u = Uo (- II

Tv^ 'v .- ,~^ ' (-'«'--So))- 0)2 (I — Io)'-

2 ■}. 2 mr- •). I

u-u„-^|(i-ro)+Çll^<A.

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. 129

Si donc ou a pour toules les configurations Lrés voisines de la ligure d'équilibre

on sera certain que l'écjuilibre est stable. S'il y a des résistances passives, /( ne sera pas une constante, mais ira constamment en diminuant; donc a fortiori, il y aura encore stabilité si la condition (i) est remplie. Cette condition est donc suffisante pour qu'il y ait stabilité séculaire.

D'après la règle du paragraphe VII, la condition nécessaire et suffisante pour

la stabilité séculaire était que l'expression V fût minimum, c'est-à-dire

que

Lj-Uc- — (r-ro)>o.

On voit que la règle actuelle est plus favorable à la stabilité.

D'ailleurs la condition (i) peut encore s'énoncer d'une autre manière. Elle signifie que l'expression

doit être minimum pour la ligure d'équilibre [cf. Tait et Thomson, Treatise on Nattiral Pliilosophy, i; 778" [y'] et [A]).

Il faut voir maintenant si cette condition (1) est nécessaire pour qu'il y ail stabilité séculaire. Nous avons vu au paragraphe V^II que les déplacements infiniment petits Xi des diverses molécules d'un système à partir d'une position d'équilibre relatif pouvaient s'exprimer de la façon suivante :

les A,„ ('lant des constantes arbitraires d'intégration, tandis que les [<, /» ] et les Im sont des constantes dépendant des équations difTérentielles données.

Pour qu'il y ail stabilité séculaire, il faut que tous les ?. aient leur parlie réelle nulle ou négative.

Plaçons-nous d'abord dans les conditions où la règle du paragraphe VII est applicable, c'est-à-dire oii tout déplacement entraîne une résistance passive. Tous les }. ilovronl alors avoir leur partie réelle négative, et tous les ,r, tendre vers zéro quand t croîtra indélinimenl. L'expression suivante :

<I> = ÏH-U-U„— — (I-l„)

i3o SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

(si l'on néglige les cubes des xi, ou ce qui revient au même les cubes des A,„) est une forme quadratique par rapport aux A,„.

Celle forme doit tendre vers zéro quand / croît indéfiniment. Mais d'après la nature même des résistances passives, cette forme doit aller constamment en diminuant. Il faut donc que sa valeur initiale soit toujours positive quelles que soient les constantes arbitraires A,„. La forme <!• est donc toujours définie

positive, c'esl-à-dire que U 1 doit être minimum dans la position d'équilibre. C'est là la démonstration de la règle du paragraphe VII.

Supposons maintenant que cette règle ne soit plus applicable, c'est-à-dire que certains déplacements n'entraînent pas de résistances passives. 11 pourra arriver alors s'il y a stabilité séculaire que parmi les }.„,, il y en ait un certain nombre que j'appellerai les 1/, et dont la partie réelle est nulle, pendant que d'autres que j'appellerai les 1,, auront leur partie réelle négative.

D'après cela la forme •!• ne tendra pas vers zéro, en général, quand t croîtra indéfiniment; elle partira de sa valeur initiale 0„ et tendra vers une certaine valeur limite O) que l'on obtiendra en remplaçant dans <I>o tous les A,/ par zéro et en conservant aux A^, leurs valeurs initiales.. Comme la forme <I> doit aller constamment en diminuant, qn devra avoir ^f)>'^\ quelles que soient les valeurs des constantes arbitraires A^, et A^. Pour cela il faut que la forme quadratique <t soit la somme de deux autres, la première ne contenant que les A^,, la seconde définie positive et ne contenant que les Ary.

Si donc dans la forn)e $o on annule tous les h.,,, cette forme deviendra définie positive.

Dans le cas qui nous occupe, et si nous supposons que le centre de gravité de notre masse soit fixe, il n'y a que trois déplacements (jui n'entraînent pas de résistance passive, ce sont les rotations autour des trois axes. Il y a donc au plus six des /„ dont la partie réelle est nulle; en d'autres termes, il y a au plus six Kp. En réalité, il n'y a que quatre A^,. On obtiendra tous les mouvements pour lesquels tous les A,/ sont nuls, en supposant que les diverses molécules d(! la masse fluide tournent d'un mouvement uniforme, à la façon des diflérenles parties d'un même corps solide, autour d'un axe quelconcpie et avec une vitesse quelconque. On obtiendra tous les mouvements pour les(|uels tous les A^ sont nuls, en considérant les déplacements de la masse fluide qui sont tels <|iic le moment de la quantité de mouvement relatif par rapport aux axes mobiles soit nul. {•ont- qu'il y ait stabilité séculaire, il faul que la forme «t soit toujours

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. i3i

positive quand les dcplacemeuls initiaux et les vitesses initiales des diverses molécules sont telles que tous les A^, soient nuls, c'est-à-dire que le moment de la quantité de mouvement soit nul. Or i! est aisé de voir que cela ne peut avoir lieu que si l'expression (2) est un minimum.

C'est donc là la condition nécessaire et suffisante de la stabilité séculaire.

L'expression

est aussi une forme quadratique par rapport aux A,„ quand on néglige les cubes de ces quantités. Celte forme peut être réduite en une somme de carrés et ce sont les coefficients de ces carrés que nous avons appelés jusqu'ici coefficients de stabilité. D'après ce qui précède, il convient maintenant d'envisager la forme

Celte forme peut anssi être réduite en une somme de carrés et j'appellerai les coefficients de ces carrés coefficients de stabilité corrigés. Ils devront être tous négatifs pour la stabilité séculaire.

Supposons que la forme d'équilibre rolalif soit un ellipsoïde et que la ligure troublée soit définie par la distance Ç d'un point de sa surface à l'ellipso'ide comptée normalement à l'ellipso'ide.

Si l'on a

nous avons vu au paragraphe IX que les coefficients de stabilité s'écrivent

Il est aisé de voir que si l'on néglige le cube des A,- il viendra

B et B' étant des coefficients qui ne dépendent que des axes de l'ellipsoïde pendant que A et A' sont les coefficients de /MJ „NJ , el /M." ., N^ , dans l'expression de Ç.

Il résulte de là que les coefficients de stabilité corrigés ne différeront pas des coefficients de stabilité primitifs, si l'on excepte ceux qui se rapportent aux fonctions de Lamé RJ ^ et RI „. Or si l'im se reporte au paragraphe pTécédenI, on verra que nous pouvons envisager séparément les mouvements harmoniques

,3> SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

des divers ordres, el que pour qu'il j ail slabililé, il l'aul et il sulTil que celle stabililé existe à l:i tois en ce ([ui concerne les mouvenienis li:irmoniques de chac|ue ordre.

Mais d'après ce (jue nous venons de dire des coefficients de sl.ibilité, la rc^le du paragraphe VII s appliquera aux mouvements harmoniques de tous les ordres si l'on excepte le second.

Pour qu'il y ail stabililé séculaire en ce qui concerne les mouvements du pleine Qpt^re, il faut et il suffit que les coefficients de slabililé corrigés qui se rapportent aux fonctions de Lamé du n""' ordre soient tous négatifs; or ils ne diflerent pas des coefficients primitifs si n > 2.

Considérons d'abord les mouvements du deuxième ordre; ils ne seront pas altérés, comme nous l'avons vu, si nous nous imposons comme liaison la condition que ces mouvements soient seuls possibles. Cela revient à assujettir la figure de la masse fluide à la condition de rester toujours ellipsoïdale.

Pour que la stabilité soit séculaire, en tenant compte de cette liaison, il faut el il suffit que l'expression

soit plus grande pour un ellipsoïde quelconque que ])our l'ellipsoïde d'équilibre.

L'expression 01 1,, est le moment de la quantité de mouvement; c'est une donnée de la question. Les quantités qui définiront l'ellipsoïde seront deux des axe», a el 6; le troisième axe par rapport auquel on prendra les moments d'inertie sera fonction des deux premiers, puisque le volume est supposé donné.

\ tout .système de valeurs positives de a el // correspond une valeur de (2) qui tend vers une limite nulle ou positive quand l'un des axes a ou h tend vers zéro ou vers l'infini d'une manière quelconque.

Si donc on appelle Dît, dlo el ^^Ij le nombre des minima négatifs de l'expression (2), celui des maxima négatifs, el celui des ellipsoïdes d'équilibre qui correspondent à une valeur négative de (2) qui n'est ni un maximum ni un minimum, on aura par simple raison de conliuuilé el en vertu des principes bien connus de V Analysis Sil.us :

Ci) t)l,-h0t.,~-3t, = i, c%, >o.

Pour les valeurs deoil,, qui sont inférieures à une certaine limite, il n'y n

qu'un seul ellipsoïde d'équilibre qui est de révolution. SI les axes de cet ellipsoïde sont 0, p et \/p- — c'-', ces valeurs de o satisferont à l'inégalité

J'appellerai un pareil ellipsoïde : ellipsoïde peu aplati pour le distinguer de ceux qui ne satisfont pas à l'inégalité (4)-

Puisque nous n'avons qu'une seule figure d'équilibre, les inégalités (3) ne peuvent subsister que si cette figure correspond à un minimum.

Les ellipsoïdes pou aplatis sont donc stables en ce qui concerne les mouvements du deuxième ordre.

Pour les valeurs plus grandes de wl,,, il a trois figures d'équilibre : un ellipsoïde de révolution ne satisfaisant pas à l'inégalité (4) (jo dirai qu'il est très aplati) et deux ellipsoïdes de Jacobi égaux entre eux et ne diflérant l'un de l'autre que par la permutation de a et de h. Il faut donc que les deux ellipsoïdes de Jacobi correspondent tous deux à un minimum de (a) ou que cela ne soit vrai d'aucun des deux. Dans ces conditions, les inégalités (3) ne peuvent subsister que si les ellipsoïdes de Jacobi correspondent à un minimum et si l'ellipsoïde de révolution ne correspond ni à un maximum, ni à un minimum.

Donc en ce qui concerne les mouvements du deuxième ordre, les ellipsoïdes de Jacobi sont toujours stables et les ellipsoïdes très aplatis toujours instables.

Si par conséquent nous imposons à la figure de la masse fluide la condition de rester ellipsoïdale, les ellipsoïdes peu aplatis et ceux de Jacobi seront stables, pendant que les ellipsoïdes très aplatis seront instables {cf. Tait et Thomson, Natural Pliilosopliy, § 778" [/])•

Voyons maintenant si la stabilité séculaire subsiste encore lorsqu'on considère les mouvements harmoniques d'ordre supérieur.

Cela est évident en ce qui concerne les ellipsoïdes peu aplatis. Considérons en effet un ellipsoïde de révolution qui, se réduisant d'abord à une sphère, aille ensuite en s'aplatissant de plus eu plus, de façon que si ses axes sont p cl

y/p'- — c'-', p décroisse +00 à c. Nous avons vu au paragraphe XI que tous les coefficients de stabilité sont d'abord négatifs; puis qu'un certain nombre d'entre eux s'annulent successivement pour devenir positifs. A la (in de ce même paragraphe, nous avons démontré que le premier de ces coefficients qui s'annule ainsi est celui (pii corres])ond à la fonction de Lamé RJ ,qui se réduit

i'54 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

à p- pour 6'-':= G. Si ilouc ce coeUlcienl esL ui'galit', c'esl-à-dirc si l'c-f^alilé (4) csl satisfaite, tous les autres coefllcients seront aussi négatifs. L'ellipsoïde peu aplati est donc stable {rf. loc. cit., Jj 778" ( l>]).

Quand à l'ellipsoïde de Jncojji, il sera stable en ce qui concerne les inouveinenls liarinoniques du n"-'""' ordre, pourvu que les coeflicienls de stabilité (corrigés ou non, cela revient au même si « > a) qui affectent des fonctions de Lamé du n''''"" ordre soient tous négatifs. Or nous avons vu au paragraphe XII que tous les coefficients de stabilité du /t"'""' ordre restent tous négatifs pour tous les ellipsoïdes de Jacobi, à l'exception du coeflicient ([ui se rapporte à la fonction Ri „ et que nous appellerons cooflicii'nl princi|)al du /i''"" ordre. Ce coeflicient principal, d'abord n(''galif pour les valeurs suflisamment petites de —1 linit par s'annuler et par devenir positif quand on fait croître —, •

Nous disons que l'ellipsoïde de .Tacobi est peu allongée si -^ est assez petit pour que tons les coefficients principaux soient négatifs, et très allongé si —

est assez grand pour que l'un au uioins des coeflicienls principaux soit positif. D'après ce que nous avons vu au paragraphe XII, il est certain que le premier de ces coefficients principaux qui s'annule est celui du troisième ordre, de sorte que l'ellipsoïde limite qui sépare les ellipsoïdes peu allongés des ellipsoïdes très allongés est celui dont les axes satisfont à la relation

KiS| Ri,,Si,, 37""

D'après ce qui précède, les ellipsoïdes peu allongés seront stables et les ellipsoïdes très allongés instables en c(^ qui concerne les mouvements harmoniques d'ordre supérieur au second.

En résumé, si la figure de la masse fluide n'est assujettie à aucune condition, les ellipsoïdes de révolution peu aplatis et les ellipsoïdes de Jacobi peu allongés jouiront de la stabilité séculaire, pendant cjue les ellipsoïdes de révolul ion très anlatis et les ellipsoïdes de Jacobi très allongés n'en jouiront pas.

Ces derniers pourraient toutefois jouir de la stabilité ordinaire sans jouir de la stabilité séculaire. Il nous reste à exauiiner s'il en est ainsi.

Occupons-nous d'abord des petits mouvements harmoniques du second

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. i35

ordre des ellipsoïdes de révohilion. Supposons donc, ce qui n'allére pas ces mouvements, que la figure de la masse fluide soit assujettie à rester ellipsoïdale.

D'après le paragraphe précédent, nous pouvons même (sans altérer les petits mouvements qu'il s'agit d'étudier) supposer que la valeur superficielle du potentiel V est assujettie non seulement à être exprimée par une somme de Lamé du deuxième ordre, mais encore soit à être svmélrique par rapport au plan des xr, soit au contraire à changer de signe avec z.

La seconde hypothèse est sans intérêt; elle nous conduirait simplemeni à une

sorte de mouvement de précession. Tenons-nous donc à la première et

supposons que la figure de la masse fluide est assujettie à être toujours un

ellipsoïde ayant un axe dirigé suivant l'axe des ;.

Soit

l'ellipsoïde envisagé. iVous aurons à considérer les trois fonctions de Lamé

Ro = p \ p" — b'-^ p-, Y{'„ , et RI „. Nous poserons donc P, = R.,M«N. = a;7,

P,= R;..,M.i,,N.!,,= ■3.i---4-3j- — 6-'-— 2. Nous poserons de plus

J^ 1 ^ — -. — : = — 7. ■ : I Ko = — •

Nous reprendrons d'ailleurs les notations du paragraphe précédent. La fonction ']ii devant satisfaire a l'équation

dx- r/r- dz

nous l'écrirons

Bxj- + cix-'-^y'-— ^ j -4- D,

A, B, C et D étant des coefficients constants qu'il s'agit de délermiiier ei qui jouent le même rôle que les D,/ du paragraphe précédent. L'équation (5) du paragraphe précédent devient

.i,=— 4;:[A'K,(.r-^ — ^■■i) + B'Kiar)--)- G'K,(3.2:'^-|- Sj^— 6 3^— 2)],

A', B', C étant des coefficients constants, et elle doit devenir une identité en tenant compte de l'équation de l'ellipsoïde.

i36 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation

On trouve d'aillours

(/y fi- dx p'- — ft- 0'- p'-

de sorle que l'équation (6) du paragraphe précédent devient

Î1I1^(2A>. -+- :>l!<.)n-t- •^'(2l5/. - SA<of)-l- aC). ('""'"^■'''' j^ '^

À(4oj2— >.2)

p- VP'-

[ A'(.r- — j)-2) + B'.T)- -+- C'i'ix-^- j r-— 6j=— 2)1

et elle doit être une identité en tenant compte de l'équation de l'ellipso'ide. On doit donc avoir

I A = -1-A'K,, B= — 4;iIVK,.

(8) I „ D . „,.- /.. 2 \ aC D

et d'autre part

= OCK.-.^),,

Ce sont là les équations (8) et (y) du paragraphe précédent. On peut y satisfaire :

1° en supposant que C, D et C sont nuls, ce qui donne en éliminant A, B,

OU

ou

Celle équation a toujours ses trois racines réelles si Kj est positif; l'ellipso'ide jouit donc alors de la stahilité ordinaire, ce que l'on pouvait prévoir: car si K,

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. 187

est positif, rfUipsoïde est peu aplati et, ayant la stabilité séculaitc, il doit a fortiori \ou'\v de la stabilité ordinaire.

Dans tous les cas, on trouve en prenant le signe + par exemple :

À(X-f-2lo) — ,S:;Ki V^?- — 1 = 0,

avec ^ := 2to pour la troisième racine.

La condition de réalité des racines est donc

Il résulte de là qu'alors même que K, devient négatif et que l'ellipsoïde devenant très aplati cesse de posséder la stabilité séculaire, il jouit encore pendant un certain temps de la stabilité ordinaire. Cela a lieu bien que l'expression

ne soit ni minimum, ni maximum et qu'elle soit un « minimas » pour employer une expression consacrée en Angleterre (c/. loc. cit., i^ 778" [/])•

2" Supposons maintenant que A, B, A', B' soient nuls et que C, D et C ne le soient pas.

D'après la forme même des équations (8) et (g) que nous venons de former, il existera un mouvement harmonique du deuxième ordre qui satisfera à ces conditions. 11 résulte également de la forme de ces équations, que ce mouvement harmonique ne sera pas altéré si l'on astreint la masse fluide à alVecter la figure d'un ellipsoïde de révolution.

Mais si Fou introduit celte liaison, l'ellipsoïde de ré\'(jlution, quel que soit son aplatissemenl, jouira non seulement de la stabilité ordinaire, mais de la stabilité séculaire (c/. loc. cit., § 778" [n]).

Ainsi certains ellipsoïdes très aplatis possèdent encore la stabilité ordinaire. Il en est probablement do même de certains ellipsoïdes de Jacobi très allongés.

Ne nous occupons plus maintenant que de la stabilité séculaire et ciierchons quelles sont, parmi les figures d'équilibre non ellipsoïdales dont nous avons démontré l'existence, celles qui possèdent cette stabilité. A cet effet nous pourrons appliquer le principe de 1 échange des stabilités, ce que nous ne pourrions pas faire pour la stabilité ordinaire.

Soient S et S' deux séries linéaires de figures d'équilibre et F une figure de H. P. — \I1. iS

l38 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

bifurcalion comiuuiie à ces deux séries. Si pour celte ligure, tous les coelTicienls de slabililé sont négatifs, excepté un qui est nul, il y aura en général tant dans la série S que dans la série S', des ligures très peu différentes de F qui seront stables. Si pour la ligure F il y a des coefficients de slabililé positifs, toutes les figures de S et de S' très peu différentes de F seront instables.

Nous avons considéré diverses séries linéaires de ligures d'équilibre, à savoir : la série S des ellipsoides de révolution; la série S' des ellipsoïdes de Jacobi; les séries !• qui ont une figure commune <I> avec la série S; les séries .S3, Si, . . ., S„, . . . qui ont respectivement une ligure commune F;,, F^,, .... F„, . . . avec la série S'. La figure F„ sera un ellipsoïde de Jacobi pour lequel on aura

D'après ce qui précède, toutes les figures $ seront des ellipsoïdes de révolution très aplatis, pour lesquels le coefficient de stabilité relatif à la fonction de Lamé Rô .,-, sera posllif. Donc toutes les figures des séries 1 n'auront pas la stabilité séculaire; c'est-à-dire qu'elles seront instables pourvu que le fluide soit visqueux et si peu qu'il le soit. Cela n'est vrai toutefois que pour celles de ces figures qui diflèrent irè* peu de l'ellipsoïde et qui sont les seules dont nous sachions quelque chose. Il n'est pas impossible que les séries i contiennent des figures stables très différentes de l'ellipsoïde.

Toutes les ligures F;,, F,. . . . sont des ellipsoïdes très allongés pour le.squels un certain nombre de coeflicients de stabilité sont positifs. Un seul est excepté; c'est l'ellipsoïde limite qui sépare les ellipsoïdes très allongés des ellipsoïdes peu allongés et pour lequel tous les coefficients de stabilité corrigés sont négatifs excepté un qui est nul.

Nous avons vu an paragraphe XII que cet ellipsoïde limite n'est autre que F:,.

Donc les figures peu différentes de l'ellipsoïde sont iastables (séculairement) dans les séries .S,, S;,, .... S,;; et stables dans la série S;,.

La forme d'équilibre représentée dans la figure page i i3 est donc une forme d'équilibre stable (*).

f ' ) Voir aux iNotes, Figures piri/onncs.

SUR l'Équilibre d'une masse fluide en rotation. iSg