XIV. — Stabilité des ellipsoïdes

Pour reconnaître si un ellipso'ide de révolution ou un ellipsoide de Jacobiest stable, il faut se reporter au paragraphe VII. D'après la règle de ce paragraphe, qui était soumise, je le rappelle, à certaines restrictions, une figure d'équilibre ne peut jouir de la stabilité séculaire ([u'à la condition que tous les coefficients de stabilité soient négatifs. Si cette règle était applicable sans modifications à l'ellipsoïde de Jacobi, celte figure n'aurait jauiais la stabilité séculaire, car un

liS SUR L EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

de ses coeflicicnls do slabililé esl loujoiirs positif; c'est celui qui se rapporte à la fonction R„ .. Mais la règU; du paragraphe VII n'est applicable, comme nous l'avons vu, que si dans tous les mouvements possibles le travail des résistances passives est toujours négatif sans pouvoir jamais être nul. Ce n'est pas le cas si l'on envisage une masse fluide isolée dans l'e-space, car si une pareille niasse se déplace sans se déformer, il n'y a pas de résistance passive. Si au contraire la rotation de la masse fluide était déterminée par celle d'un axe rigide qui la traverserait de part en part et qui l'entraînerait par frottement (comme dans les expériences de Plateau par exemple), tout déplacement produirait une résistance passive et l'ellipsoïde de Jacobi serait toujours instable.

Mais ce cas est sans intérêt. Envisageons donc une masse isolée dans l'espace et voyons comment doit être modifiée la règle du paragraphe Vil.

Considérons deux systèmes d'axes : un système fixe et un système mobile tournant avec une vitesse angulaire constante w autour de l'axe des :;. Supposons que la masse fluide ait une position d'équilibre relatif dans laquelle elle soit animée d'une vitesse de rotation w par rapport aux axes fixes, et par conséquent en repos par rapport aux axes mobiles. Soit, dans cette position, lo son moment d'inertie par rapport à l'axe des s et Uq son énergie potentielle par rapport aux axes fixes. Considérons maintenant une configuration de la masse fluide voisine de la figure d'équilibre et telle que celte masse cesse d'être en repos par rapport aux axes mobiles. Soient, dans celte nouvelle position, I et U les valeurs du moment d'inertie et de l'énergie potentielle. Soil T la demi-force vive relative par rapport aux axes mobiles; soit m la masse d'un des points du fluide; r sa distance à l'axe des :;, et w + ôeo sa vitesse angulaire autour de cet axe. Les équations de la conservation de l'énergie et de la conservation des moments des quantités de mouvement nous donneront

■I- V « ~ "'"' Il W'Io ,, , 1 , V o - t

1 -H 1112.11)1- o(o H h U = -t- Un -H A, (0 I -f- z.mr- 0(0 = wlo

(/i étant une constante qui est très petite si les déplacements initiaux et les vitesses initiales sont très petits ce que nous supposons), d'où

Mais on a d'où