Il suffit que dans l'expression (5), le coefficient Bp de l'un des termes AJ^ qui ne sont pas assujettis à être nuls, change de signe.
Nous avons supposé que pour l'ellipsoïde k =Ky^„, le coefficient de stabilité défiai par les deux nombres y et n s'annulait; si nous avons
j = o, /! = o ( mod 2 )
ce coefficient de stabilité est un de ceux qui multiplient un terme A^ non assujetti par les liaisons à être nul.
Si donc on envisage l'équilibre du système soumis aux liaisons que nous venons d'énumérer, l'ellipsoïde A"= K,,,,, sera encore une figure de bifurcation. Pour la valeur de
on aura donc deux formes d'équilibre du système à liaisons, à savoir un ellipsoïde et une figure <!•' très peu difTérente.
La figure <&', à cause des liaisons mêmes auxquelles elle est supposée assujettie, sera de révolution et symétrique par rapport au plan des xy. Mais par suite de la nature même de ces liaisons, la figure <I>' qui est en équilibre en tenant compte des liaisons, restera en équilibre quand on les supprimera. Ce ne peut donc être que la figure <!• elle-même qui se trouve ainsi être de révolution quand j est nul.
Supposons maintenant que y ne soit pas nul.
Assujettissons le système aux liaisons suivantes; la masse devra admettre pour plans de symétrie le plan des xy et les y plans :
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. io3
Ces conditions Iraduiles analytiqueinent signifient que tous les coefficients A,, sont assujettis à être nuls, sauf ceux qui correspondent à une fonction Myj dont les nombres caractéristiques y'i et rii satisfont à la condition
j\^o (mody), y'i -h «isa o (mod2).
De plus nous avons vu que parmi les fonctions N, les unes sont de la forme cosy'cp et les autres de la forme sinja; les coefficients de ces dernières seront tous assujettis à être nuls.
Pour que l'ellipsoïde soit de bifurcation quand on considère l'équilibre d'une masse soumise à ces liaisons, il faut et il suffit qu'on voie s'annuler l'un des coefficients de stabilité B^, qui multiplie un terme A^ que les liaisons n'assujettissent pas à être nul.
Pour l'ellipsoïde A'^Ky,,, les deux coefficients de stabilité définis par les deux nombres J et n s'annulent ; or l'un d'entre eux multiplie un terme A^ que les liaisons n'obligent pas à s'annuler.
Donc, même dans le système à liaisons, l'ellipsoïde Ky,„ sera une forme de bifurcation. Si l'on fait
on aura deux formes d'équilibre du système à liaisons, à savoir un ellipsoïde et une figure $' très peu différente.
La figure <b', en vertu de ses liaisons mêmes, aura y 4- i plans de symétrie. Mais ces liaisons sont de telle nature que l'équilibre de la figure <b' subsistera quand on les supprimera. La figure <ï>' n'est donc autre chose que la figure $ elle-même qui doit ainsi avoir y -+- i plans de symétrie.
Je vais maintenant expliquer pourquoi les liaisons, dont il vient d'être question, sont telles que si une masse fluide est en équilibre en tenant compte de ces liaisons, l'équilibre subsistera encore quand on les supprimera.
Pour simplifier l'exposition, je supposerai un seul plan de symétrie P qui pourra être, soit le plan des xy, soit un plan passant par l'axe des z.
La condition d'équilibre de la masse fluide supposée libre, c'est que le potentiel V, dû à l'action de toutes les forces qui agissent sur une molécule du fluide, soit constant sur toute la surface libre.
Si l'on assujettit la masse fluide à être symétrique par rapport au plan P, cette condition se trouve un peu modifiée. Soient V le potentiel en un point quelconque de la surface libre, V le potentiel en un autre point de cette
:o4 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
surface, svmélri(]iie ilii premier par rapport au plan 1'; la nouvelle condition
d'équilibre sera
V + V"= consl.
Supposons que cette condition soit remplie et que la masse fluide se trouve en équilibre sous l'action des forces extérieures et des liaisons, et soit par conséquent symétrique par rapport au plan P. Si les forces extérieures se réduisent à l'attraction et à la force centrifuge, elles seront elles-mêmes symétriques par rapport au plan P et l'on aura par conséquent V = V, d'où l'on déduit V = consl. Cette condition montre que l'équilibre subsistera encore quand on supprimera les liaisons. c. q f. u.
Il résulte de cette discussion que les symétries que nous avions été conduit à attribuer à la surface <t, en partant de l'équation (4) qui n'était qu'approximative, lui appartiennent rigoureusement, même quand on tient compte des termes d'ordre supérieur qui entrent dans son équation exacte.
Nous allons nous occuper maintenant de démontrer un résultat qui nous sera utile dans la suite.
Si k est positif et très grand, l'ellipso'ide est très voisin de la sphère et tous
les coefficients de stabilité sont négatifs. Si l'on fait décroître A", il arrivera un
moment où un ou deux de ces coefficients s'annuleront. Quel sera le premier
de ces coefficients qui changera ainsi de signe? Je dis que ce sera celui qui
correspond aux nombres
Appelons en effet R2 la fonction de Lamé correspondante et Sn sa conjuguée. Nous aurons
Soit maintenant R,- une autre fonction de Lamé et S,- sa conjuguée. Nous aurons
/' R,= \{k'--hifDJ+''{k"--hi)",
A étant une constante. Nous supposerons que j + n est pair, sans quoi le
coefficient correspondant à R,- ne s'annulerait jamais.
Il s'agit de démontrer que la racine Ko 2 de l'équation
H, S, R,So — 5- =°
est plus grande que la racine Ky,„ de l'équation
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. io5
R S ri ■ S Pour cela il suflit de démontrer que l'expression '."''' '-^-^ csl louiours
positive, ou bien encore que le quotient p-' est toujours croissant.
Nous distinguerons trois cas.
i" Supposons d'abord y > I .
Il vient alors
A est une constante positive; (A-+ i) ' se réduit à i ou est toujours croissant; enfin le dernier facteur DJ^"(k- -\- \)" est un polynôme entier en /: dont tous les coefficients sont positifs et est par conséquent toujours croissant.
2" Supposons maintenanty =o; 71 =: 2/). Il vient alors
R, (A-'-Hi)
La dérivée logarithmique du premier membre est doue
D-^/'+'(k'--\-iy-r -ik
■'D=F(FTTp k- -H i ■
Je veux démontrer qu'elle est positive, c'esl-à-dire que
F = ( A-- -H I ) DV^+i — 2 A- DV' > o,
où D-/' et D'-'-"*' désignent les dérivées d'ordre 2/> et2/> + i de (A-+ a)-''. On trouve
(/,2+l)V>=^^^,^yj^^,/c^/ (y = o, 1,2, ...,2/-.),
d'où
Von! 'yn \
jL^ q\ {■!]) — q)\(}.q — ■>p)\ ^' ^'' '
Nous écrirons pour abréger
D2/'= Zi\,ik"-i-"-P et il viendra
F = (k"--\- i)7:\^(->q —lp)k'-l-V'-i — ikZk^k-'J--l'.
Le coefficient de k"-i~'-P'^^ dans F sera donc
Pour que F soit toujours positif, il suffit que tous ces coefficients soient H. P. — YII. i4
io6 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
positifs, (^r comme tous les A,, sont positifs, il ne peut y avoir de doute que si 20 — 2p — 2 est négatif, c'est-à-dire pour q - p. Le coefficient de F devient alors
Si nous écrivons iju'il est positif, il viendra
ou bien
?./) ! (2yO -I- 2) ! 1p\lp\
(/)+i)!(/)-i)!2! P'-P'ou bien encore
MP + l) P .
011 enfin
ce qui est évident ; donc F est toujours positif. c. q. f. d.
3° On peut supposer enfin
Il viendra
ou en désignant simplement par D'^ la /,'""'" dérivée de (A--+- i)-''"^*
R , Kir^p+--
dont la dérivée logarithmique est
