t!J.o= Fo, 4"|J-i = f"i
i;,4 SUR l'Équilibre d'un fluide en rotation.
d'où
F?rfT<^-iLgf]^<FSrfT,
ou, à cause de la relation (i),
F;<|;tV„<F5.
6" iVous avons vu cjue W a ua maximum; je veux mainlenant démontrer que ce maTimum ne peut être atteint que pour la sphère (c'est le théorème de M. LiapounolF).
Supposons, en effet, que notre corps se déforme; nous aurons
= fy^fh, dT= j ^da.
Pour que W soit maximum, il faut que dW s'annule toutes les fois (jue dT ^ o; et, pour cela, il faut que la valeur de V à la surface se réduise à une constante Vn ; c'est ce que nous savions déjà. Si maintenant dT n'est pas nul, ou aura
rAY = VorfT.
D'autre part, si le corps reste semblable à lui-même, W sera proportionnel à la puissance ^ de T, c'est-à-dire qu'on aura
rf\V 5 dT W ~ 3 T ' d'où
W=^V„T ou W=^Ç.
De tous les corps de volume T, la sphère ayant la plus petite capacité aura la plus grande énergie W. c. q. f. d.
Cherchons maintenant à étendre ces résultats au cas où il y a un mouvement de rotation. Nous avons encore
=fy,d..
D'autre part, si J est le moment d'inertie, on aura
d.] =. fux"--¥- j2 ) dn, d'où ^AV + ^' f/J = / U î f/a.
Pour qu'il y ait équilibre, il faut que rfW -1- — rfJ soit nul toutes les fois que
dl = o; il faut donc que la valeur de U à la surface se réduise à une constante Uo; c'est ce que nous savions déjà.
SUR l'Équilibre d'un fluide en rotation. i55
Si alors dT n'est pas uul, on a
dW -h~di = Uof/T.
D'autre part, si le corps reste semblable à lui-même, .î est comme W pro-
porlionnel à la puissance 7; de T, de sorte que
5 j ai
(2) W-^- -"-'j = UoT.
De celte formule on peut tirer dillérentes conséquences, i" Soient V le potentiel dû à l'attraction de notre masse Huide et V celui qui serait dû à une charge électrique égale à T et ([ui serait en équilibre à la
surface du corps regardé comme un conducteur.
A la surface du corps, V aura la valeur constante -p'
Soit une sphère de ravon très grand dont le centre sera fixe, mais dont nous ferons varier le rayon. On aura, en étendant les intégrales à tous les éléments d'y de la surface de cette sphère,
'■ de = o.
On en conclut que la valeur moyenne de \ — \ ' à la surface de la sphère est indépendante du rayon de cette sphère. Or, cette valeur doit s'annuler à l'infini; donc cette valeur moyenne est toujours nulle. Donc V — V ne peut être ni toujours positif, ni toujours négatif.
Or, si V — V était toujours positif (ou toujours négatif) à la surface du corps, il serait toujours positif (ou toujours négatif) à l'extérieur du corps. Donc la valeur constante de V doit être comprise entre le maximum et le minimum de V.
Soient l'o la plus grande distance du corps à l'axe de rotation et l'i la plus petite distance. Pour des figures d'équilibre telle que les ellipsoïdes de Mac Laurin et de Jacobi par exemple, l'axe de rotation rencontre la surface du corps et r, est nul; mais il n'en serait plus de même pour une figure annulaire d'équilibre.
On a alors à la surface
l56 SUR L'ÉQUILIBRE D'UN FLUIDE EN ROTATION.
el par consoqiienl
u„-i:^<v<Uo-^:^.
Donc, d'après le résullal oblenii plus li:iiit,
d'où nous déduirons les inégalités
- lO-/'
5 G 10 2 5 G lo
et dans tous les cas
Ce sont des relations entre l'énergie potentielle du corps, son moment d'inertie, son volume, sa capacité éleclrostaliqiie, et /■„, c'est-à-dire ce qu'on pourrait appeler le rayon de l'équateur.
2° D'après ce que nous avons vu plus haut. AU est négatif si co- < 27r, nul si ù>'- = 2n, positif si oi-'^ 2 7T. Dans le premier cas, U peut avoir un maximum, mais pas de minimum; dans le second cas, U ne peut avoir ni maximum ni minimum; dans le troisième cas, U peut avoir un minimum, mais pas de maximum.
J'ai démontré ailleurs (Bull. as(ron., l. 2, p. 109) (') que dans les deux derniers cas l'équilibre ne saurait être stable.
Dans le premier cas, on a U < U,, à l'intérieur du corps ; dans le second cas on a U ^ Uo, dans le troisième ou a U > U,,.
Or
Cv ,/-= /'vrfa-4- '^ f(x"--hy-)d^ = 2W+ — J;
dans le premier cas, on a donc
>\\-^ 'l'j>UoT; dans le second :
dans le troisième :
2Wh J <UoT.
(') Œuvres de II. Poincaré, ce Tome, p. 17.
SUR l'Équilibre d'un fluide en rotation. 167
En rapprochnnl de la foruniiilo (li), on voil <|iie :
si co- < 2 7r, on a
si co- = 27r, on a
si 0)- > y. TT, on a
3" Je suppose que w varie d'une manière continue ainsi que la figure d'équilibre (le volume T demeurant conslant bien entendu).
La figure devant satisfaire à la condition d'c(|uilibre, on aura
(i\y + — (li = o,
et par conséquent, en dilï'érenliaut l'équation (2),
(oJ (/m = - T f/Uo.
Cela nous montre que Uq croît avise to.
Ce résultat est vrai pour toutes les ligures d'équilibre, mais pour les figures d'équilibre qui rencontrent l'axe de rotation, il peut s'énoncer autrement : le potentiel au pôle croit quand la vitesse de rotation augmente.
4" Pour les figures d'équilibre qui rencontrent l'axe de rotation, U(, étant le potentiel au pôle est, d'après ce que nous avons vu au début, plus petit que 2 7rR-.
Donc U„ ne peut croître indéfiniment, et cela nous fait déjà prévoir que co ne peut non plus croître indéfiniment.
Pour le démontrer, je pars de l'égalité suivante, conséquence immédiate de
celle que je viens d'établir
VAo 3T j'dVo
Soit il la plus petite valeur de co-'J. il vient
J 0) dm J a 12
Pour que w puisse croître indéfiniment, il faudrait que i2 fût nul; c'est-à-dire que quand 00 croît indéfiniment, u'-J tende vers zéro.
Or, dés (jue co a dépassé la valeur v/27t, on a W<;w'-J; donc W devrait aussi tendre vers zéro. Donc
u„=A(w.Çj
i58 SUR l'équilibre d'un fluide en rotation.
devrait tendre vers zéro. Mais cela n'est pas possiljle puisque U„ croît avec to. D'où la conclusion suivante (') :
Quand on fera varier d'une manière continue la vitesse to ainsi que la figure d'équilibre, de deux choses l'une : ou bien la vitesse w, après avoir crû, finira par décroître; ou bien la figure d'équilibre cessera à un certain moment de rencontrer l'axe de rotation.
C'est ainsi que, si l'on suit la série des ellipsoïdes de révolution, w- croît depuis zéro jusqu'à 4^^ X o, i la, et décroît ensuite jusqu'à zéro; de même si l'on suit la série des ellipsoïdes de Jacobi, w- croît depuis zéro jusqu'à 4?: X 0,093, et décroît ensuite jusqu'à zéro.
Je dois ajouter que la démonstration qui précède n'exclut pas l'hypothèse suivante : w pourrait croître au delà de toute liiniie saus (pie la figure cessât de rencontrer l'axe de rotation, mais à la condition de croître parune série d'oscillations en présentant une infinité de maxima ou de minima.
J'ajouterai (pie si W + — J est maximum (ce qui est une condition suffisante, mais non nécessaire pour la stabilité de l'équilibre), J va en croissant avec (o.
Soient, en effet, (o cl 00' deux valeurs, très voisines, de la vitesse de rotation; soient W et W, J et J' les valeurs correspondantes de l'énergie et du moment
d'inertie. Comme W-H — J '^s'^ maximum, on aura
Comme W'-| — — J' est de son côté maximum, on aura
d'où, en retranchant ces deux inégalités,
(J'— J)>o ou J'> .1.
(') Voir aux Notes, Masses fluides en rotation (résultats divers).
SUR
Proceedings of tlie Royal Society of London, vol. 69, p. i48-i49 (29 octobre 1901).
(Résumé.)
J'ai public autrefois dans le Tome 7 A^s Acia Mathemalica un Mémoire ('-) où j'étudie diverses figures d'équilibre nouvelles d'une masse fluide homogène en rotation. Presque toutes ces ligures sont instables; une d'elles cependant, qui est piriforme ( '), est très probablement stable. Mais la preuve directe de cette stabilité ne pourrait être obtenue que par de longs calculs. Le but du présent travail est de faciliter ces calculs, en donnant à la condition de stabilité une forme analytique aussi simple que possible. La question cependant reste indécise, parce que les formules analytiques n'ont pas été réduites en chiflVes.
Il fallait d'abord obtenir une expression de l'énergie de gravitation d'une pareille figure en poussant l'approximation plus loin qu'on ne l'avait fait jusqu'ici. L'emploi des fonctions de Lamé peut conduire au résultat, mais on se trouve en présence d'une petite difficulté. Le potentiel d'un ellipsoïde, ou
(') Received October, 29, ii-ioi.
C) Œuvres de H. Poincaré, ce Tome, p. .^o.
(') Voir aux Notes, Figures piriformes.
l6o SUR LA STABILITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PIRIFORMES.
d'une couche ellipsoïdale, alîccLe des formes analytiques diflérenles selon que le point envisagé est à l'intérieur ou à l'extérieur de l'ellipsoïde. Il en résulte
que dans chacune des intégrales il faudrait donner à la fonction sous le signe / ,
tantôt une forme pour les parties de la surface piriforme qui sont au-dessous de la surface de l'ellipsoïde, tantôt une autre forme pour les parties qui sont au-dessus. Mais j'ai reconnu que celte difficullc est purement artificielle et qu'on obtiendra encore un résultat final correct eu donnant à ces fonctions
sous le signe / , soit toujours la première forme, soit Uni jours la seconde. En
opérant de la sorte on commet une erreur sur chacune des intégrales, mais ces erreurs se compensent complètement dans la somme des intégrales.
.le me suis attaché ensuite à écrire l'inégalité qui exprime la condition de stabilité, et à réduire aux intégrales elliptiques les plus simples toutes les intégrales qui figurent dans cette inégalité.
SUli
