UN THÉORÈME DE M. LIAPOUNOFF RELATIF A L'ÉOUILIBUE D'UNE MASSE FLUIDE

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. lO'i, p. 622-6^5 (7 mars 1887).

Lorqu'une masse fluide homogène, sans mouvement de rotation, est soumise à la loi de Newton, il est évident qu'une des figures d'équilibre est la sphère; mais nous ne savons pas jusqu'à présent s'il en existe d'autres.

Nous ne savons même pas démontrer que la sphère est la seule figure d'équilibre stable ( ' ).

Il faut, pour l'équilibre stable, que l'intégrale

atteigne un maximum, [j'inlégralion doit être étendue à toutes les couibinaisons de deux éléments dz et dz' du volume de la masse fluide, et r désigne la distance de ces deux éléments.

Pour démontrer que la sphère est la seule ligure d'équilibre stable, il faudrait donc établir qu'elle est la seule qui corresponde à un maximum relatif de W. On ne sait pas le faire, mais M. Liapounoff a dernièrement démontré, dans les Mémoires de V Université de KharAow, que la sphère correspond au maximum absolu de VV.

( '1 loir aux Notes, Masses Jluides en rotation {résultats divers).

1 i4 Sl'R UN THÉORÈME DE M. LIAPOUNOFF.

Je crois i]ii il esl possible de simplilier li(!aiicoii|) la démouslrnlioii de 'SI. Liapounoir, par riulroduclioii de considérations ein[)runlées à l'Eleclroslatique, et cesl là l'objel de la présenle Note.

\" Il faiil d'abord démontrer que West susceptible d'un maximum absolu; pour cela, je me bornerai à faire voir que, si l'on se donne le volume T de la ligure, on peut trouver une limite supérieure de W. En eflel, on a

V désignant le potentiel de la masse lluide par rap|)ort au centre de gravité de l'élément dr.

Or V est munifestemenl plus petit que le potentiel d'une sphère de volume T par rapport à son centre. On a donc

en posant ^ttR'^^ T, on en déduit

W<rR5T.

W a donc un maximum absolu. Nous nous contenterons de cet aperçu pour établir ce premier point, que M. LiapounolT avait laissé de côté.

a" Nous allons, avant de di'montrer le théorème de M. LiapounofF, établir la proposition suivante :

De Ions les cotiducleurs de même volume T, c'est la sp/tèrc qui a la plus petite capacité électrique.

Pour cela, je ferai voir d'abord que la capacité électrique C admet un minimum.

Considérons, on lîHet, un conducteur quelconque de volume T et imaginons d'abord qu'une quantité d'éleclricito, égale à T, soit répandue uniformément à l'intérieur du volume du conducteur. L'énergie potentielle sera alors

Si maintenant cette quantité d'électricité T se met (;n état d'équilibre électrostatique à la surface du conducteur, celte énergie potentielle deviendra

—p; couiine l'équilibre électrique est toujours stable, ou devra avoir

W > ~ d'oM C >

Donc <', admet une limite iiifé'rieuie. c. q. f. p.

SUR UN THÉORÈME DE M. LIAPOUNOFF. l45

3" Je dis maintenant que le minimum absolu de C correspond à la sphère. En effet, pour que C soit minimum, il faut d'abord que sa première variation soit nulle. Or, supposons que le conducteur se déforme infiniment peu, de façon que Ç soit la distance de deux points correspondants du conducteur avant et après la déformation, distance estimée suivant la normale. Si la charge du conducteur est M, et que p soit la densité électrique en un point de la surface du conducteur, la variation dC de la capacité sera donnée par la formule

-ç7— =4^-1 p-Çow,

l'intégrale étant étendue à tous les éléments dfj> de la surface du conducteur. On a, d'autre part,

(/T = A f/to.

Il faut que, si la variation dT du volume est nulle, la variation dC le soit également. Pour cela, il faut et il suffit que p soit une constante, c'est-à-dire que la distribution électrique à la surface du conducteur soit uniforme. On ne sait pas s'il existe d'autre conducteur que la sphère satisfaisant à cette condition.

Mais il nous suffira, pour notre objet, de comparer les capacités des conducteurs qui y satisfont et de montrer que celle de la sphère est la plus petite.

Supposons que le conducteur subisse une déformation qui altère son volume. On aura, p étant une constante,

i^- = 4 -p'^ fc (h., = 4 -'/- dT

ou bien

S-^dC

= 47trfT,

S désignant la surface totale du conducteur. Si le conducteur se déforme en restant semblable à lui-même, la capacité sera, par raison de similitude, proportionnelle à la racine cubique du volume, de sorte que l'on aura

On en déduit

Ainsi, pour tous les conducteurs à distribution uniforme, la capacité est H. P. - Vit.

dC

dT

l46 SUR UN THÉORÈME DE M. LIAPOUNOFF.

proportionnelle au carré de la surface. Or, Steiner a démontré que, de toutes les figures de même volume, c'est la sphère qui a la plus petite surface; c'est donc elle qui a la plus petite capacité.

4° Je dis maintenant que la sphère correspond au maximum absolu de W. En efTet, pour que W atteigne ce maximum, il faut d'abord que sa variation soit nulle quand la figure subit une déformation qui n'altère pas le volume. Or, la variation de \\ a pour expression

Pour que cetle variation soit nulle eu mémo temps que clT, il faut et il suffit

que V soit une constante en tous les points de la surface, ce qui a lieu pour les

surfaces d'équilibre. Mais alors ou a, pour une déformation qui allére le

volume,

dW = \dT.

Si l'on suppose, en particulier, que la figure se déforme en restant semblable

à elle-même, W est proportionnel à la puissance ^ de T ; on a donc

d\V 5 clT 3

Mais l'attraction d'une figure d'équilibre sur un point extérieur est la même que celle d'une masse d'électricité égale à T, répandue à la surface de cette figure, regardée comme un conducteur; on a donc

On voit ainsi que W est inversement proportionnel à C, et que la sphère, qui correspond an minimum de G, doit correspondre au maximum de W. 5" Dans le cas où la masse fluide est animée d'un mouvement de rotation de

vitesse angulaire n, la condition d'équilibre est que Vh — soit une

constante en tous les points de la surface, ou que la première variation de

WH — ;— soit nulle. Nous désignons par p la distance d'un point à l'axe de

rotation, el par I le moment d'inertie. On trouve alors

SUR