L'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE ELUIDE ANIMÉE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION

Bullclhi rixlioiiomiquc. 1. ',', p. 109-1 in (mars i885j.

On s'est préoccupé depuis loagtemps de déterminer ies figures d'équilibre d'une masse fluide homogène donl toutes les molécules s'allirenl d'après la loi newtonienne et qui est animée d'un mouvement de rotation autour d'un axe. On est même arrivé assez promplement à deux solutions du problème, les ellipsoïdes de révolution et les ellipsoïdes de Jacobi; mais on ignorait jusqu'à ces derniers temps s'il existait d'autres figures d'équilibre possible. Dans la dernière édition de leur Traité de Philosophie naturelle (1''' vol.. Il" Part., p. 332), MM. Tait et Thomson ont énoncé sans démonstration un certain nombre de résultats fort intéressants. Ils annoncent, par exemple, trois classes nouvelles de figures d'équilibre, à savoir :

1" Un système de deux ou plusieurs masses sphéroïdales, animé d'un mouvement de rotation commun autour d'un certain axe dans l'espace. a° Une surface annulaire de révolution, analogue à un tore.

(') Je viens de recevoir coinmu:ucation d'un Mémoire de M'"» de Ko\v.Tlewski dont je n'aviiis pas connaissance au moment où j'ai rédigé le présent travail. Ce Mémoire, intitulé Zusdtze und Bemerkungen zu Laplace's Untcrsuchung iiber die Gestalt der Saturnsringe, a été écrit en i8-| et envoyé à cette époque à l'Université de Goltingeu; mais il vient seulement d'être imprimé dans le n° ÎGiS des Astronomis'he Nachrichten. Bien que le problème traité par la savante mathématicienne ne soit pas tout à fait le même que celui dont je me suis occupé, son analyse se rapproche beaucoup de la mienne et je n'ai ,ijouté que peu de chose aux résultats qu'on pourrait facileinenl déduire de son Mémoire.

i8 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

y Un sysléme de plusieurs anneaux concenlriques, animés d'une même vitesse de rotation autour de leur axe commun.

.le n"ai rien à ajouter sur la première solution, qui est celle à laquelle on est conduit en envisageant le système d'une planète et d'un satellite dont l'excen- Iricité serait nulle et dont les deux vitesses de rotation seraient égales entre elles et à celle de révolution; ou bien encore le système de plusieurs masses se mouvant en restant en ligne droite, conformément au principe du Chapitre VI du livre X de la Mécanique céleste de Laplace.

Mais je crois utile de revenir sur la deuxième solution, en donnant une démonstration du résultat de MM. Tait et Thomson et en cherchant à déterminer approximativement les principaux éléments de la figure annulaire d'équilibre.

Dans des questions de cette nature, on ne peut compter sur les méthodes d'approximation successive pour démontrer rigoureusement la possibilité d'une solution. Il faut au contraire faire usage de considérations de continuité, ainsi que je l'ai fait dans ma Note sur certaines intégrales particulières du problème des trois corps (' ). L'existence de la solution une fois rigoureusement établie, on se sert ensuite des méthodes habituelles pour la calculer approximativement.

.le choisirai les trois unités fondamentales de longueur, de temps et de massse de telle façon que la densité de la masse fluide que je considère soit égale à i et que l'unité de force soit l'attraction newlonienne de deux unités de masses à l'unité de dislance. J'envisagerai une figure annulaire de révolution très peu dillérenle d'un tore. J'appellerai Pi la distance du centre de gravité de la section méridienne à l'axe de révolution. Je supposerai de plus que la perpendiculaire abaissée sur l'axe de révolution de ce centre de gravité soit un axe de symétrie de cette section méridienne.

Il reste à écrire l'équation de la section méridienne. Pour cela je prendrai pour pôle le centre de gravité et pour axe polaire l'axe de symétrie de celte section, et j'aurai pour celle équation, en appelant p et cp les coordonnées polaires, (^)

P z= r -i- 'iii COS 2 tp -H [i3 COS 3 9 -<-... -I- pn cos /l Ç -J- . . .

(') Œuvres de H. Poincaré, ce Tome, p. 35.?. f) Voir aux Notes, Figures nnnu/aires.

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. ig

Je supposerai que les rapports ^ > ^' sont très pelils, ainsi que la vitesse

angulaire de rotation '>k

J'envisagerai le potentiel V et l'énergie potentielle W :

r<lin rdmdm

dm ei dm' désignant deux éléments de masse de notre lluide, A étant la distance de l'élément dm au point P dont les coordonnées sont a-, y et z, et o étant la distance des deux éléments dm et dm'. Le potentiel V est une fonction de x, r et ;, tandis que W est une constante qui ne dépend que de la forme de la surface.

Pour que la surface soit une iigure d'équilibre, il suffit que l'expression

où I est le moment d'inertie de la surface par rapport à son axe de révolution, voie s'annuler toutes ses dérivées premières par rapport à Pi et aux |'b.

Etudions donc les variations de cette expression quand on fait varier o), ;•. R, et les |3„, et montrons que ces dérivées devront s'annuler pour des valeurs de ces quantités variables satisfaisant aux conditions de grandeur relative que nous nous sommes imposées.

Soient dS et dS' deux éléments <le l'aire de la section méridiennii, y ely' les distances de ces éléments à l'axe de révolution. Ces éléments engendreront par leur révolution deux anneaux infinitésimaux dont les niasses seront

•i = 2-Kjdii el 2 t: y' dS' = }J.' ■

Soient a et 6 la pins petite el la plus grande distance de ces deux anneaux infinitésimaux, M(«, b) la moyenne arithmético-gcomélrique de Gauss de ces deux distances. L'énergie potentielle provenant de l'attraction mutuelle de ces deux anneaux s'écrira

|JI[X' [jiijl' J

où

\Jz{i-z){z-

La théorie des fonctions elliptiques nous enseigne que, lorsque x est très petit, J peut se mettre sous la forme

z (x) log.r -I- '\i( r ),

20 SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation.

9 el •]> étant des séries ordonnées suivant les puissances de x et dont il est aisé de calculer les coefficients. Le terme de degré le moins élevé dans cette expression est — losf ~, • Nous aurons ° i6

W = //' ^^'^ = II',:: v/— .1 ./S ./S'.

Si l'on réduisait \/Yy' à sa valeur approchée H, et J à sa valeur approchée

trouverait

log — ou encore 2 log — > on trouverait

Nous pourrons donc poser

W = 4:t /^R log — rfS </S'h- \V , W r

le rapport -^ étant de même ordre de grandeur que „ ■ On trouve, d'autre part, sans trop de difficultés,

'\ll f^^os-d^d> = -^^ (log— + - j + -__ vp^ ,j^w ,

W" contenant en facteurs des puissances supérieures des (3. Pour le moment d'inerlie I on trouve

I = irtî/ir-iR^-i-^RrA-t- V .

1' s'annulant avec les p.

Nous poserons, pour abréger

Pour qu'il y ait équilibre, il suffit que, pour toute déformation virtuelle infiniment petite de notre surface, la variation ôU soit nulle. Or toute déformation virtuelle peut être considérée comme la somme de deux autres que nous pourrons étudier séparément.

Dans la première déformation, R reste constant. La variation âU dépend alors des variations des quantités (3. Si, d'autre part, nous appelons M la masse totale de notre fluide, nous aurons

SUR l'équilibre d'une masse fluide en rotation. Il suit de là que, si R est constant, il devra en être de même de

On peut donc écrire

Dans cette formule on a posé

/. = 8e*". Io= zî /2/-§R3h- - RrJ V

et le rapport yy est infiniment petit.

Soit Uy la valeur de U quand on y annule tous les (3; soit Ui la valeur de U quand on donne aux p des valeurs telles que

K étant une quantité très petite, mais d'ordre moindre que jy On trouve alors

U,-Lio= AK + U', -U'o,

A étant un coefficient négatif dépendant de R et de r^- On en déduit, en tenant compte des hypothèses faites sur les grandeurs relatives des quantités K et U' :

D'où cette conséquence, que, si l'on fait varier les [3 d'une manière continue, la quantité ipi ne pourra devenir plus grande que Kr^, sans que U passe par une valeur inférieure à Uo; ce qui prouve que la fonction U doit admettre un maximum pour des valeurs des p inférieures àr„\/K et par conséquent très petites. Ce maximum que j'appelle u est fonction de R, /'„ el co.

U reste à étudier la deuxième espèce de déformation de la surface annulaire, pour laquelle R et par conséquent ro varieraient pendant que la section méridienne resterait semblable à elle-même. Il faut montrer qu'on peut trouver des valeurs de R et des (3, telles que la variation ôU soit également nulle pour les deux espèces de déformations, c'est-à-dire que l'on ait à la fois

Or il est aisé de vérifier l'égalité

dV M^ I , Â'R

rfR=-8r. Rl'°S— +co^MR + H,

aa SUR L'EQUILIBRE DUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

H représentant un ensemble de termes négligeables devant les deux termes conservés et À' une constante facile à déterminer.

Supposons que, R restant conslnnl, on fasse varier oo; u sera alors une fonction de (o, mais pour des valeurs suffisamment grandes de o (lesquelles satisfont pourtant aux conditions de grandeur relative que nous nous sommes

imposées) -^ sera certainement positif, et pour des valeurs assez petites de w,

-j|j sera certainement négatif. Donc, à chaque valeur de R correspond une

valeur de w telle que l'on ait à la fois

L'existence de la forme annulaire d'équilibre étant ainsi rigoureusement établie, il nous reste à en déterminer approximativement les éléments. A cet efl'et, nous abandonnerons la fonction VV dont nous nous sommes servis jusqu'ici pour considérer le potentiel V.

Je considère d'abord le tore et j'étudie l'expression du potentiel V en un point de sa surface; ce potentiel est évidemment une fonction de l'angle tp qui définit la position du point de la surface sur la section méridienne. En partant de l'expression que j'ai donnée plus haut pour l'intégrale J, je suis arrivé à montrer que V pouvait se mettre sous la forme ( ' )

l'i In?

v„ et Vi étant des séries ordonnées suivant les puissances de j, et de coscp.

Les coefficients de ces séries s'expriment par des intégrales définies et les

premiers termes sont

„ , 8R on r- ;: r-' , SU

V = ;: /■- log h ^ -=7 CCS 9 -=r cos <p log h. . .

Il faut ensuite introduire dans celle expression les termes correctifs qui proviennent des coefficients que nous avons appelés P, c'est-à-dire que nous devons maintenant tenir compte de ce fait que notre figure annulaire n'est pas exactement un tore. Comme on voit sans peine que les coefficients (3,, (î-, , . . . sont très petits par rapport à p^, nous négligerons ces coefficients ainsi que le carré de (5.j.

Cl Voir aux Notes, Figures nnnulairrs.

Les termes correctifs que nous nous proposions de calculer se réduisent alors à