XV. — Conclusions

Les ellipsoïdes ne sont pas les seules figures d'équilibre que puisse allecler une masse fluide homogène dont toutes les molécules s'attirent d'après la loi de Newton et qui est animée d'un uiouvemenl de rolation uniforme autour d'un axe. Si on laisse de côté certaines formes d'équilibre où la masse en question se subdivise en deux ou plusieurs corps isolés, et d'autres où elle prend une configuration annulaire, il existe encore une infinité de séries de figures d'équilibre.

Toutes ces figures sont symétriques par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe de rolation. En outre elles ont un certain nombre do plans de symétrie passant par l'ase (elles en ont toutes au moins un) et certaines d'entre elles sont de révolution.

Parmi ces séries de figures, il n'y en a qu'une qui est stable et elle a deux plans de symétrie seulement (voir la figure p. 1 13).

Les ellipsoïdes de révolution sont stables s'ils sont moins aplatis que celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi ; les ellipsoïdes de Jacobi sont stables s'ils sont assez peu allongés.

Dans ces conditions la stabilité subsiste quand même le fluide est visqueux.

Les ellipsoïdes de révolution qui sont plus aplatis que celui qui est en même temps un ellipsoïde de Jacobi, mais dont l'aiilalisseuTent reste inférieur à une certaine limite, sont stables si le fluide est parfaitement dépourvu de viscosité; ils ne le sont plus si le fluide est visqueux et si peu qu'il le soit.

Considérons une masse fluide homogène animée originairement d'un mouvement de rotation; imaginons que cette masse se contracte en se refroidissant lentement, mais de façon à rester toujours homogène. Supposons que le refroidissement soit assez lent et le frottement intérieur du fluide assez fort pour que le mouvement de rotation reste le même dans les diverses portions du fluide. Daus ces conditions le fluide tendra toujours à prendre une figure d'équilibre séculairement stable. Le moment de la quantité de mouvement restera d'ailleurs constant.

Au début, la densité étant très faible, la figure de la masse est un ellipsoïde de révolution très peu différent d'une sphère. Le refroidissement aura d'abord pour elVet d'augmenter l'aplatissement de l'ellipsoïde, qui restera cependant de

révolution. Quand l'aplatissement sera devenu à peu près égal ù ji l'ellipsoïde

, ;„ SUR l'équilibre d'i'ne masse fluide en rotation.

cessera d'èlre de n'-voluliou et deviendra un ellii)soïde de Jacobi. Le refroidisseinenl coiiliuuanl, la masse cessera d'être ellipsoïdale; elle deviendra dissymétrique par rapporl au plan des )•:; et elle alVectera la l'orme représenléc dans la ligure pa^c 1 13. (jomme nous l'avons fait observer à propos de cette figure, l'ellipsoïde semble se creuser légèrement dans sa partie moyenne, mais plus près de l'un des deux sommets du grand axe; la plus grande partie de la matière tend à se rapprocher de la forme sphérique, pendant que la plus petite partie sort de l'ellipsoïde par un des sommets du grand axe, comme si elle cherchait à se détacher de la masse principale.

il est diflîcile d'annoncer avec certitude ce ([ui arrivera ensuite si le refroidissement continue, mais il est permis de supposer que la masse ira en se creusant de plus en plus, puis en s'ctranglant dans la partie moyenne et finira par se partager en deux corps isolés.

On pourrait être tenté de chercher dans ces considérations une conlirmalion ou une réfutation de l'iiypothèse de Laplace, mais on ne doit pas oublier que les conditions sont ici très diflerenles, car notre masse est homogène, tandis que la nébuleuse de Laplace devait être très fortement condensée vers le centre.

J'ai cru néanmoins devoir exposer ici ce qui arrive d'une masse homogène qui se contracte lentement et incessamment, car c'était le meilleur moyen de résumer sous une forme un peu plus concrète les principaux résultats de ce long Mémoire et de faire comprendre quel intérêt il y aurait à combler les lacunes que j'y ai laissé subsister.

SUR

Coin pics rendus de /'Académie des Sciences, t. I0'2, p. 970-972 (27 avril 1886).

La Nolc! de M. Mallliiessen, iuséréc aux Comptes rendus du 12 avril dernier, appelle de ma pari quelques explications. J'ai lu les Mémoires cites (' ) dont je n'avais pas connaissance, et j'ai reconnu que M. ^lallliiessen avait sit;nal6 avant MM. Tait et Thomson l'existence des ligures annulaires d'équilibre.

Je dois toutefois faire observer que la méthode du savant professeur de Koslock ne permet qu'une approximation limitée : elle est, par conséquent, inférieure à Cfdle qu'à employée d'abord M""' de Kowalewski, et que j'ai reprise ensuite.

Pour uiieuv faire comprendre la dilFérence des deux méthodes, que l'Académie veuille bien me permettre de signaler une erreur commise par M. Matthiessen et qu'il n'eût guère pu éviter avec les ressources analytiques dont on disposait il y a quinze ans.

Ce géomètre distingue deux sortes d'anneaux : l'anneau a, dont la section méridienne dilYère très peu d'un cercle et où le rayon de la section méridienne est très petit par rapport au rayon de Téquateur (c'est le seul dont je me sois occupé et dont j'aie démontré l'existence), et l'anneau [3 dont l'épaissenr est très petite par rapport au rayon de réquate<ir, pendant que le rayon intérieur de l'équateur est très petit par rapport au rayon extérieur.

('} On Irouvira la Irsie du ces Mémoires diiiis le Tmilé de Méeiiiiique cétesle de 'I IssEiiAND I. 2, p. iilj. (.1.1..)-

ijo SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

M. Mallhiesseii suppose que la seclioa inéiidleune de ranneau (3 diflere très peu d'une ellipse 1res aplalie. Or on peut dàmonlrer que l'anneau (3, à supposer qu'il existe, a une section méridienne très difl'érente de l'ellipse; carie maximum de l'épaisseur, loin de se trouver au milieu de la largeur de l'anneau, se trouve, au contraire, toul prés du bord extérieur.

M. Malthiessen dit également avoir signalé avant moi les déformations que subissent les ellipso'ides par condensation ou expansion. Cela pourrait faire croire qu'il connaissait les figures d'équilibre qui font l'objet de mon dernier Mémoire {Acta Math., t. 7, p. 345) ('). H n'en est rien. M. Matthiessen a seulement classé les figures qu'il connaissait (ellipsoïdes cl anneaux), en clierehant celles qui correspondaient aux dilïérentes valeurs du moment de rotation: mais il ne s'est pas préoccupé de leur stabilité. Il n'a donc nullement montré comment se comporterait une masse fluide qui se condenserait en restant homogène, puisqu'une pareille masse ne pourrait prendre que des formes stables. Il ne pouvait d'ailleurs le faire, puisqu'une des figures que prendrait celte masse en se condensant ne lui était pas connue.

.Te profilerai de l'occasion pour signaler un Mémoire de M. Liapounoff, de Kazan, publié en i884, et où le géomètre russe m'a devancé sur quelques points. Absolument ignorant de la langue russe, je ne connais encore ce travail que par une analyse qu'en a donnée récemment M. Radau dans le Bulletin astronomique. Je ne puis donc que renvoyer à celle analyse, mais je mo réserve de revenir plus tard sur ce sujet, si l'Académie veut bien le permettre.

(') (JEuvres de 11. Poincarè, ce Tome p. lia.

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