DV+3 A
Uip+i A-2 -I- 1 '
pour qu'elle soit positive, il faut que
F =(A-2-+-i)D2/'+3— /irD2/'+2 >o.
Or on a
d'où
jLà ' ^Uq\{ip -^\ — q)\{lq — ip '—■1)\
(q =p + 1, p-\-ï, ..., ip + i).
Il vient donc
F = (A-=-(- I )i; Ay(25r — ip — ■i)k^i-''-n-^ — Â-SAyA-^-V'-ï.
Le coefficient de /;-'i--i'-' dans F sera donc
K,,{iq — ip — 'i) + kri + i{'iq — 2p).
Ce coefficient ne pourrait être négatif que si l'on avait
ce qui ne peut avoir lieu (jue pour q ^ p -\- i . Le coefficient de F devient alors
Ecrivons que ce coefficient est positif, il viendra
^ (2/) ^i)! (-.'p -h 2) ! ^ (2p H-i)! (ip ■+- 4) ! " (p^i)lpl ^^(p-hiy.{p-i)\2l
ou
ou
ou
inégalité qui est vérifiée même pour y? = i.
Donc F est encore positif. c. q. f. d.
Nous devons conclure de cette discussion que si l'on fait décroître k depuis + 00 jusqu'à zéro, de façon que l'ellipsoïde d'abord très voisin d'une sphère s'aplatisse de plus en plus, on rencontrera une infinité d'ellipsoïdes qui appartiendront à d'autres séries linéaires de figures d'équilibre. Le premier que l'on rencontrera ainsi sera celui qui appartient à la série des ellipsoïdes de Jacobi et qui correspond au cas dey = /t = 2,
Xn. — Ellipsoïdes de Jacobi.
Nous allons rechercher maintenant si parmi les ellipsoïdes de Jacobi il y a des formes d'équilibre de bifurcation.
Nous poserons comme dans le paragraphe précédent
et nous ferons varier b- depuis zéro jusqu'à c-= i .
A chaque valeur de b- correspondra une valeur de k, que j'appellerai H et
lojj si'R l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.
qui sera telle que l'ellipsoïde dont les axes sont /», y/A'-+c- — b- el y/A- + soit un ellipso'ide de Jacobi.
^^)yous quelle relation lie b' à II.
Parmi les fonctions de Laine du deuxième ordre, je citerai la suivante
py,''p'- — 6'-. Nous l'appellerons R3; eu ell'et si l'on l'ait 6-'=o, elle se réduit à A"-H-i ; c'est donc bien une des deux fonctions que nous avons appelées R» dans le paragraphe précédent el qui se réduisaient toutes deux à A-+ 1 pour 6*:=o; nous réserverons la notation Rj à la seule fonction p\p" — 6", à laquelle correspondront une fonction So et deux fonctions Mo = ;ji v/jA-i— 6^, N.; = V \,lb-— V-.
Si l'on fait tourner l'ellipso'ide E d'un angle infiniment petit autour de l'axe des z, de façon à lui faire occuper la position E'; puis que Ion ai)pelle Ç la distance des deux ellipso'ides E et E' comptée normalement à l'un d'eux, on trouvera aisément
Ao étant une constante inlinimeut petite.
Mais si l'ellipso'ide E est un ellipso'ide de Jacobi, son équilibre sera indifférent et ne sera pas altéré quand on fera tourner la figure d'un angle quelconque autour de l'axe des z. L'équilibre subsistera quand on fera varier Ao d'une manière quelconque. Donc le coefficient de stabilité correspondant devra être nul, c'est-à-dire que l'on devra avoir
Telle est l'équation qui lie H à b- et qui exprime que l'ellipsoïde E est un ellipsoïde de Jacobi.
Cela montre qu'à chaque valeur de b- correspond une valeur de II et une seule. Lorsque b- tend vers c-, cette valeur de H tend vers zéro. On sait en effet que quand oj tend vers zéro, le rapport du petit axe au mojcn, dans l'ellipsoïde de Jacobi, tend vers l'unité et que le rapport du petit axe au grand tend vers zéro.
l'our qu'un ellips(jïde de Jacobi soit de bifurcation, il faut qu'un autre de ses
coefficients de stabilité s'annule, ce qui exige que l'on ait
n étant l'ordre de la fonction R,.
L'équation
(3) 5:ili__ML = o
^ ' i in -h 1
aura une racine que j'appellerai K,, pourvu que R, ne soit pas divisible par
Les équations (2) se réduiront donc à H = K,. Pour 6-=o, on revient au cas du paragraphe précédent, et l'on a vu à la fin de ce paragraphe que H>K,-, car la plus grande des valeurs de k pour lesquelles un coefficient de stabilité s'annulait était précisément Ko, 2 c'est-à-dire H.
Voyons maintenant ce qui se passe pour ^- := c- = i .
'1 ■ La fonction R; se réduit à A(p'- — i)-D'^"^"(p- — i)", h élanl un entier plus
petit que n. En particulier Rj se réduit à (p- — i)'. Il résulte de là que si h n'est pas nul, l'équation (3) est satisfaite pour p- z= i . Par conséquent pour b- =z c-, K; devient nul el égal à H.
Au contraire si /( = o, R,- se réduit à AD"(p- — i)" et R, est positif et par conséquent plus grand que H.
Si donc h est nul, l'équation H = K; est satisfaite au moins une fois, el certainement un nombre impair de fois.
Nous pouvons discuter également l'équation
Nous devons rechercher d'abord dans quels cas le rapport ^ est toujours
croissant.
Si nous laissons de côté comme il convient les fonctions Pi, divisibles par y/p^ — c-, la fonction R, peut afTecter quatre formes différentes, à savoir
si /i = 2p, et
R;= v/p^-^^(p^-3;,)(f5-ao)...(p^-ï;,)
si n = ip -\- I . Les a sont des quantités positives comprises entre zéro et c- el que je suppose rangées dans l'ordre décroissant.
Tous les a étant plus petits que c-, tous les facteurs p- — a seront croissants quand p- croîtra de c- à +00. De même tous les a. élanl positifs, le rapport
no SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.
sera conslammenl croissant. Enfin le rupporl spra croissant si a
est plus grand que b-.
Dans les quatre cas possibles, nous pourrons écrire
R- = -7^^=(P — «O-'-Cp-— «/-).
Tous ces facteurs seront croissants si a^ est plus grand que 6-, ou bien encore
si R, est divisible par y/p- — b-. Dans ces deux cas le rapport ^ sera toujours croissant.
11 suit de là que l'équalion (4) ne pourra avoir de racine que si R, n'est
pas divisible par yp- — b- et a tous ses zéros inférieurs à b-. Les seules fonctions R,- qui satisfassent à ces conditions, sont celles que nous avons représentées par la notation RJ „ et qui pour b- = c-= i se réduisent à AD"(p- — i)". Les équations (2) ne peuvent donc être satisfaites si R/ n'est pas égala RJ, „, et si R,= RJ „, nous avons vu qu'elle peuvent toujours l'être.
Il resterait à établir qu'elles ne peuvent l'être que d'une seule manière.
Bien que diverses raisons me fassent penser qu'il en est probablement ainsi, je n'ai pu encore le démontrer rigoureusement. Il y aurait surtout intérêt à établir cette proposition en ce qui concerne In plus simple de toutes les fonctions RJ „, c'est-à-dire en ce qui concerne
jp[ôf-—2{b'--hc°-)-h \/ib' — yO-c--h 4c»].
Il faudrait pour cela des calculs qui seraient sans doute fort longs, mais qui ne seraient pas inextricables.
Soit Cn le coefficient de stabilité qui s'annule quand les équations
R.S, ^ RîS^ ^ Ri,nSi,„ 3 5 J n -H I
sont satisfaites.
Supposons que b- croisse depuis zéro jusqu'à i ; nous verrons tous les coefficients €„ s'annuler successivement.
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. m
On peut se demander quel est celui qui s'annule le premier. Je vais démontrer que c'est Gj.
Il suffira pour montrer qu'il en est ainsi, d'établir que le rapport rj^ (où n>/)) est toujours croissant quand p- croît de c- à l'infini.
On le vérifie aisément quand b'-^ o et quand 6- = c'-.
Supposons maintenant que b- soit quelconque. Soient B,i et B^ les valeurs
R' de B qui correspondent aux fonctions RJ^ et RJ,,,. Pour que le rapport— -f^ ne
fût pas constamment croissant, il faudrait, comme on l'a vu au paragraphe X, que l'équation en p-
eût une racine supérieure ù c-. Je dis que cela est impossible. En eflel l'expression suivante :
s'annule pour p- := b- et pour p- = c- ; car ces valeurs annulent à la fois °'"
et^.
de.
Il faut donc que dans l'intervalle compris entre b- et c-, l'expression
„ t "''^o.n n 1 '(-^l,p ,1, r. I RI Oi/^ -7--' "^O.n ~T7% — V*'u,«''o,/;
s'annule au moins une fois. Or RJ „ et RJ ne peuvent s'annuler puisque tous leurs zéros sont inférieurs à b- . Donc 4' devra s'annuler pour une valeur de pcomprise entre 6- et c-; cette expression, qui est du premier degré en p- nu pourra donc pas s'annuler pour une valeur p- plus grande que c-.
JNous devons donc conclure que C;, est le premier coefficient qui s'annule.
Les ellipsoïdes de Jacobi pour lesquels un des coefficients Cn s'annule sont des ellipsoïdes de bifurcation. A chacun de ces coefficients correspond donc une nouvelle série linéaire de formes d'équilibre. Que savons-nous sur les figures qui font partie de ces différentes séries linéaires?
Soit (On la valeur de la vitesse angulaire pour laquelle le coefficient G» s'annule; soit t une quantité infiniment petite. Pour la vitesse angulaire co„ + £, il y aura deux figures d'équilibre possibles, à savoir un ellipsoïde et une surface S qui en diffère infiniment peu et qui a pour équation
(5) ^ = 8/mi,,n;,,.
112 SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.
Dans celle équation, Ç, 0 et / ont la même signification que dans le paragra])lie précédent, et MJ „, N^^ sont les fonctions conjuguées de ,RJ „. La fonction M^ „ ne contient en facteur ni \/c- — p.- ni \/p-- — 6-'; de même la fonction NJ „ ne contient en facteur ni y/c'-' — v- ni y/6- — v-. Donc Ç ne change pas quand un de ces quatre radicaux change de signe, c'est-à-dire quand y se change en • — i', ou bien z en — z.
Gela veut dire que les plans des xz et des xj sont des plans de symétrie de la surface S.
Si maintenant n est pair, MJ „, NJ „, et par conséquent Ç ne changent pas quand on change fj. en — p. ou v en — v; cela revient à dire que Ç ne change pas quand on change a; en — ar ou que la surface S est symétrique par rapport au plan des)'^.
Cette symétrie n'a pas lieu si n est impair; Ç se change alors en — Ç quand a; se change en — .r.
Ainsi la surface S admet, si n est pair, les mêmes plans de symétrie que l'ellipsoïde dont elle dérive, et si n est impair, elle n'est symétrique que par rapport aux plans qui sont perpendiculaires au petit axe et à l'axe moyen. Dans tous les cas, elle est symétrique par rapport au grand axe.
Ce grand axe n'est pas l'axe de rotation et si n est impair, la surface S n'est pas symétrique par rapport à l'axe de rotation. Il est vrai que l'équation (5) sur laquelle nous venons de nous appuyer pour établir ces résultats n'est qu'approximative et qu'on y a négligé les quantités de l'ordre do 0'-'. Mais on montrerait par un raisonnement, de tout point semblable à celui du paragraphe précédent, que les symétries auxquelles nous conduit l'équation approximative (5) subsisteraient encore si on la remplaçait par l'équation exacte de la surface S.
Cette surface a donc rigoureusement deux plans de symétrie si n est impair, et trois si n est pair.
Parmi les surfaces S, nous distinguerons la surface ij qui correspond au coefficient de stabilité C3. Quelle est son intersection avec l'ellipsoïde dont elle dérive? Pour avoir celte courbe, il suffit d'écrire que Ç esl nul, ou que
Ml,, = o, NJ, = o, ce qui donne
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. ii3
Celle inlerseclion se compose donc de l'ellipse principale, section de l'ellipsoïde par le plan des yz, el de deux lignes de courbure de cet ellipsoïde. Cela n'est vrai, bien entendu, qu'approximativement et en négligeant le carré de 0.
La figure représente en projection sur l'un des deux plans de symétrie la surface -j et l'ellipsoïde dont elle dérive.
Le contour apparent de l'ellipsoïde est représenté en trait pointillé, le contour apparent de i.i el l'interseclion des deux surfaces en trait plein. On a couvert de hachures la portion de la surface ^3 qui est vue à travers l'ellipsoïde.
Fig. I.
On voit d'après cette figure comment on passe de l'ellipsoïde de Jacobi à la surface 2a- La plus grande portion de la matière semble se rapprocher de la forme sphérique, tandis que la plus petite portion de celte même matière sort de l'ellipsoïde par l'cxlrémilé du grand axe, comme si elle voulait se séparer de la masse principale. Qu'on me pardonne d'employer un langage aussi dépourvu de précision mathématique.
XI IL — Petits mouvements d'un ellipsoïde.
Imaginons d'abord une masse fluide homogène rapportée à des axes fixes; et supposons que ses molécules s'attirent suivant la loi de Newton el que chacune d'elles soit soumise en outre à une force dont les composantes suivant les trois axes soient ocx, j3 y et y^. Les coefficients a, (3 et y devront être choisis de telle sorte que la masse soit en équilibre absolu sous la forme de l'ellipsoïde
Supposons maintenant que la masse soit dérangée de cette position d'équilibre, H. P. — VII. i5
Il4 SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.
de telle façon t\\\ù les coordonnées de la molécule {x, y, z) deviennent x-\-Sx, y -h oy, z -+- oz. Nous imaginerons que ôx, ô}', ô; sont tels que
àx d.f -h 5 y cl Y -h oz t/z = (/a
soit une dillérenlielle exacte el que
.^ </o ., dm , (/ta
OX — ~-, 0)- = -p-) ÙZ = ^' ■
dx ' dy ilz
Pour l'équation de continuité, nous devons avoir
d- o d'-z> d- 5 dx- d}- dz-
de sorte que nous pourrons écrire
les E étant divers coefficients constants et R, M, N étant les fonctions de Lame. Les composantes de la vilesse de la molécule (x, }', z) sont
d- o d- zi d- o " — — - p = -; — — 1 w = — -
dxdt' dydl dzdt
La demi-force vive T aura alors pour expression
- ( ( H - -I- r- -(- II'- ) dx dy dz,
l'intégrale étant étendue à tous les éléments du volume de l'ellipsoïde. Mais en vertu du tiiéorème de Green, celte intégrale peut (5lre remplacée par la suivante :
- / -^ (u dy dz -H V dx dz ■+- iv dx dy ) ■}. J dl
en tenant compte de l'équation de continuité, ou bien encore
Ijdl dt du
Dans cette expression d'ii désigne un élément quelconque de la superficie de
l'ellipsoïde et —, — ^dn est l'accroissement de la fonction -i^ quand le point cor- ' lit dn dt ' '
respondanl subit un déplacement dn dans une direction normale à l'ellipsoïde.
Cherchons à évaluer -; — 7-- Nous trouverons dt du
d-i V '/E ,.,,., d-o x:' '/E ,.,, '/li dp
-7- = > , liMN et -r^ = > -^ MN -; r--
dt ^U dt lit dn ^ dt r/p dn
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation.
Or on a
dti
l ayant la même signification que dans les paragraphes précédents. On en conclut
la fonction de Lamé Mi pouvant être identi(jue on non identique à la fonction M et la sommation indiquée par le signe — s'étendant à tous les systèmes de fonctions de Lamé M et Mi.
Mais si l'on tient compte de l'équation
r/MNiM,N,r/(o = o (M>M,), il viendra simplement
Soit inainlenant U l'énergie potentielle de la masse fluide dans une position quelconque et Uo la valeur de celte énergie dans la position d'équilibre. Nous avons vu au paragraphe IX que l'on a
U = Uu - ■). -1 A- / A' / - ^ '^^ \ f l U^ N2
Ao.
Ici n désigne Tordre de la fonction 1\, g est la force normale qui agit en un point quelconque de la surface de l'ellipsoïde. Enfin on suppose que le déplacement d'une molécule quelconque de cette surface, estimé normalement à l'ellipsoïde a pour expression — A/MN. Dans le cas qui nous occupe, ce dépla-
cernent est égal u V ou a
"^ lin
d'où
et
"^ = ^77^ v'Cf-^ -'!'■' )(?—'■■')
de,- ' \ 'in -i- \ / J
Les équations du mouvement seront
■'vm\ ■"
ii6 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
ce qui donne
giR=-4:rÇ^v'(P=-*^)(P'^-«'-)(o-'
Celte O(|u;ition inonlre, ce que nous savions déjà, que l'équilibre est stable
pourvu que tous les coefficients ^Z — ; soient positifs, et elle nous apprend
en même leaips à calculer les périodes des oscillations inlininienl petites de notre masse lluide.
Avant d'aller plus loin, nous allons calculer en restant dans l'hjpollièse pri'cédenle le moment de la quantité de mouvement par rapport, à l'axe des ;. Nous représenterons ce moment par la lettre DTi. Nous aurons
où
J \ dx dt dy dl I
.m«= / V -!-^ r -T-T \dxdydz.
J \ dy dx dt dx dy dt j
Le premier terme JRi peut se calculer immédiatement. Le théorème de Green
donne en effet
/d^ -' dw ( )- cos a — X cos [ii ),
d(jô désignant toujours un élément de la surface de l'ellipsoïde, et cosa, cos[3, cosy étant les cosinus directeurs de la normale.
On trouve alors
r cosa: — .-koosIj = A71VI»l\o,
où Mj el N.j désignent comme dans le paragraphe précédent deux fonctions de Lamé conjuguées : p-yy-'' — b'^ et v yb- — v- et k un coefficient dépendant seulement de p et égal à — c y/c- — b- y/p- — c-.
Si l'on appelle ^2 le coefficient de R^M-jN^ dans l'expression de co, il reste simplement
DM,=—k^ R» r;MSN:î dM.
dt J ■ -
Calculons maintenant. Jll.j ; le théorème de Green nous donnera encore
,,, 1' dz> 1 c/o c/9 \
.IR., = / -r^ dw -r cosa ^ cos [i ).
' J dt \dy dx ' /
Nous allons nous occuper de calculer le facteur
^ dzi da ,^
F = -r^ COS a 7^ COS iJ.
dv dx
Nous remarquerons pour cela que si l'on pose avec Liouville
P = /p s/p-—b' \Jf—c-, on a
COS ï = — — 1 COS fj = -;; ^—r^ ) COS Y = —
ce qui donne
■dv
Nous pouvons encore exprimer F d'une autre manière. Donnons à x, y et ^ des accroissements
OX = — os ■ r-) oy=os--i ÙZ = o,
il en résultera pour la fonction tp un accroissement ôtp et l'on aura
F = Ip \/{o--b-){(,-^—c-)^-
11 importe de remarquer que si le point (x, y, z) est sur l'ellipsoïde, il en est de même du point infiniment voisin [x-\-èx, y -\- oy, z 4- oz).
Nous allons maintenant utiliser une remarque de Liouville, grâce à laquelle les fonctions de Lamé peuvent être ramenées aux fonctions sphériques.
Soit 9 = RMN le produit de trois fonctions de Lamé conjuguées d'ordre n. Changeons de variables en posant
P ^p-^-6= vp'-c-
Si le point (j-, )•, :;) se trouve sur l'ellipsoïde
p- p- — b- p- — c- ' le point correspondant (X, Y, Z) se trouvera sur la sphère
et pour tous les points de cette sphère, la fonction cp sera égale à une constante multipliée par une fonclion sphérique de degré n. Nous pourrons écrire cp =;= t<i^, <\i étant un poljnome homogène de degré n en X, Y et Z et satisfaisant à l'équation
d- <h d- 1}/ d'-ij
n8 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
el £ étant une fonction do X, \ et / ([iii osl coiislaiilo ini tous les points de la sphère de rnyon i .
Nous aurons d'autie part
o.v = — = — os ■
et de nième
p s'p-— 6- On aura dans les mêmes conditions
ot = i), 5? = E 0']/ = £ ( -T^ 6.\ -+- -^, 0 V
d'oi
et enfin
Il est aisc^ de vérifier que si '^ est un polynôme homogène de degré ii en x, y el z, satisfaisant à l'équation
il en sera de même de
Il en ri''sulte que si cp est égal à une cimslanle multipliée par le produit de trois fonctions de Lamé conjuguées et d'ordre n, F sera de la forme suivante :
F = /(ai M', X, -4-a.M2N', -t-...-4-a/,IM;,N'„).
Dans cette expression, c.,, a.,, . . . . a.,, sont des quantités qui restent constantes sur toute la surface de notre ellipsoïde et M', , N', ; M',, N',, ... ; M'^,, NJ, sont des systèmes de fonctions de Lamé conjuguées ei qui sont toutes d'ordre n. i\ous dirons pour abréger qu'une somme de la forme
a, AI', ^', -1- z.2M2N'2 + . ..-f- x/,m;,n'„
est une somme de Lamé d'ordre n.
.Si alors nous avons, comme nous l'avons supposé plus haut
il viendra
H, étant une somme de Lamé de même ordre que les fonctions R, M, N. Ainsi les coefficients d'une même indéterminée c, seront de même ordre dans l'expression de tp et dans celle de F.
II \ ienl alors
OM, =Jf J «''■' = s Ri? i'-^fl»i >U N, rfco.
Remarquons que l'intégrale / /H,M/,Na- rfto est nulle si les sommes H,- et M/cN^ ne sont pas de même ordre.
Nous dirons pour abréger que l'indéterminée ;, est de rang n si les fonctions R/, M, et N, sont d'ordre n.
Il résulte de ce qui précède que l'on a
dit
les A,7, étant des coefficients constants qui sont nuls si les indéterminées ^, et Ey, ne sont pas de même rang.
Nous ne nous sommes occupés jusqu'ici que des petits mouvements absolus d'un ellipsoïde rapporté à deux axes fixes. Passons maintenant an cas des petits mouvements relatifs d'un ellipsoïde fluide rapporté à un système d'axes mobiles tournant avec une vitesse uniforme oi autour de l'axe des z.
Envisageons les équations générales de l'Hydrodynamique :
du du du du dp
dt dx dy d}z dx
où u, 1', w désignent les composantes de la vitesse; X, Y, Z les composantes
de la force; p la pression, et où la densité de lluide est prise pour unité. Nous
aurons d'ailleurs
.. d\ ,. rfV ^ d\
dx dy dz
OÙ V représente le potentiel des forces et où — ',iv et oju sont les composantes de la force centrifuge composée. Si nous posons
et si nous négligeons le carré de m, c, w en observant que les mouvements doivent être très petits, il viendra
, . du d'h di' di/ dw dii
^^^ 5F^^"''=5x' dt -'"''' = dp'
in
Hz "
■iv-
lio SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
avec ri>([ii;ilioii «le coiilnuillt''
0\\ en lire aisément (3)
Cette équation ne suffit pas pour déterminer la fonction i];. 11 faut pour achevei* de connaître cette fonction, tenir compte de cette circonstance que la pression doit être nulle sur toute la surface libre. On doit donc avoir sur cette surface ■!> = V.
Pour pousser plus loin cette analyse, envisageons séparément un des mouvements élémentaires dans lesquels on peut décomposer tous les petits mouvements de l'ellipsoide. Soient ox, ny. èz les déplacements inlininient petits d'une molécule et écrivons
àx = e"' I, oy = e"' r,, 6c. = e'''' ^ ;
^. Y} et ^ ne dépendent que de .2', y et z. Les équations (2) et (.3) deviendront alors
' — i K- -\- 1 II) l Kri = —l—
ax
dx- dy-
OÙ 4*1 ne dépend que de x. y et z.
Voyons maintenant ce que devient la condition relative à la surface libre.
Soient cos a, cos[3, cosy les trois cosinus directeurs de la normale en un point de l'ellipso'ide et supposons que l'on ait en tous les points de cette surface ç cosa -)- T| cosTi -1- ij cosy = 2 A^ /iM/Nx-,
le second membre étant une série développée suivant les produits M/,N/, de deux fonctions de Lamé conjuguées. Une formule du paragraphe IX nous donnera, en tous les points de la surface libre,
L'équation ■.!> =^ V se réduit donc à
(5) ç„ = .5,vA,/lli:^__!!ilLyM,N..
SUR l'Équilibre dune masse fluide en rotation. D'aiilrc part les équations (4) nous donnent
—r- ). -f- 2 -7- (1) i ^ dx dy
dy dx
riz
d'où
— -! f r COS a -H T. COS S -+- î ce
)st')
rr/'];! coscz d'h, COS 8 rfJ>i / nj'-\cos-'l . F ^'ii COS a rf'ii COS fi "1
Mais nous avons trouvé plus haut
cosfj
/ -pvV-6=v/?=^^T7r67'
-^ = ,M/p— 6-v'p— c-^^-^ d'où
: ( Ç COS a -1- T, COS I J + î= COS Y )
Ip \/p- — b- v/p- — c-
\dx p- rf)- p-— 6= dz \ A-/P — c J L <''»■ P "-^ P '' J
ou enfin
[(/>■ p- dx p-—à-\ p ^p<-—b!- ^P'—C
Le problème est donc ramené à la recherche d'une fonction tpi qui satisfasse à la dernière des équations (4) à l'intérieur de l'ellipsoïde et aux équations (5) et (6) sur la surface de l'ellipsoïde.
Supposons donc d'abord que w soit nul; la dernière équation (4) se réduira à A'];, ^= o, de sorte que nous satisferons à la fois aux équations (4) et (5) en faisant
Dans cette expression RjJ est la valeur que prend R/, sur la surface de l'ellipsoïde.
De cette expression, on déduira pour tous les points de la surface de l'ellipsoïde :
dR
dx p- dy p- — o- dz p- — c- V 3 2/1-1-1/ p K^-
de sorle que l'oqualioii (6) se rtHluil à
— .\-AS\k —5— MiNi= — ^^==^^=1^= IAa- i^U•l^'y^. \ i ■.'.« + 1/ pR* p ^,(pJ i'i)(p2 c2)
Pour (jiie celle équation soit, satisfaite, il faut et il suffit que tous les coefficieals A< soient nuls, excepté un que nous appellerons Ay,, et que X satisfasse à l'équation
On est donc ainsi conduit pour les périodes des diverses petites oscillations
possibles aux mêmes valeurs que par l'équation (i).
Nous allons maintenant supposer que to n'est pas nul.
Posons
4 to- ^
la dernière des équations (4) deviendra
rf-'L, fZ-^'l, il'^'h,
-TTT + -rr ■+- -j-^ = "• ctx- ay- nz -
Quand le point [x, y, :•) décrira l'ellipsoïde E qui a pour équation
le point {x, v , 2') décrira l'ellipsoïde E' qui a pour équalion
.Xous appellerons R', M' et N' les fonctions de Lamé formées à l'aide de l'ellipsoïde E', et /' la quantité qui joue par rapport à l'ellipsoïde E' le même rôle que /joue par rapport à l'ellipsoïde E.
Nous appellerons cosa', cos^', cosy' les cosinus directeurs de la normale en un point de la surface de E'. Nous poserons de même
f2-c'^=ii— 5— ei P'=/> y/(p2 6-^)(p"--c'2), de même (jue l'on a, d'après les notations de Liouville :
I' = /;. y/(p2— bi )((<-— C-).
SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. Il viendra alors pour un point de la surface de E' :
d'où
dii^ X d'h\ Y din i-z i /d'b^ , rfJ/, „, d'h\ A
dx p- fl'r p-— 6- dz p-— c- P \ o'.r rfj-' ' dz J
r/'ii a; f/'ii 1- I f dii\ , rfJ^i ,A
(// p- dx p^— 6- P \ ^j' dx j
Considérons maintenant un point quelconque de l'ellipsoïde E ayant pour coordonnées elliptiques fx et v et pour coordonnées ordinaires x. y et z; considérons ensuite le j)oint correspondant de l'ellipsoïde E' ayant pour coordonnées
ordinaires x, y et ;';= ~ et pour coordonnées elliptiques [j! et v' (dans le
système dérivé de l'ellipsoïde E'). Soit M'^ une fonction quelconque de Lamé de la coordonnée p.' et N' la fonction conjuguée de la coordonnée v'. A chaque point de E correspond comme nous l'avons vu un point de E' et réciproquement. A chaque système de valeurs de p. et v correspond donc un système de valeurs de p' et v' et réciproquement, de sorte que le produit JM[^N'^ f[ui dépend de p.' et v' pourra aussi être regardé comme fonction de [x et v; à ce titre, il pourra être développé en une série ordonnée suivant les produits de Lamé M^N/, dérivés de l'ellipsoïde E. Ou aura donc (7) M;iV;=SBt,,/MA-N<..
Nous allons maintenant, à l'aide do la remarque de Liouville dont nous avons déjà fait usage plus haui, montrer que dans le second membre de l'identité (7) n'milrcnt ipie des fonctions de Lamé de même ordre que M',^.
En elTcl, d'après celle remarque de Liouville, si l'on pose
le produit M' N' sera sur la sphère
une fonction sphériquc de même ordre que M' et le produit M^N/, une fonction sphérique de même ordre que M^-. L'identité (7) ne peut donc subsister que si toutes les fondions de Lamé qui entrent dans le second membre sont de même ordre que M'^.
Ce second membre n'est donc pas une série infinie, mais un polynôme formé d'un nombre fini de termes.
De plus dans ce second membre ne peuveiiL entrer (|ue des fonclious de Lame présenlanl les mêmes symétries que M|^. Si par exemple M'^ est divisible par y/fi'- — 6'-, il devra en être de même de toutes les fonctions M/;.
Nous renverserons l'idenlilé (7) en écrivant
La fonction 'h, devant satisfaire à la dernière des équations (4) pourra s'écrire
les D,, étant des coefficients constants et les R'^, M'^, N|^ étant des fonctions de Lamé dérivées de l'ellipso'ide E'.
A la surface de cet ellipso'ide, nous aurons
en tenant compte de (7), de sorte (jue l'équation (5) se ramènera auxéquations
On a d'autre part à la surface de E' :
D'autre pari il résulte de l'analyse faite plus haut à propos des moments des quantités de mouvement (|ue l'on a sur toute la surface de E' :
les F étant des constantes el les M'y. et N|(. des fonctions de Lamé de même ordre <[ue M'^, mais ne présentant pas les mêmes symétries. Si M'^ contient en facteur \ [>■'- — c'-, il en est de même de M'/^ et réciproquement, mais si M' contient en facteur \J \''-- — 6''-, M'^ ne le contiendra pas et inversement. Nous écrirons en tenant compte de (7)
ce qui donnera enfin
Si:D,,G,,x.M/.NA..
dy p- dx ç,'' — b L'équation (6) se ramène alors aux égalités
(9) ^7====r— === =X> D,,Ba.,„— r + 20Ui.,;D,,G,,i•.
SUR l'Équilibre dune masse fluide en rotation. 125
II s'agit mainlenanl de disposer de X, des Dg et des A/, de façon à satisfaire aux égalités (8) et (9).
Or on pourra arriver à ce résultat en supposant d'abord que tous les A/, et tous les Dq sont nuls, sauf cens qui se rapportent à des fonctions de Lamé d'un certain ordre, d'ordre n par exemple. 11 restera alors an + i équations (8) et 2n + i équations (9) entre 1, les 2n-{-i coefficients A/, et les 2/1-+- i coefficients D^ qui se rapportent aux fonctions de Lamé d'ordre n et qui par conséquent ne sont pas nuls, d'après la convention précédente. Cela fait en tout 4«-i-2 équations linéaires et homogènes par rapport aux 4 « + 2 coefficients A^ et Dç.
Si l'on élimine ces 4^1 + 2 coefficients entre ces ^n-\-i équations par le moyen d'un déterminant, on obtiendra une équation qui déterminera les périodes /. des oscillations infiniment petites de l'ellipsoïde. 11 importe de remarquer que \ n'entrera pas dans cette équation seulement explicitement,
/yR' mais que les coefficients B/, ,,, Gy/,, —~^-, R'^ qui entrent également dans celle
équation dépendent de \. Néanmoins, même en tenant compte de cette circonstance, l'équation est algébrique en \.
Il j aura une infinité de pareilles écjuations en À que l'on obtiendra en considérant successivement les fonctions de Lamé du deuxième, du troisième, . . ., du rt"""^ ordre, etc. Pour la stabilité il faut et il suffit qu'aucune de ces équations n'ait de racine imaginaire.
Ce qu'il faut surtout retenir, c'est que dans un même système d'équations (8) et (9) n'entrent que les coefficients qui se rapportent aux fonctions de Lamé d'un même ordre.
Si donc nous écrivons la valeur de <]> relative à une oscillation infiniment petite obtenue en considérant l'une des solutions d'un système d'équations (8) et (9), on trouvera
Dans la somme du second membre n'entrent que des fonctions de Lamé d'un même ordre, d'ordre n par exemple. Une pareille oscillation infiniment petite s'appellera un mouvement harmonique d'ordre n.
Il résulte de ce qui précède que deux mouvements harmoniques d'ordres différents sont indépendants l'un de l'autre, c'est-à-dire que l'on peut imposer à la masse fluide, comme liaison, la condition de ne pouvoir éprouver d'autres
ia6 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.
déplacements ijuc des mouveineuts liarnioniques d'ordre n sans que les in-\-\ mouvements harmoniques d'ordre n possible soient altérés.
Nous pouvons encore énoncer ce résultat d'une autre manière.
Dans un mouvenienl liarmonique d'ordre «, on a sur la surface de l'ellipsoïde de E :
M/t et Njt étant des fonctions de l.,auié d'ordre n et les A/, des coofllcients constants. Sixr la surface de cet ellipsoïde, le potentiel V s'exprime donc par une somme de Lamé d'ordre n.
Imposons-nous donc la liaison suivante : que les déplacements de notre masse lluide soient toujours tels que le potentiel s'exprime à la surface libre par une somme de Lamé d'ordre n. En tenant compte de cette liaison, on trouvera <|ue certaines petites oscillations de la masse sont possibles. On cherchera tous les systèmes d'oscillations possibles en supposant (|ue la valeur de \' à la surface soit assujettie à être une somme de Lamé d'ordre 2, 3, . . ., /(, ... ; on composera ensuite tous ces systèmes d'oscillations, d'après la règle ordinaire de la composition des petits mouvements, et l'on obtiendra de la sorte tous les petits mouvements possibles du système, en le supposant délivré de toutes ses liaisons.
Mais il y a plus. J'ai dit que dans une même équation (8) ou dans une même équation (y) ne peuvent entrer ([ue des coefficients Aj et D,y se rapportant à des fonctions de Lamé d'un même ordre. On peut ajouter que dans une même équation (8) ou dans une même équation (9) ne peuvent entrer que des A/, et des D,y se rapportant tous à des fonctions de Lamé (|ui ont comme facteur \/ c- — fji^ ou \/c'- — p-''-' ; ou bien des A^ et des D,, se rapportant tous à des fonctions de Lamé (jui n'admettent pas ce facteur. Si la fonction M/, ne contient
pas le facteur yc- — p.'-, le produit M^N^ est symétrique par rapport au plan des xy (c'est-à-dire (|u'il ne cliange pas quand on change ^ en — ;), il ne l'est pas dans le cas contraire.
Voici quelle est la conséquence de ce fait. Supposons ([ue Ion ciierche à trouver tous les mouvements liiirmonii|ues possibles d'ordre n que nous appellerons H. Imposons-uous d'idjord la liaison suivante : f|ue la vnleur superficielle de V soit une somme de Lamé d'ordre n et symétrique par rapport au plan des xy. Nous trouverons qu'en' tenant compte de cette liaison, il y a certaines oscillations possibles H'. Imposons-nous maintenant une autre liaison : que la
valeur superficielle de V soil une somme de Lamé d'ordre n et change de signe avec Z-. En tenant compte de cette liaison, il y aura certaines oscillations possibles H*. Si nous composons ensuite les oscillations IF et H" d'après la règle ordinaire de la composition des petits mouvements, nous aurons tous les mouvements H possibles.
Ces règles permettent d'envisager séparément les mouvements harmoniques d'ordre n sans tenir compte des mouvements harmoniques d'ordre di fièrent qui pourraient exister simultanément.
Un cas particulier oii les équations (8) et (g) se simplifient considérablement, c'est celui où l'ellipso'ide E et par conséquent l'ellipso'ide E' sont de révolution. Il arrive alors que tous les coefficients Vn^,i soni nuls quand /. est dillérenl de q et que l'on peut prendre
Une dernière remarque : pour que l'analyse précédente puisse s'appliquer, il faut, à ce que l'on croit d'abord, que l'on ait
ce qui obligerait \ à rester compris entre certaines limites. Cependant il est aisé de voir que ces résultats subsistent quelle que soit l'hypothèse faite sur la valeur de \. En eiïel il semble d'abord que les fonctions de Lamé IV, M' et N'ne sont définies que lorsque les axes de l'ellipsoïde E', d'où elles dérivent, sont réels et si l'axe des z est le petit axe dans E' comme dans E. Mais le produit R'M'N' est un polynôme entier en x-, j et j qui est parfaitenn^nt défini dans tous les cas possibles et qui jouit toujours des mêmes propriétés.
Si même A > 2co, c'est-à-dire si t- est négatif et si l'un des axes de E' devient imaginaire, les résultats de l'analyse précédente subsistent encore.
