L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE HÉTÉROGÈNE

EN KOTATION

Comptes rendus de /'Académie des Sciences, t. 106, p. 1.Î71-1574 (4 juin '888).

Dans une remarquable Thèse (') présentée il y a un an à la Faculté des Sciences do Paris, M. Hanij a obtenu le résultat suivant :

Si une masse fluide animée d'un mouvement de rotation est composée de couches de densités différentes, il ne peut pas arriver que les surfaces de séparation de deux couches consécutives soient toutes des ellipsoïdes.

Pour établir cette proposition, M. Hamj commence par démontrer, à titre de lemmo, le tliéoréinc suivant :

Si toutes les sur/aces de séparation étaient des ellipsoïdes^ tous ces ellipsoïdes seraient homofocaux . ,

Ce leuime est susceptible d'une généralisation qui peut présenter quelque intérêt, moins peut-être en raison du résultat lui-même que de la méthode qui me l'a fait obtenir, et qui est tout à fait diflérente de celle de M. Ilamy.

Supposons un noyau solide, dont la densité intérieure 0 varie d'une manière tout à fait quelconque; imaginons que ce nojau soit recouvert de deux couches fluides superposées; la première intérieure, de densité p), recouvrant entièrement le noyau solide, la seconde extérieure, de densité po, recouvrant entièrement la première. Tout le système sera animé d'un mouvement de rotation commun. Je dis que, si les surfaces extérieures de ces deux couches fluides sont toutes deux des ellipsoïdes, ces ellipsoïdes seront homofocaux.

(') Journal de Matliéniatiijues pures et appliquées, t. 6, 1890, p. 69-193.

i48 SUR l'équilibre d'une masse hétérogène en rotation.

Si j'ai supposo le in)vaii solide, ce n'es! pns ipie le résultai ne soil eucoie vrai si ce noyau est tluide eu lolalilé ou en partie. Mais, si le nojaii élail lluide, sa densité inléricure ne pourrait pas varier d'une façon quelconque et devrait satisfaire aux équations d'équilibre. Je n'ai donc supposé le nojau solide que pour donner au résultat toute sa généralité.

Soient X, y et ; les coordonnées rectangulaires d'un point ([uelconque; co la vitesse de rotation; r la dislance du point (^, i-, j) à l'axe de relation.

Soient Fa leilipsoïde qui limite extérieurement la deuxième couche lluide et par conséquent tout le s^'stème et E| l'ellipso'ide qui sépare la première couche fluide de la seconde.

Soient /, p., V les coordonnées elliptiques d'un point de l'espace par rapport à l'ellipso'ide Ei ; ')' ^ \i! , v' les coordonnées elliptiques de ce même point par rapport à l'ellipso'ide E^.

Le potentiel newlonicn total du système se composera :

i" du potentiel de l'ellipsoïde E, (supposé plein, homogène et de densité p.,): nous l'appellerons Vj);

2" du potentiel d'une couche comprise entre l'ellipso'ide E, et la surface du noyau solide avec la densité pi — pn ;

3" du potentiel d'une matière attirante remplissant le noyau solide avec la densité variable p — p.j.

Nous appellerons V] la somme des deux dernières parties, de sorte que le potentiel total sera égal à V, + V.j.

On doit remarquer que la fonction V, à l'intérieur de Ei n'est pas la continuation analytique de la fonction V) à l'extérieui- de Ej ; de même V^ est représenté par deux fonctions analyti(|ues différentes à l'intérieur et à l'extérieur deE,.

L'équation d'équilibre s'écrit

V| H- VsH ^ — = consl.,

et elle doit être satisfaite (avec deux valeurs difTérenles de la constante) à la surface de E, et à celle de E,.

La fonction est un polynôme du second degré x, y , z; la fonction V.j est

SUR l'Équilibre d'une masse hétérogène en rotation. lig

égale aussi à un poljnoine du second degré en x, y, z à i'inlérleur et à la surface de Eo.

Nous devons conclure que Vi se réduit à un polynôme du second degré en X, y, z à la surface de Ei et un autre polynôme du second degré en x, y, z à la surface de E.,.

En partant de rellipso'ide Ei et des coordonnées ellif'tiques >,, p., v, on peut former une suite indélinie de fonctions de Lomé : R„, R,, . . . , R„; R„ sera un polynôme en X, y//- — b-, y//,-' — r- ( b- et <■'- conservant le sens habituel donné à ces notations dans la théorie des fonctions de Lamé). A R„ correspondront deux fonctions conjuguées M„ et N„ obtenues en remplaçant, dans R„, A par [j. et par v, et la fonction

Il y a une seule fonction de Lamé de degré zéro qui est R„= i : nous lui donnerons l'indice zéro ; il y en a trois de degré i : nous leur donnerons les indices i, 2, 3; il y en a cinq de degré 2 : nous leur donnerons les indices 4, 5,6,7,8.

Avec l'ellipso'ide E2 et les coordonnées elliptiques V, fx', v', on formera de même les fonctions de Lamé R',„ M^,, N',^. S'„.

De ce que V, est égal à la surface de Ei à un polynôme du second degré en X, y, z, on conclut qu'on a à l'extérieur de Ei :

ri ^(1

les A„ étant des coefficients conslanls.

De même, Vi élant encore égal à un polynôme du second degré à la surface E2, on devra avoir à l'extérieur de Ej :

les A'„ étant de nouveaux coefficients constants. On a donc l'identité

et c^esl celle identilé qui ne-peut avoir lieu que si E^ et E3 sont homofocaux.

l5o SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE HÉTÉROGÈNE EN ROTATION.

A vrai dire, l'ideulilo [ i ) n'est démontrée que pour les valeurs réelles de x, y et -, et quand le point {x, y, z) est extérieur à E,. Mais, quand deux fonctions analytiques sont identiques tout le long d'une ligne conlinue, elles resteut identiques pour toutes les valeurs réelles et imaginaires des variables. L'identité ( I ) '^"^ soudVe donc aucune exception.

Gela posé, observons que le premier membre de ( i ) n'est pas une fonction uniforme de x, y et z, mais qu'il admet une infinité de valeurs, lesquelles s'échangent entre elles quand le point {x,^', z) appartient à la dcveloppable circonscrite aux ellipso'ides homofocaux à Ei.

De même, le second membre de ( i ) admettre une infinité de valeurs qui s'échangeront entre elles quand le point {x,y, z) appartiendra à la développable circonscrite aux ellipso'ides homofocaux à Eo.

Mais, les deux membres de ( i ) devant être identiques, ces deux développables devront co'incider, ce qui prouve que Ei et E2 sont homofocaux. La réponse doit être affirmative.

Une question se pose alors naturellemeul. Est-il possible d'imaginer à l'intérieur du novau solide une distribution de la densité telle que les deux couches fluides prennent effectivement la foruie de deux ellipso'ides homofocaux ? La réponse doit être affirmative.

Le résultat obtenu dans celte Note peut être généralisé de la façon suivante. Si un noyau solide quelconque est recouvert de n couches fluides superposées, et que tout le système soit animé d'un mouvement de rotation commun, si la surface extérieure de la dernière couche fluide ainsi que les surfaces de séparation de deux couches fluides consécutives sont toutes des ellipsoïdes, tous ces ellipso'ides sont homofocaux.