AU = 2W

La condition d'équilibre est que l'on ait à la surface

U = Uo,

i52 SUR l'equilibrk d'un fluide en rotation.

Ug olant uuo conslaule. Dans le cas où il 113 a pas de rolalion, oj esl nul et l'on

doil avoir à la surface

V = \',„ Vo étant une constante.

Si l'on suppose u ^ o, on sait que la sphère est une figure d'équilibre ; mais on ne sait pas si c'est la seule ligure d'équilibre possible (' ); on ne sait même pas si c'est la seule figure stable possible, c'osl-à-dire si W n'a pas d'autre niaxiiuuiu relatif que celui qui coircspond à la sphère. En revanche M. Liapounoll a démontré que la sphère correspond au maximum absolu de W. Je voudrais d'abord rappeler rapidement la forme simjde que j'ai donnée à la démonstration du théorème de Liapounoll'.

Je désignerai par T le volume de la masse fluide.

i" Le potentiel d'un volume quelconque par rapport à un point quelconque est plus petit que le potentiel d'une sphère de même volume par rapport à son centre; on aura donc

V < 2 ;t R'-, en posant

2" On aura

= i rVo-K ;tR2T.

Donc l'énergie potentielle W d'une masse tluide de volume T a un maximum. Il reste à démontrer que ce maximum ne peut être atteint que pour la sphère.

3" Je dis maintenant que la capacité électrostatique C d'un conducteur de volume T a un minimum. Chargeons en effet ce conducteur d'une charge électrique égale à T, on aura

;iJ:<W<-R^T, d'où C>.^, C>^R.

2L. 27cR- 3

Il reste à montrer que ce nnnimum ne peut être atteint que pour la sphère. /^" Soit, en effet, M la charge du conducteur, jjl la densité électrique sur l'élément de surface «/cr, de telle façon que

-.fl.d..

{') Voir aux Notes, Masses Jluides en rotation {résultats dii>ers).

SUR L'ÉQUILIBRE D'UN FLUIDE EN ROTATION. l53

Supposons que le conducteur se déforme de telle façon que le centre de gravité de l'élément dij subisse un petit déplacement dont la projection sur la normale à l'élément dv sera égale à Ç; alors la capacité et le volume subiront des accroissements dC et d!T et l'on aura

WdC

'~ = fi -a' Ç t/T ; ,n = Ci:, rfa.

Gomme je suppose G minimum, l'équation dT ^ o doit entraîner <iC ^ o,

et l'on doit avoir

Lt = consl. = -^)

S étant la surface du conducteur; d'où si dT n'est pas nul,

— — — = 4 îti-t' «1 ou p„ = 4 ^ " I •

Mais si le conducteur se dilate, en restant semblable à lui-même, la capacité

varie en raison directe de la racine cubique du volume, en sorte que

dC id'T ^ ' ^ G ~ 3 "T ■

On en déduit

i2:tT

Or, parmi tous les corps de même volume, celui qui a la plus petite surface

est la sphère; donc celui qui a la plus petite capacité est la sphère.

On a donc

5" Les formules précédentes supposent que la capacité est minimum. Si elle n'a pas atteint son minimum, /j. ne sera plus une constante, mais si [>.u et /jtj représentent la plus grande et la plus petite valeur de fji, on aura

4 nfji r oTT < , < 4'^(j^ô «T.

Si le corps est une forme d'équilibre, de telle sorte qu'à la surface on ait

on aura